非線性帶涂層球形復(fù)合介質(zhì)的電勢(shì)分布

郝艷花,張 英

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,山西大同 037009）

非線性帶涂層球形復(fù)合介質(zhì)的電勢(shì)分布

郝艷花,張 英

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,山西大同 037009）

在復(fù)合介質(zhì)滿(mǎn)足電流密度J和電場(chǎng)強(qiáng)度E為Jα=σαE+χα|E|2E的關(guān)系下，應(yīng)用攝動(dòng)方法推導(dǎo)了在外加交流電電場(chǎng)E=E1sinωt+E3sin3ωt+E5sin5ωt的作用下,帶球形涂層的非線性復(fù)合介質(zhì)的電勢(shì)分布公式。

非線性復(fù)合介質(zhì)；攝動(dòng)方法；交流電場(chǎng)；電勢(shì)分布

近幾年來(lái)，在不同的外加電場(chǎng)作用下，非線性復(fù)合介質(zhì)的電勢(shì)分布問(wèn)題，其中球形和圓柱形復(fù)合介質(zhì)因其特殊的結(jié)構(gòu)，引起了諸多物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家的重視。對(duì)于這類(lèi)非線性復(fù)合介質(zhì),在外加電場(chǎng)作用下的有效性響應(yīng)與外部電場(chǎng)有非常大的關(guān)系。Levy[1]和Hui[2]通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)復(fù)合介質(zhì)的高階有效性響應(yīng)受外加電場(chǎng)的諧和頻率的影響;Gu[3]利用攝動(dòng)展開(kāi)方法推導(dǎo)出非線性復(fù)合介質(zhì)在外加直流電作用下的有效電導(dǎo)率；Gu[4]和Wei得到了Kerr型非線性復(fù)合介質(zhì)在低濃度、正弦電場(chǎng)作用下的有效的交流電響應(yīng)公式;Wei研究推導(dǎo)了交流電場(chǎng)對(duì)隨機(jī)放入到一個(gè)交流電場(chǎng)中球形復(fù)合介質(zhì)的有效的交流電響應(yīng)的影響；最近，Hao[5]和Chen[6]又利用攝動(dòng)方法研究了帶涂層非線性Kerr型復(fù)合介質(zhì)有效性響應(yīng)問(wèn)題，假設(shè)外部交流電場(chǎng)Ea=E1sinωt+E3sin3ωt等等。

本文主要推導(dǎo)了帶涂層球形非線性復(fù)合介質(zhì)的電勢(shì)分布公式，假定電流密度和電勢(shì)邊界條件下顆粒在內(nèi)外兩種雜質(zhì)界面、基質(zhì)界面、外層雜質(zhì)上都是連續(xù)的，且電流密度J和電場(chǎng)強(qiáng)度E之間滿(mǎn)足的關(guān)系如下：

其中下標(biāo)α=i指顆粒雜質(zhì)內(nèi)部，α=c指涂層，α=h指基質(zhì)區(qū)域；Ωi表示顆粒雜質(zhì)在內(nèi)部所占空間區(qū)域,Ωc指涂層所占空間區(qū)域,Ωc指基質(zhì)區(qū)域所占空間區(qū)域；σα是線性的介電常數(shù)，χα是非線性的介電常數(shù)，它們都與外加電場(chǎng)無(wú)關(guān)。電場(chǎng)強(qiáng)度E和電流密度J低頻過(guò)程中分別滿(mǎn)足為:?×E=0和?·J=0。由于介質(zhì)球的極化，球面出現(xiàn)束縛電荷，以致電場(chǎng)強(qiáng)度E在球面不連續(xù)，ΔΦ=?·?Φ=-?·E在球面上沒(méi)有意義。由此我們只好先考慮球內(nèi)、球外的電勢(shì)，然后通過(guò)銜接條件再把兩者在球面上銜接起來(lái)，即認(rèn)為電勢(shì)在球面上連續(xù)。

1 非線性交流電過(guò)程的攝動(dòng)方法

假設(shè)外加電場(chǎng)為E=E1sinωt+E2sinωt+E5sin5ω沿z?軸正向作用于非線性復(fù)合介質(zhì),這里將球形雜質(zhì)顆粒隨機(jī)嵌入一弱非線性復(fù)合介質(zhì)中，其內(nèi)部半徑為a,涂層半徑為b,在本構(gòu)關(guān)系中非線性項(xiàng)遠(yuǎn)小于線性項(xiàng)。

由于電場(chǎng)強(qiáng)度滿(mǎn)足方程?×E=0,故存在電勢(shì)函數(shù)Φα(x,t),滿(mǎn)足:

將x點(diǎn)處的電勢(shì)可展開(kāi)成如下形式：

針對(duì)弱非線性復(fù)合介質(zhì)中的電勢(shì)分布問(wèn)題，認(rèn)為基質(zhì)與雜質(zhì)之間的接觸是一種理想狀態(tài)下的接觸，忽略界面層對(duì)系統(tǒng)的影響，因此可采用攝動(dòng)函數(shù)展開(kāi)法來(lái)處理此類(lèi)問(wèn)題，電勢(shì)函數(shù)展開(kāi)式為：

其中選取非線性的介電常數(shù)χh作為攝動(dòng)參數(shù)，再利用電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)的關(guān)系將方程（2）和（3）代入到方程（1）中，即可得到電流密度J在雜質(zhì)和基質(zhì)區(qū)域的攝動(dòng)展開(kāi)函數(shù)式為：

如果控制方程均適合（3）式中的每一項(xiàng),則控制方程?·J=0必成立，于是一組關(guān)于的方程也成立：

電勢(shì)和電流密度的邊界條件分別為：

這里?Ωi表示內(nèi)外兩層雜質(zhì)界面，?Ωc表示基質(zhì)界面。

在無(wú)窮遠(yuǎn)處，電勢(shì)滿(mǎn)足下列關(guān)系：

2 關(guān)于非線性復(fù)合介質(zhì)的電勢(shì)分布的研究

應(yīng)用等式(4),(5),可得諧和頻率分別為ω、3ω和5ω下零階電勢(shì)的本構(gòu)方程關(guān)系為：

再應(yīng)用銜接條件(8)、（9）、(10)，即可求得頻率為的零階電勢(shì)：

這里P1(cosθ)=cosθ是一階Legendre多項(xiàng)式。其系數(shù)A0,B0,C,D和分別為:

再利用頻率ω、3ω和5ω的零階電勢(shì),即可得頻率為ω、3ω和5ω的一階電勢(shì)的本構(gòu)關(guān)系式：

解上述方程且利用邊界條件(6)～(10),可求到諧和頻率為ω、3ω和5ω下，顆粒雜質(zhì)的一階電勢(shì)分布公式：

3 小結(jié)

低雜質(zhì)濃度下，本文利用攝動(dòng)方法推導(dǎo)了非線性帶涂層球形復(fù)合介質(zhì)在外部交流電電場(chǎng)E=E1sinωt+E3sin3ωt+E5sin5ωt作用下的電勢(shì)分布公式，得到的只是一個(gè)數(shù)值解。對(duì)于本文的問(wèn)題可做進(jìn)一步的研究，利用同倫分析方法可研究高雜質(zhì)濃度下，不同的外加交、直流電電場(chǎng)對(duì)非線性復(fù)合介質(zhì)的影響，可得到響應(yīng)的解析解。

[1]LEVY O,BERGMN D J,STROUD D G.Harmonic generation,induced nonlinearity,and optical bistability in nonlinear composites[J].Phys Rev E,1995(52):3184-3194.

[2]HUI P M,CHEUNG P.Second and third harmonic generations in random composites of nonlinear dielectrics[J].Phys B,2000(279):45-47.

[3]GU G Q,YU K W.Effective conductivity of nonlinear composites[J].Phys Rev B,1992,46(8):4502-4507.

[4]GU G Q,HUI P M,YU K W.A theory of nonlinear AC response in nonlinear composites[J].Phys B,2000(279):62-65.

[5]WEI E B,SONG J B,Gu G Q.Effective response of a non-linear composite in external AC electric field[J].Phys B,2002(324):322-328.

[6]WEI E B,TIAN J W,SONG J B.A theory of nonlinear AC response in coated composites[J].Chin Phys,2004,13(3):388-392.

Potential Distributions in the Coated Nonlinear Spherical Composite

HAO Yan-hua,ZHANG Ying
(School of Mathematics and Computer Science,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009)

Under the constitutive relations between current densityJand electric fieldEin the inclusion and host regions have the following forms:Jα=σαE+χα|E|2E,the potential in the coated nonlinear spherical composite is investigated under the action of an external AC electric field E=E1sinωt+E3sin3ωt+E5sin5ωtby using the perturbation method.

nonlinear composites；the perturbation method;AC electric field；the potential distributions

TN911.2

A

1674-0874(2015)05-0004-03

2014-06-17

山西大同大學(xué)科研基金項(xiàng)目[2011K6]

郝艷花（1973-），女，山西大同人，碩士，副教授，研究方向：計(jì)算數(shù)學(xué)。

〔責(zé)任編輯 高?！?/p>