基于齒形折算法的橢圓齒輪參數(shù)化建模及運(yùn)動(dòng)仿真研究

史　諾,劉　瓊,馮東旭,魯劍嘯

(1.楊凌職業(yè)技術(shù)學(xué)院 a.機(jī)電工程分院；b.信息工程分院,陜西 楊凌　712100；2.延安大學(xué) 化學(xué)與化工學(xué)院，陜西 延安　716000)

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基于齒形折算法的橢圓齒輪參數(shù)化建模及運(yùn)動(dòng)仿真研究

史諾1a,劉瓊1b,馮東旭1a,魯劍嘯2

(1.楊凌職業(yè)技術(shù)學(xué)院 a.機(jī)電工程分院；b.信息工程分院,陜西 楊凌712100；2.延安大學(xué) 化學(xué)與化工學(xué)院，陜西 延安716000)

橢圓齒輪是一種典型的非圓齒輪，具有非均勻、周期性變化的傳動(dòng)比特性，在機(jī)床、輕工自動(dòng)機(jī)械、儀器儀表等諸多領(lǐng)域中取得了良好的應(yīng)用效果。橢圓齒輪的建模研究對(duì)于其推廣應(yīng)用具有重要意義。根據(jù)橢圓齒輪的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，采用齒形折算法的原理，基于CREO進(jìn)行了參數(shù)化建模，并以此為基礎(chǔ)在ADAMS中構(gòu)建了運(yùn)動(dòng)仿真模型，仿真結(jié)果表明橢圓齒輪副嚙合傳動(dòng)情況與理論分析保持一致，證明了建模方法的可行性，為橢圓齒輪的數(shù)控加工提供了基礎(chǔ)的技術(shù)依據(jù)。

齒形折算法；橢圓齒輪；參數(shù)化建模

0　引言

橢圓齒輪是一種典型的非圓齒輪，集成了圓形齒輪和凸輪的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可實(shí)現(xiàn)精確的非均勻周期性傳動(dòng)。在自動(dòng)機(jī)床的轉(zhuǎn)位機(jī)構(gòu)、插齒機(jī)的主運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)、高速印刷機(jī)中的輸紙機(jī)構(gòu)、紙板機(jī)中的切刀機(jī)構(gòu)中橢圓齒輪都取得了良好的應(yīng)用效果[1-4]，但是從工程實(shí)際情況來看，較大的加工難度制約了橢圓齒輪的普及應(yīng)用。隨著CAD/CAM技術(shù)及數(shù)控技術(shù)的快速發(fā)展，解決橢圓齒輪的建模問題就會(huì)突破制造中的障礙，因此建模研究具有重要意義。現(xiàn)有文獻(xiàn)提出的建模方法存在的問題是設(shè)置了特定參數(shù)，沒有實(shí)現(xiàn)系列化、變異化的精確設(shè)計(jì)，有一定的局限性[5-6]。鑒于此，根據(jù)橢圓齒輪的傳動(dòng)特性及齒廓特點(diǎn)提出了基于齒形折算法的參數(shù)化建模方法，并利用運(yùn)動(dòng)仿真驗(yàn)證了該方法的正確性。本文提出的參數(shù)化建模方法可大大縮短設(shè)計(jì)與制造周期，對(duì)于橢圓齒輪的推廣應(yīng)用具有一定價(jià)值。

1　建模思路

圖1　齒形折算法的原理

橢圓齒輪的建?？刹捎媒馕龇ㄟM(jìn)行，通過求解齒廓曲線的解析方程得到齒廓上的點(diǎn)，然后插入直線或圓弧進(jìn)行擬合，為了得到精確的齒廓，就需要計(jì)算出足夠多的點(diǎn)，導(dǎo)致建模過程過于繁瑣。另外一種建模思路是將橢圓齒輪的每一個(gè)齒折算成當(dāng)量圓齒輪的齒形，這種方法稱為齒形折算法。齒形折算法的基本原理是以節(jié)曲線上每一個(gè)輪齒中心所對(duì)應(yīng)的曲率中心及曲率半徑為基準(zhǔn)做分度圓，以此為基礎(chǔ)生成圓齒輪的齒形，這樣橢圓齒輪就可看做是在每個(gè)輪齒中心一個(gè)插入模數(shù)相同，但分度圓直徑不相等的等效圓齒輪的輪齒構(gòu)成的[7]。如圖1所示，1點(diǎn)是橢圓齒輪某齒弧厚的中點(diǎn)，這個(gè)齒的齒形對(duì)應(yīng)于圓心為O1、分度圓半徑為r1的相同模數(shù)的圓柱齒輪的齒形，對(duì)于2點(diǎn)，此處的齒形對(duì)應(yīng)于圓心為O2、分度圓半徑為r2的圓柱齒輪的齒形。齒形折算法無需大量計(jì)算，得到的齒形的精確度可滿足大部分實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)合的需求，是一種切實(shí)可行的建模方法。

2　參數(shù)化建模

CREO是當(dāng)今世界上最成功的CAD/CAM軟件之一，應(yīng)用較為廣泛。利用齒形折算法在CREO軟件平臺(tái)上對(duì)橢圓齒輪進(jìn)行參數(shù)化設(shè)計(jì)，可以方便的更改參數(shù)值實(shí)現(xiàn)模型的更新設(shè)計(jì)，大幅度提高了工作效率。

2.1驅(qū)動(dòng)參數(shù)的確定

一對(duì)橢圓齒輪的節(jié)曲線是相互嚙合的一對(duì)橢圓齒輪在傳動(dòng)過程中實(shí)現(xiàn)無滑動(dòng)的滾動(dòng)共軛曲線，如圖2所示。從幾何關(guān)系上講節(jié)曲線、齒根曲線、齒頂曲線在法向上是等距線，故節(jié)曲線的參數(shù)對(duì)于橢圓齒輪起著非常重要的作用。

圖2　橢圓齒輪的節(jié)曲線

橢圓齒輪的節(jié)曲線方程為：

由此方程可以得出長(zhǎng)軸半徑a與偏心率e決定著節(jié)曲線的形狀。

橢圓齒輪的傳動(dòng)比為：

由傳動(dòng)比方程中可以得出節(jié)曲線的偏心率e決定著傳動(dòng)比變化曲線。一般情況下，進(jìn)行齒輪傳動(dòng)結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)時(shí)必須根據(jù)實(shí)際工況選取合適的傳動(dòng)比，所以偏心率e是首先需要確定的參數(shù)。

由圖7得知，對(duì)照組干腌羊火腿的肌原纖維蛋白發(fā)生了降解，但降解程度不大。分子量為63.0 ku～48.0 ku和48.0 ku～35.0 ku中間出現(xiàn)蛋白條帶逐漸變粗；35.0 ku～25.0 ku中間出現(xiàn)了很多小的蛋白條帶；25.0 ku～20.0 ku、20.0 ku～17.0 ku和17.0 ku～11.0 ku中間產(chǎn)生的蛋白條帶逐漸變粗，顏色也逐漸加深，說明高分子蛋白降解產(chǎn)生了新的蛋白片段。

橢圓齒輪的特點(diǎn)是輪齒在節(jié)曲線上均勻分布，模數(shù)m、齒數(shù)z與節(jié)曲線的周長(zhǎng)L的關(guān)系為：

L=πmz

綜和上述各種因素，選取橢圓齒輪節(jié)曲線的偏心率e與長(zhǎng)軸半徑a、模數(shù)m、齒數(shù)z作為驅(qū)動(dòng)參數(shù)，通過這四個(gè)參數(shù)控制節(jié)曲線的的輪廓。這四個(gè)參數(shù)的具體數(shù)值需進(jìn)行反復(fù)計(jì)算才能得出，謝漱峰詳細(xì)計(jì)算與論證了橢圓齒輪傳動(dòng)及節(jié)曲線的計(jì)算[8]，模數(shù)m、齒數(shù)z、長(zhǎng)軸半徑a、偏心率e之間的關(guān)系為：

……)

2.2齒形的確定

橢圓齒輪的齒頂曲線、齒根曲線的確定方法與圓齒輪相同，都是將節(jié)曲線向上偏移一個(gè)齒頂高、向下偏移一個(gè)齒根高形成的。關(guān)鍵的步驟是確定輪齒左右兩側(cè)的齒廓曲線，為了實(shí)現(xiàn)良好的互換性，橢圓齒輪可采用與圓齒輪一樣的標(biāo)準(zhǔn)齒條型刀具或插齒刀進(jìn)行加工，因此選用標(biāo)準(zhǔn)漸開線作為橢圓齒輪的齒廓曲線[9-10]。

2.2.1輪齒位置的確定

圖3　輪齒位置圖

確定了輪齒中心及其所對(duì)應(yīng)的曲率中心，輪齒才能夠精準(zhǔn)定位。各輪齒的中心點(diǎn)在節(jié)曲線上均勻分布，因此以節(jié)曲線作為參照，按照比率的方式確定。如圖3所示，當(dāng)定義比率為2/z時(shí)，生成基準(zhǔn)點(diǎn)PNT2,此點(diǎn)即為第2齒的輪齒中心。創(chuàng)建通過PNT2點(diǎn)且垂直于節(jié)曲線的基準(zhǔn)面DTM2，再創(chuàng)建通過FRONT面與TOP面的基準(zhǔn)軸A-2，基準(zhǔn)面與基準(zhǔn)軸的交點(diǎn)PNT3即為PNT2點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的曲率中心。

由橢圓齒輪的節(jié)曲線方程可以得到各輪齒的中心點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的曲率半徑為：

標(biāo)記PNT2點(diǎn)與PNT3點(diǎn)之間的距離，此距離為曲率半徑，即當(dāng)量齒輪的分度圓半徑，將此距離賦值給R2，并計(jì)算出相應(yīng)的基圓半徑。以曲率中心PNT3為原點(diǎn)創(chuàng)建坐標(biāo)系CS0，在此坐標(biāo)系下構(gòu)建輪齒2的齒廓曲線。

在CS0坐標(biāo)系下通過方程定義漸開線，由于PNT2點(diǎn)是第二個(gè)輪齒的中心點(diǎn)，所以生成的漸開線并不是齒廓右側(cè)的曲線，需要將其繞當(dāng)量齒輪的圓心PNT3旋轉(zhuǎn)。郭利對(duì)旋轉(zhuǎn)的角度應(yīng)用簡(jiǎn)圖演示和數(shù)學(xué)推導(dǎo)的方法進(jìn)行了研究，對(duì)于壓力角為20°的標(biāo)準(zhǔn)齒條型刀具或插齒刀而言，旋轉(zhuǎn)的角度為90m/R2+0.853945[11]。旋轉(zhuǎn)后得到的曲線以DTM2面為鏡像平面，得到左側(cè)的齒廓曲線，如圖4所示。齒根過渡圓弧的繪制利用倒圓角命令完成，其半徑為0.38m，繪制完成的輪齒2齒形如圖5所示。

由于節(jié)曲線上各輪齒中心曲率半徑不同，故各個(gè)輪齒的齒廓曲線也并不相同，采用上述相同的步驟設(shè)計(jì)其余各輪齒齒廓，將長(zhǎng)軸上半部分的齒廓形狀繪制完畢后進(jìn)行鏡像，對(duì)各輪齒及齒根圓進(jìn)行拉伸操作，隨后創(chuàng)建軸孔、鍵槽，完成橢圓齒輪的整體造型。

圖4　漸開線的旋轉(zhuǎn)及鏡像

圖5　齒形輪廓

2.3程序設(shè)計(jì)

在CREO軟件中的程序編輯窗口中可以顯示出系統(tǒng)自動(dòng)生成的參數(shù)化設(shè)計(jì)程序，在INPUT和END INPUT中添加下列語(yǔ)句。

INPUT

E NUMBER

“請(qǐng)輸入齒輪的偏心率 = =”

A NUMBER

“請(qǐng)輸入齒輪的長(zhǎng)軸 = =”

圖6　橢圓齒輪三維模型

Z NUMBER

“請(qǐng)輸入齒輪的齒數(shù) = =”

M NUMBER

“請(qǐng)輸入齒輪的模數(shù) = =”

END INPUT

分別輸入E=0.3，A=38.378667，M=3，Z=25，得到的三維模型如圖6所示。

3　橢圓齒輪副的運(yùn)動(dòng)仿真

圖7　橢圓齒輪副運(yùn)動(dòng)學(xué)分析模型

在CREO的組件模式下將橢圓齒輪進(jìn)行裝配，但是該軟件的機(jī)構(gòu)分析模塊中只提供定傳動(dòng)比的齒輪副，因此將裝配文件導(dǎo)入動(dòng)力學(xué)分析軟件ADAMS中進(jìn)行分析。在兩齒輪的中心軸與大地之間添加旋轉(zhuǎn)副，創(chuàng)建驅(qū)動(dòng)為120r/min，兩齒輪之間施加接觸力，保證主動(dòng)輪能夠推動(dòng)從動(dòng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)學(xué)分析模型如圖7所示。

對(duì)模型的自由度進(jìn)行驗(yàn)證，不存在冗余自由度，因而不需要重新修正模型。設(shè)置仿真時(shí)間為3s，運(yùn)算步數(shù)為300步，計(jì)算結(jié)束之后進(jìn)入ADAMS/Postprocessor中查看仿真結(jié)果。如圖8所示，主動(dòng)輪的角速度為水平直線，從動(dòng)輪的角速度曲線存在一定的波動(dòng)，一方面是由于定義了接觸力，在傳動(dòng)中會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)[12]，另一方面是由于橢圓齒輪的變速特性形成了振動(dòng)脈沖[13]。對(duì)比傳動(dòng)比公式可以看出，仿真曲線的變化趨勢(shì)與理論分析保持一致，證明了橢圓齒輪模型的可行性。

圖8　角速度仿真曲線

4　結(jié)束語(yǔ)

(1)利用齒形折算法進(jìn)行橢圓齒輪參數(shù)化造型的原理直觀明確，無需大量理論推導(dǎo)與計(jì)算，生成的實(shí)體模型可直接用于生成NC代碼，能夠?yàn)闄E圓齒輪的數(shù)控加工提供基礎(chǔ)的技術(shù)依據(jù)。

(2)利用動(dòng)力學(xué)分析軟件ADAMS對(duì)橢圓齒輪傳動(dòng)過程進(jìn)行了分析，與理論上橢圓齒輪副嚙合傳動(dòng)的情況相符，證明了利用齒形折算法設(shè)計(jì)的橢圓齒輪在精度上可滿足實(shí)際工況的需求。

(3)本文采用的方法同樣適用于其他非圓齒輪的造型與運(yùn)動(dòng)仿真，為非圓齒輪的設(shè)計(jì)提供了簡(jiǎn)潔、高效的途徑。

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(編輯李秀敏)

Parametric Modeling and Motion Simulation Based on Tooth Profile Conversion Method of Elliptic Gear

SHI Nuo1a, LIU Qiong1b, FENG Dong-xu1a, LU Jian-xiao2

(1a.College of Mechanical & Electrical Engineering;b.College of Information Engineering, Yangling Vocational & Technical College, Yangling Shaanxi 712100,China;2.College of Chemical Engineering, Yan′an University, Yan′an Shaanxi 716000,China)

Elliptic gear is a typical non circular gear, with transmission ratio characteristics of heterogeneity and periodic variations, bringing excellent effects in practice such as machines, light industrial automatic machinery, instrumentation and other fields. The study on its modeling has an important significance for its popularization and application. According to the structural characteristics of elliptic gear and tooth profile conversion method, parametric modeling was carried out based on CREO, and motion simulation was constructed in ADAMS. The simulation results show that elliptic gear pair meshing transmission case is the same as theory analysis. This proves the feasibility of the modeling method, and provides the technical basis for the numerical control machining of elliptic gear.

tooth profile conversion method; elliptic gear; parametric modeling

1001-2265(2015)11-0114-03DOI:10.13462/j.cnki.mmtamt.2015.11.032

2014-12-23；

2015-01-27

史諾(1985—)，男，陜西楊凌人，楊凌職業(yè)技術(shù)學(xué)院講師，碩士，研究方向?yàn)闄C(jī)械制造與自動(dòng)化，(E-mail)shinuo7241@sina.com。

TH132;TG506

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