高階非線(xiàn)性完全頻散性波浪數(shù)值模型及應(yīng)用

馮衛(wèi)兵， 邵 東， 王明明， 張 俞

(1. 河海大學(xué) 港口海岸和近海工程學(xué)院，江蘇 南京 210098; 2. 海岸帶資源與環(huán)境研究所，江蘇 南京 210098; 3. 南京水利科學(xué)研究院，江蘇 南京 210029)

高階非線(xiàn)性完全頻散性波浪數(shù)值模型及應(yīng)用

馮衛(wèi)兵1,2， 邵 東1， 王明明3， 張 俞1

(1. 河海大學(xué) 港口海岸和近海工程學(xué)院，江蘇 南京 210098; 2. 海岸帶資源與環(huán)境研究所，江蘇 南京 210098; 3. 南京水利科學(xué)研究院，江蘇 南京 210029)

為更精確地模擬強(qiáng)非線(xiàn)性完全頻散性波浪的傳播，采用長(zhǎng)波上非線(xiàn)性重力表面波傳播高階數(shù)學(xué)模型，綜合參考此模式已有的研究成果，建立了一個(gè)高達(dá)五階的完全頻散性非線(xiàn)性數(shù)值模型。應(yīng)用該五階模式對(duì)斜坡地形、潛堤地形及正弦沙鏈地形進(jìn)行模擬計(jì)算，并與已有的實(shí)驗(yàn)資料進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果顯示五階模式較低階模式模擬結(jié)果的精度上有了明顯提高，模擬波形與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合度良好，證明高階模式更適用于高頻散高非線(xiàn)性波浪傳播的數(shù)值模擬。

完全頻散性；波浪傳播；斜坡；潛堤；五階模式

波浪是海岸工程中重要的海洋動(dòng)力條件，對(duì)海工結(jié)構(gòu)安全、港灣停泊條件、海岸泥沙運(yùn)動(dòng)、污染物擴(kuò)散等具有重要的影響，因此研究波浪的運(yùn)動(dòng)情況對(duì)海岸工程建設(shè)有重要意義。天然波浪有頻散性、非線(xiàn)性和隨機(jī)性等特性，運(yùn)動(dòng)規(guī)律受地形、障礙物、流場(chǎng)、水位、能量攝入與損耗等諸多因素的綜合影響。迄今為止，波浪的傳播問(wèn)題只有一些特例有理論解析解，所以研究其控制方程的數(shù)學(xué)模型及數(shù)值模擬具有很大的應(yīng)用價(jià)值。目前被廣泛采用的數(shù)學(xué)模型主要有四種：基于水深和流場(chǎng)緩變假定的波浪折射變形數(shù)學(xué)模型(以波能、波作用守恒方程為主的控制方程)及其擴(kuò)展[1-2]；基于微幅波理論的緩坡方程及其擴(kuò)展[3-7]；基于非線(xiàn)性長(zhǎng)波Boussinesq方程及其擴(kuò)展[8-10]；此外，具有完全頻散性非線(xiàn)性規(guī)則波傳播方程是近年來(lái)一個(gè)重要的研究方向[11-15]。

文中擬采用洪廣文[13, 16-18]所提出的完全頻散性波浪模型(二階偏微分方程,其系數(shù)為高階非線(xiàn)性kη的函數(shù))進(jìn)行非線(xiàn)性波浪的數(shù)值模擬，對(duì)該模式的高階形式進(jìn)行研究，以期提高數(shù)值模擬的精度，使得此模型在波浪強(qiáng)非線(xiàn)性頻散性情況下的模擬結(jié)果更為精確可信。

1 波浪數(shù)學(xué)模型

對(duì)于波浪的傳播，洪廣文等[13, 19]提出了緩變水深、水位與流場(chǎng)水域中的完全頻散性非線(xiàn)性傳播數(shù)學(xué)模型，其五階模型摘要如下。

基于流動(dòng)無(wú)旋條件下的勢(shì)流理論，波流組合的連續(xù)性方程為：

其中，g為重力加速度，W*為綜合能量因子，代表加入Bernoulli方程中的一個(gè)小量的能量耗散系數(shù)。因?yàn)槭?1)為線(xiàn)性方程，文中僅考慮長(zhǎng)波上的重力表面波，因此φT可以被分解成波浪速度勢(shì)φ和長(zhǎng)波速度勢(shì)φc，波高也可分解為波浪與長(zhǎng)波兩部分：

在時(shí)域和空域范圍內(nèi)，ηc均為一個(gè)緩變因子，因此，水面的時(shí)間梯度主要由波浪決定，即Dηc/Dt=0。為將三維控制方程(式(1)及邊界條件)，轉(zhuǎn)換成平面二維形式，并分解為當(dāng)?shù)嘏c遷移兩部分，可以設(shè)求解波浪速度勢(shì)為：

φ(x,y,z,t)=F(x,y,z,t)Φ(x,y,t)

式中：F(x,y,z,t)為當(dāng)?shù)夭糠郑钤缬葿erkhoff在推導(dǎo)靜水中線(xiàn)性緩坡方程時(shí)引入，主要用于描述沿水體縱向的變化，而Φ(x,y,t)為遷移部分，描述在二維平面中的變化。應(yīng)用關(guān)于F和Φ的二階格林公式，經(jīng)推導(dǎo)可將方程化為如下形式：

=C(t),z=ηt

式(4)與式(5)構(gòu)成給定淺水長(zhǎng)波作用下波浪傳播控制方程組，為確定其顯示表達(dá)式，F(xiàn)(x,y,z,t)=coshk(h+z)/coshk(h+ηc),-h≤z≤ηT=η+ηc；頻散參數(shù)k由下式確定：

于是，非線(xiàn)性波浪傳播模型式(4)與式(5)可以表示成以下顯式形式：

為對(duì)這個(gè)五階的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行驗(yàn)證，進(jìn)行如下工作：

2 波浪傳播方程的數(shù)值解法

2.1方程的形式

為方便計(jì)算，將式(7)和式(8)即緩變水底地形水域完全頻散性非線(xiàn)性波傳播方程(無(wú)流情況)寫(xiě)成統(tǒng)一的形式：

為作線(xiàn)性迭代，此五階模式保留線(xiàn)性項(xiàng)：

2.2數(shù)值方法

對(duì)控制方程組采用時(shí)間前插，空間變網(wǎng)格中心差的差分方法進(jìn)行離散，離散后的方程在改進(jìn)的Crank-Nicholson預(yù)測(cè)——校正——迭代模式基礎(chǔ)上，采用文獻(xiàn)[16]提出的淺水復(fù)雜地形條件下非線(xiàn)性方程的新解法(同胚線(xiàn)性的預(yù)測(cè)——校正——迭代方法)進(jìn)行計(jì)算，該差分格式具有無(wú)條件穩(wěn)定性?？臻g差分采用變網(wǎng)格的形式。

數(shù)值解法如下：

式中:β是迭代格式中引入的松弛因子，其取值為0≤β≤1，文中取β=0.5。

計(jì)算時(shí)，在初始時(shí)刻(t=0)，除入射邊界外，計(jì)算域其他部分的的波面η及勢(shì)函數(shù)Φ均賦值為0。在入射邊界處設(shè)置Tanimoto型邊界條件以消除反射波。對(duì)出流邊界，采用由洪廣文和張洪生[20]提出的“時(shí)、空移位”統(tǒng)一邊界條件和海綿層消波相結(jié)合的方法來(lái)處理出流邊界，以達(dá)到更好的消波效果。

3 模型驗(yàn)證與分析

為驗(yàn)證上述建立的五階模型，文中進(jìn)行了多種不同地形的驗(yàn)證。由于篇幅所限，此處僅列出針對(duì)斜坡地形、Dingemans潛堤地形及正弦沙漣水域“Bragg”共振的模擬和分析。

3.1斜坡地形的模擬和分析

波浪從深水區(qū)傳播至淺水區(qū)后會(huì)發(fā)生相當(dāng)復(fù)雜的改變，想要精確模擬這些現(xiàn)象，要求數(shù)值模式能夠包含非線(xiàn)性變形、折射、繞射、波與波之間的相互作用、破碎、爬高等多種因素的計(jì)算能力。Kenney等[21]采用Hansen和Svendsen 1979年進(jìn)行的斜坡上波浪破碎實(shí)驗(yàn)得出的數(shù)據(jù)進(jìn)行模型驗(yàn)證，這里也將采用此實(shí)驗(yàn)對(duì)五階模型進(jìn)行驗(yàn)證比較。Hansen實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ筒贾萌鐖D1所示。

圖1 Hansen與Svendesn實(shí)驗(yàn)地形Fig.1 Experiment of Hansen and Svendesn

對(duì)均勻水深采用一種網(wǎng)格，斜坡部分采用漸變步長(zhǎng)方法計(jì)算，網(wǎng)格在計(jì)算區(qū)域內(nèi)的部分網(wǎng)格步長(zhǎng)從大到小連續(xù)變化，漸變網(wǎng)格法可以防止由于網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)處空間步長(zhǎng)突變，產(chǎn)生反射影響計(jì)算結(jié)果，優(yōu)勢(shì)在于改善計(jì)算結(jié)果的同時(shí)，節(jié)省了計(jì)算時(shí)間和計(jì)算機(jī)內(nèi)存。波浪破碎采用試算的方法確定破碎點(diǎn)，五種波浪要素情況下的各參數(shù)取值如表1所示。

為檢驗(yàn)兩組不同數(shù)據(jù)的符合程度，采用Willmott提出的一致性指標(biāo)公式[22]：

對(duì)模擬結(jié)果和實(shí)驗(yàn)值進(jìn)行定量分析。

表1 斜坡數(shù)值模擬參數(shù)取值表Tab.1 Parameters of the numerical simulation of a sloping bottom

如圖2所示，文中列出五種波要素情況下斜坡上相對(duì)波高的模擬值與實(shí)驗(yàn)值的對(duì)比，圖中實(shí)線(xiàn)為模擬值，散點(diǎn)為實(shí)驗(yàn)值，x軸表示水深值，y軸為相對(duì)波高值。

圖2 Case1至Case5相對(duì)波高模擬值與實(shí)驗(yàn)值比較Fig. 2 Comparison of the calculeted relative wave heights and experimental ones in cases 1 to 5

從圖2中可以看出，破波前后此模式模擬出的波高值及變化趨勢(shì)與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)接近。表2采用一致性指標(biāo)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，并與前人所得出的其他模式模擬成果進(jìn)行比較。如表中一致性指標(biāo)值所示，本模式的一致性比較結(jié)果較先前的結(jié)果有了很大的改善，說(shuō)明在此斜坡地形情況下，五階模式可以更好地模擬非線(xiàn)性波浪傳播。

表2 不同模式的結(jié)果一致性分析表Tab. 2 Table of consistency analysis

3.2Dingemans潛堤地形的模擬和分析

通常，波浪傳播至淺水區(qū)遇到潛堤后，部分主波能量由于波浪非線(xiàn)性的提高由低頻迅速轉(zhuǎn)移至高頻，高頻波邊界與自由水面的相位差引起諧波振動(dòng)，即產(chǎn)生次波。即使主波為長(zhǎng)波(非線(xiàn)性很弱)，自由高頻諧波的頻散性仍然是影響波浪變形的主要因素，波浪能量在諧波之間進(jìn)行轉(zhuǎn)移。因此對(duì)波浪的頻散性和非線(xiàn)性的精確預(yù)測(cè)十分必要。波浪越過(guò)潛堤后，每個(gè)高頻次波都以自身的相位速度進(jìn)行傳播，從而迅速改變波浪的形狀。深水處的相對(duì)水深kh要大于潛堤頂部淺水區(qū)的相對(duì)波數(shù)。這些現(xiàn)象都要求數(shù)值模型在高頻散性波浪區(qū)域具有良好的適用性，因此預(yù)測(cè)波浪在潛堤地形上的傳播變形是波浪傳播數(shù)值模型的一個(gè)較好的驗(yàn)證。

為驗(yàn)證波浪的非線(xiàn)性和頻散性，Dingemans 1976年前后在一潛堤地形進(jìn)行物理實(shí)驗(yàn)[23]，測(cè)量了波浪在潛堤地形上的傳播變形，該實(shí)驗(yàn)地形為：設(shè)置21.0 m長(zhǎng)的數(shù)值水槽，左端為入流邊界，右端采用開(kāi)邊界，水槽靜水深度為0.4 m，在距入流邊界5.7 m處設(shè)置一個(gè)梯形潛堤，迎浪斜坡坡度1∶20、背浪斜坡坡度1∶10，堤頂平臺(tái)寬2.0 m，水深0.1 m，具體布置如圖3所示。圖上方的數(shù)值表示測(cè)波儀據(jù)造波板的距離(單位：m)，用以采集固定點(diǎn)隨時(shí)間歷程的波面情況。

圖3 Dingemans試驗(yàn)布置及測(cè)點(diǎn)位置示意Fig. 3 Location of the measuring points in the experiment of Dingemans

采用五階數(shù)值模型模擬時(shí)，入射波浪振幅a=0.01 m，入射波周期T=2.02 s，計(jì)算網(wǎng)格間距Δx=0.2 m，時(shí)間步長(zhǎng)Δt取T/60。在數(shù)值計(jì)算中選取了圖3中所標(biāo)明的11個(gè)斷面進(jìn)行模擬(從距離造波板2.0 m至21.0 m之間共11個(gè)測(cè)點(diǎn))。由于篇幅所限，文中僅列出具有代表性的幾個(gè)斷面的計(jì)算結(jié)果。圖4為各測(cè)點(diǎn)的數(shù)值計(jì)算值與Dingemans的試驗(yàn)數(shù)據(jù)的比較，其中縱軸為波面值，橫軸表示時(shí)間歷程。

圖4 各測(cè)點(diǎn)處波面值數(shù)值解與Dingemans試驗(yàn)數(shù)據(jù)比較Fig. 4 Comparison of the calculated results and experimental data of Dingemans at the measuring points

從總體上來(lái)看，波浪在爬上潛堤后，在潛堤堤項(xiàng)、潛堤后坡及堤后水域，波峰與波峰之間產(chǎn)生了副波，與實(shí)測(cè)曲線(xiàn)的規(guī)律相符。在潛堤前的測(cè)點(diǎn)，即2.0 m、5.7 m的測(cè)站，波面模擬結(jié)果與實(shí)測(cè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合度良好，這是因?yàn)闈摰糖安克钗窗l(fā)生變化，波浪處于定常狀態(tài)(見(jiàn)圖4(a))；波浪在潛堤頂部測(cè)點(diǎn)，即12.5 m、13.5 m的測(cè)站處，由于水深變淺，波浪開(kāi)始產(chǎn)生非線(xiàn)性變化，模擬值與實(shí)測(cè)值的吻合度較好，峰值、谷值以及次波形態(tài)與實(shí)驗(yàn)值都比較一致(見(jiàn)圖4(b))，證明此模式能夠適用于非線(xiàn)性波浪的傳播；對(duì)于堤后各測(cè)站，即19.0 m 和21.0 m處的測(cè)站，因?yàn)椴ɡ溯^強(qiáng)的頻散性，波形與實(shí)驗(yàn)值的偏差略大于堤前與堤頂各測(cè)站，但是本數(shù)值計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的波形吻合仍然比較好，模擬結(jié)果可信。

為體現(xiàn)文中計(jì)算模式的優(yōu)越性，選擇離潛堤較遠(yuǎn)處的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)(19.0 m，21.0 m)，將本模式計(jì)算值與文獻(xiàn)[2]中的數(shù)值模擬結(jié)果、以及實(shí)測(cè)實(shí)驗(yàn)值相比較。如圖5所示，從文中五階模式的模擬值與文獻(xiàn)[2]的三階模式所得出的結(jié)果對(duì)比來(lái)看，五階模式能夠更精確地表現(xiàn)出次波形態(tài)，非線(xiàn)性現(xiàn)象也表達(dá)得更加直觀(guān)，證明五階模式在此種地形情況下，計(jì)算的精度與結(jié)果的可靠性有了明顯的提升。與三階模式相比，五階模式較大地提升了模式的非線(xiàn)性和頻散性，可以更貼切地模擬高非線(xiàn)性及頻散性情況下的波浪傳播。

圖5 五階模式、三階模式以及實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)比較Fig. 5 Comparison of the results of 5th-order model, 3rd-order model and experiment

為更加直觀(guān)量化地表示模式計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的接近程度，此處也采用上述一致性指標(biāo)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。表3列出對(duì)應(yīng)圖中所示的測(cè)點(diǎn)的一致性指標(biāo)值，并在測(cè)點(diǎn)19.0和21.0 m處與三階模式進(jìn)行了比較。

表3 一致性分析表Tab.3 Table of consistency analysis

可以看出，文中五階模式的計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)值吻合很好，并在非線(xiàn)性較強(qiáng)的堤后測(cè)點(diǎn)19.0和21.0 m處較文獻(xiàn)[2]中的三階模式有了明顯的改良，與實(shí)測(cè)值達(dá)到了很高的吻合度。

3.3波浪通過(guò)正弦沙漣水域“Bragg”共振的模擬

在平均水深不變的情況下，線(xiàn)性波通過(guò)正弦沙漣底床時(shí)，因水底地形對(duì)波浪的作用，入射波產(chǎn)生“Bragg”共振現(xiàn)象。波狀地形前反射波增大，波狀地形后透射波減小。Davies等[24]針對(duì)正弦沙漣底床地形進(jìn)行波浪傳播物理模型試驗(yàn)，水深由下式給出，計(jì)算地形如圖6所示。

式中：λ為沙漣波長(zhǎng)，l為對(duì)應(yīng)的沙漣波數(shù)，n為沙漣個(gè)數(shù)，xs為沙漣起始位置。

圖6 正弦沙漣地形數(shù)值水槽Fig. 6 Numerical water tank with sinusoidally rippled topography

已有研究表明，當(dāng)n等于2 和4 時(shí)，原始緩坡方程計(jì)算結(jié)果和實(shí)測(cè)值仍較為符合，而n等于10 時(shí)，其計(jì)算結(jié)果則與實(shí)測(cè)值有較大誤差，這里選取n=10的情況進(jìn)行驗(yàn)證計(jì)算。入射波波參數(shù):H=0.05 m,T=1.31 s，L=2 m。沙波地形前8L(x1=16 m)的距離處為入流邊界，沙波后2L處為開(kāi)邊界位置。反射系數(shù)按如下公式確定：

圖7中分別為位于x=20、24、30、34、40 m的5個(gè)特征點(diǎn)的波面時(shí)間過(guò)程線(xiàn)。

圖7 各特征點(diǎn)波面時(shí)間過(guò)程線(xiàn)Fig. 7 Variation of wave surface in function of time at each feature point

由圖7可看出，考慮地形因子J的五階非線(xiàn)性模式模擬的結(jié)果穩(wěn)定可信。另外，文中非線(xiàn)性模型模擬的反射系數(shù)較試驗(yàn)值略小，透射系數(shù)略大(表4中列出的各模式反、透射系數(shù))表明非線(xiàn)性波浪透射能力比線(xiàn)性波浪強(qiáng)。

表4 各模式反、透射系數(shù)比較表Tab. 4 Comparison of reflection and transmission coefficient of different models

4 結(jié) 語(yǔ)

基于長(zhǎng)波上非線(xiàn)性重力表面波傳播數(shù)學(xué)模型的五階形式，建立了一個(gè)五階的完全頻散性非線(xiàn)性數(shù)值模型，通過(guò)實(shí)驗(yàn)地形波浪傳播變形情況進(jìn)行了較為系統(tǒng)的模擬計(jì)算，驗(yàn)證了波浪的非線(xiàn)性、頻散性等特性以及波浪的破碎，對(duì)五階模式的精度及適用性進(jìn)行了探索和研究。通過(guò)斜坡地形、Dingemans潛堤地形及正弦沙鏈地形的波浪傳播模擬結(jié)果可以看出，五階模式模擬的結(jié)果穩(wěn)定可信，并且比三階模式在模擬精度上有較大的提高，對(duì)于復(fù)雜地形和強(qiáng)烈非線(xiàn)性波浪的傳播模擬具有更好的適用性。文中驗(yàn)證只限于對(duì)二維非線(xiàn)性傳播典型問(wèn)題，三維問(wèn)題有待今后進(jìn)一步探討。

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The numerical application of a high-order nonlinear and fully dispersive wave model

FENG Weibing1,2， SHAO Dong1， WANG Mingming3， ZHANG Yu1

(1. College of Harbor, Coastal and Offshore Engineering, Hohai University, Nanjing 210098, China; 2. Institute of Coastal Resources and Environment, Hohai University, Nanjing 210098, China; 3. Nanjing Hydraulic Research Institute, Nanjing 210029, China)

For the purpose of a more accurate description of the propagation of waves with a strongly non-linear and fully dispersive nature, a high order and fully dispersive nonlinear wave propagation model is used in enhancing the precision, so that a 5th-order, fully dispersive and strongly non-linear numerical model is realized. By applying the 5th-order model to the calculation for a uniform sloping bottom, a submerged breakwater and a sinusoidally varying topography, it has been observed that the accuracy has been significantly improved with a better correspondence of the form of the wave to experimental data, which illustrates that the 5th-order model is more suitable for the simulation of the propagation of fully dispersive and strongly non-linear waves.

fully dispersive; wave propagation; sloping bottom; submerged breakwater; 5th-order model

TV139.2

A

10.16483/j.issn.1005-9865.2015.01.006

1005-9865(2015)01-0049-09

2014-01-17

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51279055)

馮衛(wèi)兵(1960-)，男，江蘇南通人，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事海岸及河口動(dòng)力學(xué)，港口、海岸工程規(guī)劃與管理，海洋及海岸工程環(huán)境，海岸帶資源開(kāi)發(fā)與管理等研究。E-mail：wbfeng60@126.com