基于極值法與統(tǒng)計(jì)公差法的不同尺寸公差分配方法的研究*

基于極值法與統(tǒng)計(jì)公差法的不同尺寸公差分配方法的研究*

龔 鑫，黃美發(fā)，孫永厚，肖萌萌，吳 芬
（桂林電子科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，廣西桂林 541004）

對(duì)裝配體的尺寸公差分配是產(chǎn)品公差設(shè)計(jì)中的一項(xiàng)重要環(huán)節(jié)。公差的大小決定著產(chǎn)品的制造成本，對(duì)裝配尺寸公差進(jìn)行合理分配具有重要意義。然而在兩種不同的公差分析方法下其各種公差分配也有所不同。文章介紹了目前裝配尺寸公差分配的主要方法，有等公差法、等精度法和最優(yōu)化分配法等。結(jié)合齒輪軸工程實(shí)例，分別運(yùn)用極值法和統(tǒng)計(jì)公差法對(duì)各種尺寸公差分配方法進(jìn)行分析研究。其結(jié)果表明，在實(shí)際運(yùn)用中利用裝配功能公差鏈統(tǒng)計(jì)公差法約束條件并考慮加工方法的經(jīng)濟(jì)性公差約束條件對(duì)裝配尺寸公差進(jìn)行分配為最優(yōu)化分析方案。并將其集成到計(jì)算機(jī)公差設(shè)計(jì)系統(tǒng)中。

裝配尺寸公差分配方法；極值法與統(tǒng)計(jì)公差法；計(jì)算機(jī)公差設(shè)計(jì)系統(tǒng)

0 引言

隨著機(jī)械制造精度及產(chǎn)品功能要求的提高，產(chǎn)品設(shè)計(jì)階段的裝配尺寸公差分配引起了廣泛關(guān)注，它不僅影響機(jī)械產(chǎn)品的質(zhì)量，而且對(duì)產(chǎn)品的制造成本起著決定性作用。因此，在保證產(chǎn)品性能要求的必要前提之下，合理的公差分配是降低生產(chǎn)成本和滿足產(chǎn)品性能的重要因素。所以，按照一定的方法和約束條件，對(duì)裝配尺寸公差進(jìn)行合理分配具有重要意義。

在公差設(shè)計(jì)集成系統(tǒng)中的公差分配模塊是將封閉環(huán)的公差信息以及已知組成環(huán)的公差信息作為輸入，通過程序的運(yùn)算，輸出待求組成環(huán)的公差信息［1］。目前，國內(nèi)、外學(xué)者在公差設(shè)計(jì)集成系統(tǒng)中的裝配公差分配模塊領(lǐng)域進(jìn)行了諸多研究，在文獻(xiàn)［2-8］中，許多學(xué)者對(duì)處理他們一般特征的公差分析模型進(jìn)行了對(duì)比發(fā)現(xiàn)，裝配尺寸鏈的功能要求約束可以從極值法和統(tǒng)計(jì)公差法中選擇一種，這兩種計(jì)算方法有著各自的優(yōu)勢(shì)和不足，然而在實(shí)際應(yīng)用中不同企業(yè)采用的方法都有所不同。但是這些研究把注意力僅僅放在考慮模型的一般特性，存在較少的論文來對(duì)比這個(gè)不同的分析方法基于一個(gè)實(shí)例的研究來強(qiáng)調(diào)它們的優(yōu)缺點(diǎn)，因此，對(duì)企業(yè)來說，在滿足特定的公差要求下沒有通過綜合對(duì)比來選擇一個(gè)最優(yōu)方案。本文結(jié)合目前公差分配的基本方法，針對(duì)兩種不同公差分析方法（極值法和統(tǒng)計(jì)公差法）及相應(yīng)的約束條件，提供引導(dǎo)在特定的目的下來選擇一個(gè)最優(yōu)分析方案。并將它們集成到計(jì)算機(jī)公差設(shè)計(jì)系統(tǒng)中［9-10］。

1 裝配公差優(yōu)化分配的數(shù)學(xué)模型

在公差分配中，所有組成環(huán)中包括已知組成環(huán)和待定組成環(huán)，

其中n、ns、nt分別為總組成環(huán)數(shù)、已知組成環(huán)數(shù)以及待定組成環(huán)數(shù)。運(yùn)用極值法以及統(tǒng)計(jì)公差法的計(jì)算基本公式分別為：

式中，i=1，2，...nt，j=1，2，...ns；

T0、Ti分別表示封閉環(huán)公差以及組成環(huán)公差；

εi、εj表示組成環(huán)誤差傳遞系數(shù)；

K0、Ki分別表示封閉環(huán)的相對(duì)分布系數(shù)以及組成環(huán)的相對(duì)分布系數(shù)。其中，正態(tài)分布、三角分布、均勻分布、瑞利分布的相對(duì)分布系數(shù)K取值分別為1、1.22、1.73、1.14。

1.1 等公差法

等公差法是對(duì)所有的待定組成環(huán)分配相等公差值的方法，該方法是一種公差平均分配法。

規(guī)定待定組成環(huán)所取的相等的公差為平均公差，用Tav表示。Ti=Tav（i=1，2，...nt）代入式（2）、（3）中分別利用極值法以及統(tǒng)計(jì)公差法計(jì)算待定組成環(huán)的公差值，得到基本公式如下：

1.2 等精度法

等精度法是所有的待定組成環(huán)取得相同公差等級(jí)的方法。該方法先求出公差等級(jí)的系數(shù)，再確定各組成環(huán)的公差并作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整。

由表1可知：機(jī)械行業(yè)常用的公差等級(jí)IT5～I(xiàn)T18的標(biāo)準(zhǔn)公差計(jì)算公式為：

式中α為公差等級(jí)的系數(shù)，I為公差因子。公差因子的取值由基本尺寸D決定，在常用尺寸段內(nèi)：

表1 基本尺寸不大于500mm的標(biāo)準(zhǔn)公差數(shù)值計(jì)算公式

式（7）中的基本尺寸D為每一尺寸段中首、尾兩個(gè)尺寸的幾何平均值，即：

將式（7）代入式（2）、（3）中分別利用極值法以及統(tǒng)計(jì)公差法計(jì)算待定組成環(huán)的公差等級(jí)的系數(shù)，得到基本公式如下：

1.3 最優(yōu)化分配法

在裝配尺寸鏈中，各組成環(huán)的加工成本累加總和最小即是公差優(yōu)化分配的目標(biāo)［11］，故目標(biāo)函數(shù)：

式中ωi為第i個(gè)組成環(huán)加工成本的權(quán)重系數(shù)，它與在同一加工要求下采用不同加工設(shè)備與加工方法造成的成本差異相關(guān)；Ci（t）為第i道工序加工方法時(shí)的成本公差函數(shù)。依據(jù)對(duì)應(yīng)工藝卡片，毛坯經(jīng)過加工工序得到該設(shè)計(jì)尺寸，一般來說，每一種工序的選擇方案及各種加工方法對(duì)應(yīng)著相應(yīng)的經(jīng)濟(jì)精度，對(duì)于粗加工ω=1，精加工ω=1.3，較高功能要求的加工ω=2。

1.3.1 約束條件

在公差優(yōu)化分配領(lǐng)域中，有多種約束條件如裝配功能公差鏈約束、加工合格率概率約束以及加工方法的經(jīng)濟(jì)性公差約束等，在實(shí)際中主要采用簡(jiǎn)單且計(jì)算方便的裝配功能公差鏈約束和加工方法的經(jīng)濟(jì)性公差約束。

裝配功能公差鏈約束主要保證當(dāng)封閉環(huán)公差確定后，封閉環(huán)公差應(yīng)該不小于各組成環(huán)公差的累加，以確保裝配的精確性和準(zhǔn)確性。裝配功能公差鏈極值法約束條件以及裝配功能公差鏈統(tǒng)計(jì)公差法約束條件的數(shù)學(xué)表達(dá)式分別如下：

加工方法的經(jīng)濟(jì)性公差約束條件要求各組成環(huán)的公差不能超過實(shí)際的加工功能，其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下所示：

式中：Timin為裝配尺寸公差鏈中第i個(gè)組成環(huán)的最小加工能力公差；

Timax為裝配尺寸公差鏈中第i個(gè)組成環(huán)的最大加工能力公差。

2 實(shí)例分析

圖1所示是一個(gè)減速器的齒輪軸裝配圖。該裝配體中，由機(jī)體、左端蓋、左軸承、軸、齒輪、支撐環(huán)、右軸承、調(diào)整環(huán)和右端蓋組成了一個(gè)水平方向的尺寸鏈，具體公式如下：

式中，L1、L2、L3、L4、L5、L6、L7、L8和L9分別表示機(jī)體、左端蓋、左軸承、軸、齒輪、支撐環(huán)、右軸承、調(diào)整環(huán)和右端蓋在尺寸鏈方向的相應(yīng)尺寸。其中，L8（調(diào)整環(huán)）是封閉環(huán)。

圖1 減速器的齒輪軸裝配圖

由于左軸承和右軸承是標(biāo)準(zhǔn)件，其公差值t3和t7都為固定值0.12mm。且按照裝配的要求，封閉環(huán)的公差值t8應(yīng)小于0.5mm。

2.1 等公差法分析

在實(shí)際生產(chǎn)中各組成環(huán)、封閉環(huán)一般取正態(tài)分布，則對(duì)應(yīng)的相對(duì)分布系數(shù)通常均取K=1，對(duì)應(yīng)的傳遞系數(shù)均取ε=1。代入公式（4）、（5）中，分別得出：

2.2 等精度法分析

根據(jù)尺寸分段，實(shí)例具體尺寸鏈組成環(huán)所屬尺寸段，代入公式（8）中，再將（8）中所得結(jié)果代入公式（7）中，計(jì)算得出各組成環(huán)的公差因子。根據(jù)某企業(yè)的生產(chǎn)數(shù)據(jù)：L1=200、L2=8、L3=30、L4=15、L5= 80、L6=25、L7=30、L8=8、L9=4分別計(jì)算得出：I1=2.8959，I2=0.898，I4=1.0827，I5=1.856，I6= 1.3074，I8=0.898，I9=0.733。

把所得公差因子代入式（9）、（10）中，分別得出：α≤26.89，查表1取α=25則屬于IT8；α≤114.53，查表1取α=100則屬于IT11。

2.3 優(yōu)化分配法分析

裝配公差優(yōu)化分配將經(jīng)濟(jì)性作為公差分配優(yōu)劣的主要評(píng)價(jià)指標(biāo)，在保證裝配功能要求的情況下，以最低的制造成本設(shè)計(jì)出盡可能大的零件公差?？梢?，裝配公差優(yōu)化分配的數(shù)學(xué)模型是由目標(biāo)函數(shù)和約束條件組成。

由于左軸承和右軸承的成本為常數(shù)，因此利用指數(shù)和倒指數(shù)積復(fù)合函數(shù)以及線性和指數(shù)復(fù)合函數(shù)的組合構(gòu)造的公差分配模型的目標(biāo)函數(shù)如下：

在裝配尺寸鏈中L8是封閉環(huán)。裝配尺寸鏈的功能要求約束采用極值法即裝配功能公差鏈極值法約束條件，具體公式如下：

將具體參數(shù)代入式（17）得到最后的裝配功能約束如下：

各組成環(huán)公差的加工能力約束如下所示：

在Matlab軟件遺傳算法的工具欄中將適應(yīng)度函數(shù)設(shè)為目標(biāo)函數(shù)M文件的句柄，將變量個(gè)數(shù)設(shè)置為6，并分別輸入各個(gè)變量的邊界約束條件和非線性不等式約束條件。除此之外，在遺傳算法工具欄中采用默認(rèn)的種群數(shù)目20，交叉概率0.8以及變形概率0.2。利用遺傳算法工具欄進(jìn)行優(yōu)化搜索的操作界面如圖2所示。對(duì)于該實(shí)例進(jìn)行優(yōu)化后，得到的最小成本值為65.6108，且組成環(huán)t1、t2、t4、t5、t6、t9對(duì)應(yīng)的公差值分別為 0.06mm、0.039mm、0.041mm、0.045mm、0.036mm、0.04mm，遺傳算法搜索后的優(yōu)化結(jié)果如圖2所示。

圖2 極值法下的參數(shù)設(shè)置及所得結(jié)果

同理，如果裝配尺寸鏈的功能要求約束采用統(tǒng)計(jì)公差法即裝配功能公差鏈統(tǒng)計(jì)公差法約束條件，具體公式如下：

對(duì)于該實(shí)例進(jìn)行優(yōu)化后，得到的最小成本值為43.4421，且組成環(huán)t1、t2、t4、t5、t6、t9對(duì)應(yīng)的公差值分別為 0.1mm、0.074mm、0.062mm、0.087mm、0.062mm、0.074mm，遺傳算法搜索后的優(yōu)化結(jié)果如圖3所示。

通過分別利用極值法與統(tǒng)計(jì)公差法對(duì)不同公差分配方法進(jìn)行分析計(jì)算，結(jié)果如表2所示。

結(jié)果表明：裝配功能公差鏈極值法約束條件會(huì)導(dǎo)致分配到各個(gè)組成環(huán)的公差值較小，造成加工成本增大，不適宜在大批量產(chǎn)品的公差分配中使用，常用于小批量高精度產(chǎn)品公差優(yōu)化分配中。

圖3 統(tǒng)計(jì)公差法下的參數(shù)設(shè)置及所得結(jié)果

表2 各分析結(jié)果統(tǒng)計(jì)

然而，等公差法容易形成大尺寸小公差、加工困難的問題，一般只用于精度要求不高的粗略估算。且等精度法只考慮了尺寸大小這一因素，若尺寸大小相同，則公差值就相同。

故在實(shí)際運(yùn)用中主要聯(lián)合利用裝配功能公差鏈統(tǒng)計(jì)公差法約束條件以及加工方法的經(jīng)濟(jì)性公差約束條件作為整個(gè)公差最優(yōu)化分配模型的約束條件來計(jì)算各分配公差。

同時(shí)，利用Matlab軟件進(jìn)行編程生成公差分配方法分析模塊，通過輸入相關(guān)數(shù)據(jù)實(shí)時(shí)對(duì)比，實(shí)現(xiàn)公差分配方法的最優(yōu)選取，如圖4所示。

圖4 公差分配方法分析模塊

3 結(jié)論

裝配尺寸鏈的功能要求約束可以從極值法和統(tǒng)計(jì)公差法中選擇一種。結(jié)合一個(gè)工程實(shí)例，通過在不同的公差分配方法下計(jì)算分別利用極值法和統(tǒng)計(jì)公差法的分配公差，得出在實(shí)際運(yùn)用中主要聯(lián)合利用裝配功能公差鏈統(tǒng)計(jì)公差法約束條件以及加工方法的經(jīng)濟(jì)性公差約束條件作為整個(gè)公差最優(yōu)化分配模型的約束條件來計(jì)算各分配公差。并以此為依［參考文獻(xiàn)］

據(jù)，利用Matlab軟件編程集成到計(jì)算機(jī)系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)公差分配方法的最優(yōu)選取。

［1］王平，沈蹺陽.公差分析中的統(tǒng)計(jì)公差方法綜述［J］.工具技術(shù)，2008，42（10）：43-47.

［2］馬玥.虛擬裝配中公差分析技術(shù)研究［D］.北京：中國工程物理研究院出版社，2006.

［3］鄭丞，金隼，來新民，等.基于非合作博弈的公差分配優(yōu)化［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2009，45（10）：159-165.

［4］匡兵，黃美發(fā).基于粒子群算法的裝配公差優(yōu)化分配［J］.機(jī)械設(shè)計(jì)與制造，2009（2）：35-37.

［5］楊文龍.面向裝配的公差設(shè)計(jì)系統(tǒng)研究［D］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2011.

［6］G.Prabhaharan，P.Asokan，P.Ramesh，et al.Geneticalgorithm-based optimal tolerance allocation using a leastcost model［J］.Int.J.Advanced Manufacturing Technology，2004，24（9）：647-660.

［7］Gagandeep Singh，Gaurav Ameta，Joseph K Davidson，et al.Tolerance analysis and allocation for design of a self-aligning coupling assembly using tolerance-maps［J］.Journal of Mechanical Design，2013，135（3）：31-45.

［8］Lo?c Andolfatto，F(xiàn)ran?ois Thiébaut，Claire Lartigue，et al. Quality and cost-driven assembly technique selection and geometrical tolerance allocation for mechanical structure assembly［J］.Journal of Manufacturing Systems，2014，33（1）：103-115.

［9］石仁慶.基于CAD的公差分析與設(shè)計(jì)［D］.北京：北京化工大學(xué)出版社，2007.

［10］張根保.計(jì)算機(jī)輔助公差設(shè)計(jì)及其關(guān)鍵技術(shù)［A］.全國首屆計(jì)算機(jī)輔助公差設(shè)計(jì)專題會(huì)議論文集［C］.杭州：浙江大學(xué)出版社，2000.

［11］方紅芳，陳淼森，陳冰冰，等.CAPP中的工序公差設(shè)計(jì)及技術(shù)經(jīng)濟(jì)評(píng)價(jià)［J］.中國機(jī)械工程，2001，6（12）：657-660.

Study On Different Tolerance Allocation Method Under Deterministic and Statistical Tolerance Analysis

GONG Xin，HUANG Mei-fa，SUN Yong-hou，XIAO Meng-meng，WU Fen
（School of Mechanical and Electrical Engineering，Guilin University of Electronic Technology，Guilin Guangxi 541004，China）

The assembly tolerance allocation is an important link in tolerance design.The manufacturing cost of the product is determined by the size of tolerance，reasonable allocation is of great significance to the assembly tolerance.However，the assembly tolerance allocation is also different in different tolerance analysis method.This paper introduces the main methods of assembly tolerance allocation，including equal tolerance，equal precision method and the optimun allocation method，i.e.In combination with the project example，we analyze all tolerance allocation method using deterministic and statistical tolerance analysis.The results show that，in the actual application of the assembly tolerance chain using statistical tolerance method constraints and consider the economic tolerance constraints processing method distribute the assembly tolerance as optimization scheme.And integrated it into the computer tolerance design system.

the assembly tolerance allocation method；deterministic and statistical tolerance analysis；computer tolerance design system

TH391；TG506

A

1001-2265（2015）03-0005-04 DOI：10.13462/j.cnki.mmtamt.2015.03.002

2014-06-11；

2014-09-02

國家自然科學(xué)基金（51365009）；廣西制造系統(tǒng)與先進(jìn)制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室主任課題資助項(xiàng)目（13-051-09-009Z）

龔鑫（1990—），男，江西豐城人，桂林電子科技大學(xué)碩士研究生，研究領(lǐng)域?yàn)榫軠y(cè)量與精密儀器，（E-mail）421896525@qq.com。