袁安富，林 森，仲霞莉

（1.南京信息工程大學(xué) 信息與控制學(xué)院，南京 210044；2.江蘇省氣象能源利用與控制工程技術(shù)研究中心，南京 210044）

0 引言

針對(duì)目前國(guó)內(nèi)制造業(yè)自動(dòng)化轉(zhuǎn)型，我國(guó)將成為全球工業(yè)機(jī)器人最大的市場(chǎng)。作為機(jī)器人的核心傳動(dòng)部件，諧波減速器將擔(dān)當(dāng)著舉足輕重的地位。采用漸開(kāi)線齒形諧波齒輪，柔輪和剛輪只是近似共軛[1]，大多數(shù)齒均為邊緣嚙合或尖點(diǎn)嚙合，這種嚙合受力不均勻，輪齒容易磨損，而且載荷過(guò)大時(shí)容易造成齒與齒之間的干涉。而圓弧齒廓同時(shí)嚙合的齒數(shù)更多，運(yùn)動(dòng)精度更高，柔輪的疲勞強(qiáng)度也得到很大提高。

1 諧波減速機(jī)結(jié)構(gòu)形式[2]

諧波減速機(jī)中柔輪的結(jié)構(gòu)一般分為圓柱型和鐘形，本文主要分析圓柱形柔輪，軸連方式為凸緣外向的螺釘連接。波發(fā)生器結(jié)構(gòu)眾多，本文采用標(biāo)準(zhǔn)橢圓凸輪波發(fā)生器，這種波發(fā)生器可以使柔輪與剛輪的嚙合達(dá)到理想狀態(tài)，運(yùn)轉(zhuǎn)平穩(wěn)，精度高，效率也較高。橢圓凸輪波發(fā)生器裝入柔輪后，柔輪變形如圖1所示，1表示柔輪變形前，2表示柔輪變形后。諧波減速器基本結(jié)構(gòu)為：波發(fā)生器作為輸入部件，剛輪作為固定部件，柔輪作為輸出部件。

圖1 柔輪變形圖

圖1中w為柔輪的徑向位移，w0為柔輪長(zhǎng)軸處的最大變形量，rm是柔輪變形之前的半徑，ρr是原始曲線的極半徑。

2 柔輪齒形設(shè)計(jì)及基本方程的建立[3～5]

2.1 柔輪齒形設(shè)計(jì)

根據(jù)圓弧齒輪的設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn),對(duì)于精滾調(diào)質(zhì)的軟齒面圓弧齒輪,一般取全齒高h(yuǎn)為2m～2.25m，其中m是模數(shù)。為了避免柔輪與剛輪輪齒之間的干涉，需要留有一定的頂隙，因此雙圓弧齒廓諧波齒輪傳動(dòng)柔輪基準(zhǔn)齒形齒高h(yuǎn)可初步定為1.8m～2.12m, 柔輪齒頂高h(yuǎn)a可以取為0.7m～1.0m,齒根高h(yuǎn)f為1.1m～1.5m,取齒頂間隙Wa為0.2m～0.35m。齒形角取為25°。雙圓弧諧波齒輪柔輪基本齒廓設(shè)計(jì)如圖2所示。

圖2 柔輪基本齒廓

2.2 柔輪齒廓方程的建立

根據(jù)圖3所示，首先建立輪齒坐標(biāo)系，以柔輪輪齒的的對(duì)稱(chēng)線為坐標(biāo)xoy的y軸，以柔輪的中性線為該坐標(biāo)的x軸，以齒廓的右邊為例。

柔輪凸齒廓的圓心移距量X1為：

凸齒廓的圓心偏移量L1為：

柔輪右側(cè)凸齒廓的極坐標(biāo)方程為：

其中，t為柔輪的壁厚，β1為凸齒廓的壓力角，（XO1，YO1）為凸齒廓的圓心坐標(biāo)。

柔輪右側(cè)凹齒廓極坐標(biāo)方程為：

式中，X2和L2分別為柔輪凹齒的圓心移距量和偏移量，為凹齒廓的壓角，為凹齒廓的圓心坐標(biāo)。

3 根據(jù)包絡(luò)法求解剛輪理論嚙合方程

3.1 建立坐標(biāo)系

設(shè)一個(gè)固定坐標(biāo)系（OXY）與波發(fā)生器相固連，Y軸與波發(fā)生器的長(zhǎng)軸重合，原點(diǎn)O定于波發(fā)生器的圓心上，兩個(gè)動(dòng)坐標(biāo)系（O1X1Y1）和（O2X2Y2）分別與柔輪和剛輪相固連，Y1軸與柔輪輪齒的對(duì)稱(chēng)軸相重合，O1位于柔輪的中線上。Y2與剛輪齒槽的對(duì)稱(chēng)軸線重合，O2位于剛輪的回轉(zhuǎn)中心上。各個(gè)坐標(biāo)系之間的關(guān)系如圖3所示。

圖3 包絡(luò)法求共軛齒形時(shí)各坐標(biāo)關(guān)系圖

圖中，θ1為柔輪特征曲線對(duì)應(yīng)弧的轉(zhuǎn)角，θ2為剛輪特征曲線對(duì)應(yīng)弧的轉(zhuǎn)角，λ為剛輪與柔輪對(duì)應(yīng)弧中心角之差。μ為柔輪對(duì)稱(chēng)軸線相對(duì)于徑失轉(zhuǎn)過(guò)的角度，Ф為剛輪和柔輪兩個(gè)坐標(biāo)系的夾角。

3.2 各參數(shù)之間的關(guān)系

如圖4所示，原始特征曲線的極坐標(biāo)方程為：

式中，θ為柔輪非變形端的轉(zhuǎn)角。

使用包絡(luò)法求解剛輪齒形時(shí)其他各關(guān)系表達(dá)式為：

3.3 剛輪齒廓方程的建立

使用包絡(luò)理論求解與柔輪共軛的剛輪齒廓基本方程為：

將柔輪凸齒廓AB段的方程(3)代入到式(11)中即可求得與其共軛的剛輪齒廓方程為：將柔輪凹齒廓CD段方程(6)代入到式(3.4)中即可求得與其共軛的剛輪齒廓方程為：

其中各偏導(dǎo)數(shù)分別為：

公式中的c代表cos、s代表sin。

4 實(shí)例分析

以傳動(dòng)比i=80的的諧波齒輪為例，采用雙波傳動(dòng)，柔輪齒數(shù)Z1=160，剛輪齒數(shù)Z2=162，模數(shù)m=0.5，柔輪變形系w*=0.9，柔輪輪齒處壁厚為1m，光滑處壁厚為0.8m，柔輪凸齒廓的圓心移距量X1=0.19m、偏移量L1=0.71m，圓弧半徑R1=1.09m，柔輪凹齒廓的圓心移距量X2=0.26m、偏移量L1=1.54m，圓弧半徑X2=1.2m，波高為0.5，通過(guò)計(jì)算得出柔輪的齒頂圓為Φ81，齒根圓為Φ78.9，剛輪的齒頂圓為Φ80，齒根圓為Φ82.1。

使用三維軟件UG，分別對(duì)柔輪、剛輪以及波發(fā)生器進(jìn)行建模，添加裝配約束，其具體裝配圖如圖4所示，從圖中我們可以看出，柔輪在波發(fā)生器的擠壓作用下發(fā)生指定的變形，在長(zhǎng)軸處，柔輪齒頂和剛輪齒頂處如設(shè)計(jì)一樣，能夠進(jìn)入完全嚙合狀態(tài)，且有一定間隙，以防止輪齒間干涉，在短軸處，柔輪及剛輪輪齒能夠完全脫開(kāi)，互不干涉。與傳統(tǒng)的漸開(kāi)線齒形相比，雙圓弧齒形嚙合的齒對(duì)數(shù)更多。

圖4 諧波齒輪裝配圖

5 對(duì)柔輪進(jìn)行有限元分析[6,7]

5.1 有限元模型的建立

由于在諧波齒輪的設(shè)計(jì)過(guò)程中，我們已經(jīng)使用三維軟件對(duì)柔輪完成了建模，因此，將UG建立的柔輪模型以parasolid格式導(dǎo)出，再將此文件導(dǎo)入到ANSYS中。對(duì)柔輪材料參數(shù)進(jìn)行設(shè)定：E=196GPa、泊松比μ=0.3。

5.2 網(wǎng)格劃分

考慮到柔輪變形較大，所以選擇solid185作為劃分模型的基本單元，他能夠用于模擬塑性、應(yīng)力剛化、蠕變、大變形、大應(yīng)變等場(chǎng)合。柔輪變形部位主要集中在輪齒處，所以對(duì)輪齒部位要?jiǎng)澐值母?xì)一些，這樣結(jié)果也就更準(zhǔn)確，使用體分割的辦法將輪齒和筒體進(jìn)行分割，然后再分別對(duì)它們進(jìn)行網(wǎng)格劃分，劃分后的模型如圖5所示。

圖5 柔輪網(wǎng)格劃分模型

5.3 定義接觸及添加約束

柔輪與波發(fā)生器的接觸可以定義為剛—柔接觸，接觸方式為面—面接觸，以柔輪的內(nèi)壁為柔性面，以波發(fā)生器的外圈為剛性面。定義好接觸對(duì)后，會(huì)自動(dòng)生成TARGET170和CONTACT174兩種接觸單元。

由于所設(shè)計(jì)的減速器中，柔輪與箱體是螺栓連接，因此將柔輪底部的內(nèi)緣定義為完全約束ALL DOF=0。

5.4 結(jié)果分析

柔輪的徑向變形如圖6所示，其最大變形量主要集中在長(zhǎng)軸處，且對(duì)稱(chēng)分布，最大變形值為0.517m，接近設(shè)計(jì)時(shí)的理論波高0.5m。柔輪的整體變形如圖7所示，由于在波發(fā)生器的短軸處，柔輪要向內(nèi)收縮，所以也產(chǎn)生了一定的變形，而對(duì)于整個(gè)柔輪筒體，隨著筒體遠(yuǎn)離輪齒，它的變形量也逐漸減小。

圖6 徑向位移

圖7 整體位移

柔輪的應(yīng)力云圖如圖8所示，其應(yīng)力主要集中在長(zhǎng)軸附近，且靠近與輪齒和光滑筒體的交界處，而柔輪的短軸處所受應(yīng)力最小。將輪齒部位的應(yīng)力云圖進(jìn)行放大后查看，如圖9所示，發(fā)現(xiàn)應(yīng)力主要集中在輪齒的齒根處，因此，柔輪的疲勞斷裂將會(huì)首先從齒根處逐步向外延伸。

圖8 應(yīng)力云圖

圖9 局部放大圖

6 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)三維軟件UG對(duì)設(shè)計(jì)好的雙圓弧諧波齒輪三大部件進(jìn)行建模和裝配，針對(duì)齒輪嚙合頂隙、側(cè)隙、嚙合深度及嚙合齒對(duì)數(shù)等多個(gè)方面，分析得出設(shè)計(jì)的合理性，并與漸開(kāi)線齒形相比，雙圓弧諧波齒輪同時(shí)嚙合的齒數(shù)更多。

基于有限元分析軟件ANSYS，對(duì)波發(fā)生器裝入后的柔輪進(jìn)行仿真分析，通過(guò)應(yīng)力應(yīng)變?cè)茍D，得知柔輪的徑向最大位移量與理論波高基本一致，其應(yīng)力主要集中在波發(fā)生的長(zhǎng)軸處及輪齒及光滑筒體的過(guò)渡處，在成功預(yù)測(cè)其危險(xiǎn)斷面的同時(shí)，為以后柔輪結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供一定理論依據(jù)。

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