準幻方矩陣的幾個性質(zhì)

劉 玉

（韓山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣東 潮州 521041）

幻方矩陣已有很多研究和應(yīng)用[1-4]，文獻[5]和[6]給出了準幻方矩陣的定義并討論了這類矩陣的若干性質(zhì)，得出了一些很好的結(jié)論，本文在此基礎(chǔ)上研究了準幻方矩陣的幾個性質(zhì)，得出了一些新的結(jié)果.

1 預(yù)備知識

本文用AT表示n 階矩陣A 的轉(zhuǎn)置矩陣；用I 表示單位矩陣；用e 表示所有元素都是1 的列向量，即e=(1 ，1，…,1)T；用J 表示n 階全1矩陣，即所有的元素都是1的n 階矩陣；用Rn×n表示實數(shù)域上n階矩陣的全體；如無特別說明，本文所討論的矩陣A均指n 階實矩陣；一個n 階矩陣P 若它的每一行和每一列有且僅有一個非零元素1而其余各元素全為0，則稱矩陣P 為n 階置換矩陣，可以看出若設(shè)為n 階置換矩陣的全體，則共有n!個不同的置換矩陣.

定義1[7]設(shè)A ∈Rn×n，P為n 階置換矩陣，若其中A11為r×r子矩陣，A22為(n-r)×(n-r)子矩陣，則稱矩陣A是可約矩陣.

定義2[1]設(shè)A=(aij)∈Rn×n，如果

即A 的所有元素是非負的，則稱A 為非負矩陣，記作A ≥0.

定義3[5]設(shè)A ∈Rn×n，如果滿足Ae=ATe=ae（其中a ∈R），則A 稱為準幻方矩陣.

由A 與a的關(guān)系可記為a=ρ(A).特別的ρ(A)=0當時則A 稱為雙心矩陣，若A ≥0且ρ(A)=1則A 稱為雙隨機矩陣.

定義4[7]設(shè)A,B ∈Rn×n，P 為n 階置換矩陣，若PAPT=B，則稱矩陣A 置換相似于矩陣B.

引理[3]1 （Birkhoff 定理）設(shè)A 是n 階雙隨機矩陣，則A 可表為n 階置換矩陣全體的凸線性組合.即

引理[3]2 設(shè)A為任意n階準幻方矩陣，設(shè)m為A中最小的元素，則A-mJ為非負準幻方矩陣.

引理3 設(shè)A ∈Rn×n，若A 是非負的準幻方矩陣，則A 可表示為n 階置換矩陣的凸線性組合.即

證明 設(shè)A ∈Rn×n，且A 是非負的準幻方矩陣，

若ρ()A =0，易知A=0，此時ai=0，結(jié)論成立；

故

設(shè)ρ(A) ci=ai（ci≥0，i=1，2，…，n!），可見ai∈R （i=1，2，…，n!）

引理5[8]設(shè)A ∈Rn×n，若A 是雙隨機矩陣，則存在n 階置換矩陣P，使得PAPT=A1⊕A2⊕…⊕Ap，其中Ai為ni階雙隨機矩陣(i=1,2,…p,n1+n2+…+np=n).即，雙隨機矩陣置換相似于雙隨機矩陣的直和.

2 準幻方矩陣的性質(zhì)

定理1 設(shè)A ∈Rn×n，若A 是準幻方矩陣同時又是反對稱矩陣，則A 為雙心矩陣

證明 設(shè)A ∈Rn×n，若A 是反對稱矩陣，則A=-AT，故Ae=-ATe，又因A 是準幻方矩陣，則Ae=ATe=ρ(A)e，從而得到ρ(A) e=-ρ(A) e，故ρ(A) =0，即A 為雙心矩陣.

定理2 設(shè)A ∈Rn×n，若A 是雙隨機矩陣同時又是正交矩陣，則A 為置換矩陣.

證明 設(shè)A ∈Rn×n，若A 是雙隨機矩陣，則0 ≤aij≤1，j=1，2，…，n；又因A 為正交矩陣則又當存在aij滿足0＜aij＜1 時，有此時與A 是正交矩陣矛盾.故只有aij=0或aij=1.又推出A 的每一行有且僅有一個元素為1，其余各元素全為0.

同理可推出A 的每一列有且僅有一個元素為1，其余各元素全為0.

綜上可知A 為置換矩陣.

定理3 設(shè)A ∈Rn×n，若A 是準幻方矩陣且ρ(A)≠0，若A 有且僅有n個非零元素，則A=ρ(A)P（P為n 階置換矩陣）.

證明 由若A 是準幻方矩陣且ρ(A)≠0，可知A的每一行及每一列至少有1個非零元素，否則與ρ(A)≠0矛盾.

由A 有且僅有n個非零元素，可知A 的每一行及每一列至多只有1個非零元素，否則與這個條件矛盾.

綜上可知A 的每一行及每一列有且僅有一個非零元素，又為A 準幻方矩陣，故A 中的非零元素都為ρ(A) ，即有A=ρ(A) P，其中P為n 階置換矩陣.

定理4 設(shè)A ∈Rn×n，若A 是準幻方矩陣，則A 可表示為n 階置換矩陣的線性組合.即

證明 設(shè)A ∈Rn×n，若A 是準幻方矩陣，設(shè)m為A中最小的元素，由引理2知A-m J為非負準幻方矩陣，由引理3證明可知

定理5 設(shè)A ∈Rn×n，若A 是可約的非負準幻方矩陣，且準幻方和值為ρ(A)，則存在n 階置換矩陣P，使得PAPT=A1⊕A2⊕…⊕Ap， 其 中 Ai為 ni階 非 負 準 換 方 矩 陣 且 ρ(Ai)=ρ(A) (i=1,2,…p,n1+n2+…+np=n).即，n 階可約的非負準幻方矩陣A 置換相似于準幻方和值都為ρ(A) 的非負準幻方矩陣Ai(i=1,2,…p）的直和，其中n1+n2+…+np=n.

證明 設(shè)A 為可約的非負準幻方矩陣，當ρ(A) =0時，A=0，顯然定理成立；當ρ(A) ≠0時，則為可約的雙隨機矩陣，由引理5可知則存在n 階置換矩陣P，使得其中 Bi為ni階 雙 隨 機 矩 陣(i=1,2,…p, n1+n2+…+np=n) ， 等 式 兩 邊 同 時 乘 以 ρ()A 得PAPT=ρ(A)B1⊕ρ(A)B2⊕…⊕ρ(A)Bp（n1+n2+…+np=n).

令A(yù)i=ρ(A)Bi(i=1,2,…p ），則 有PAPT=A1⊕A2⊕…⊕Ap，且 ρ(Ai)=ρ(A) (i=1,2,…p ）， Ai(i=1,2,…p）都是非負準幻方矩陣.

即，n 階可約的非負準幻方矩陣A 置換相似于準幻方和值都為的非負準幻方矩陣ρ()A 的直和，

其中Ai(i=1,2,…p）.得證.

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