離散累積前景理論下的投資組合選擇

林祥亮,馬成虎,2,范龍振

(1.復旦大學管理學院,上海200433; 2.復旦金融研究中心,上海200433)

離散累積前景理論下的投資組合選擇

林祥亮1,馬成虎1,2,范龍振1

(1.復旦大學管理學院,上海200433; 2.復旦金融研究中心,上海200433)

提出了離散情形下的累積前景理論(CPT)模型,討論了CPT價值函數(shù)的性質(zhì)(包括連續(xù)可微性、一階隨機占優(yōu)性、凹凸性等),給出了投資組合適定的一般條件及兩種特殊情形下最優(yōu)投資組合的解析解.研究發(fā)現(xiàn),存在一個與投資者效用密切相關的臨界點.當超過這個臨界點時,投資于風險資產(chǎn)的額度為有限的;反之,投資于風險資產(chǎn)的額度是無限的.最后提供了連續(xù)分布情形下最優(yōu)解依離散分布最優(yōu)解收斂的定理.

離散分布;累積前景理論;投資組合;收斂性;適定性

1 引 言

實驗經(jīng)濟學研究表明,人們在面臨隨機或不確定性決策時的行為模式可能不滿足期望效用理論[1,2].經(jīng)濟學家試圖改進期望效用理論以期獲得更符合實際的結論.Kahneman等[3]提出的前景理論和Tversky等[4]提出的累積前景理論(簡稱CPT)是這方面工作的重要成就,此種理論主要通過修正最大主觀期望效用理論發(fā)展而來.

累積前景理論的基本要點有:1)效用函數(shù)的正負依賴于參考點的選擇,大于參考點的財富的效用函數(shù)是凹函數(shù),小于參考點的財富的效用函數(shù)是凸函數(shù),該行為特征稱之為“參照依賴”.2)在參考點處,效用函數(shù)的右導數(shù)小于左導數(shù),該類行為特征稱之為“失望規(guī)避”[5]或者“損失規(guī)避”[6?8].3)權重函數(shù)是逆S型概率扭曲函數(shù)[3].也就是說,很多事件發(fā)生的概率很小,但人們總是夸大它的影響;同時,很多事情發(fā)生的概率很大,但人們總是貶低它的影響,該行為特征稱之為“迷戀小概率事件”[9?17].

最近,很多學者對累積前景理論做了深入的探討.Barberis等[18]證明了在風險資產(chǎn)收益率滿足正態(tài)分布并且投資者滿足同質(zhì)偏好的條件下,存在CPT假定下的均衡CAPM.Bernard等[19]研究了滿足冪效用函數(shù)的價值函數(shù)和Tversky等[4]中的權重函數(shù)的特殊情形的CPT模型,得到了模型的解析解以及解的各種性質(zhì). He等[20]提出了連續(xù)情形下的CPT模型,提出了模型的適定性和不定性的定義并解決了最優(yōu)解的存在性問題.Ingersoll[21]回答了一些資產(chǎn)定價領域更為基本的問題,包括對CPT投資者來說何種條件下,市場組合滿足市場有效性、二基金分離定理以及均值方差分析.國內(nèi)文獻中,鄒高峰等[22]在中國資本市場環(huán)境下建立了資本資產(chǎn)定價模型(PTCAPM),并表明其所構建的PTCAPM模型比傳統(tǒng)的CAPM具有更強的解釋能力.

在CPT的應用方面,Hens[23]等表明前景理論不能解釋處置效應.Pfffelmann[24]表明對概率權重函數(shù)做限制性的假定,CPT可以解釋圣彼得堡悖論.Jin[25]等在CPT下量化了“貪心”的概念,發(fā)現(xiàn)其與杠桿和潛在損失之間的關系.解釋了即使存在嚴重損失的風險,“貪心”行為投資者仍然進行投資.

本文在投資者滿足參照依賴、損失規(guī)避以及迷戀小概率事件的假定下提出了離散情形下的CPT模型,給出了投資者的CPT價值函數(shù)的定義,討論了CPT價值函數(shù)的各種性質(zhì),包括它的連續(xù)可微性、一階隨機占優(yōu)性.本文發(fā)現(xiàn),雖然超額收益率的分布是離散的,但投資者的價值函數(shù)是連續(xù)可微的.與之前很多學者的結論類似[4,20],本文的價值函數(shù)滿足一階隨機占優(yōu)性.本文給出了CPT模型下投資組合適定性的定義,證明了滿足適定解存在的條件,并指出此條件的經(jīng)濟意義.另外,本文給出了兩種特殊情況下的解析解.最后本文證明了CPT模型解的收斂性,也就是離散情形下CPT模型的最優(yōu)解收斂到連續(xù)情形下CPT模型的最優(yōu)解.對于超額收益率為連續(xù)分布的情形,在某些情形下利用連續(xù)CPT模型得到解析解較為困難,解析解的形式也很復雜[20],而利用離散CPT模型得到解析解較為容易(本文定理4),此種情況下可采用將分布函數(shù)離散化的方式進行處理,這為處理復雜投資組合問題提供了捷徑,這也為實證研究提供了便利.另外,本文為探討期望效用投資者和CPT投資者的投資行為的差異奠定了基礎,并為下一步研究由CPT投資者構成的市場中一般分布下的均衡定價提供了準備條件.

2 模 型

考慮一個僅有一種風險資產(chǎn)和一種無風險資產(chǎn)的市場.設R為風險資產(chǎn)的凈收益率,r為常數(shù),表示無風險利率.R?r稱為超額收益率,假設其分布函數(shù)為離散的,即

其中t1>t2>···>tm>0>tm+1>···>tn,m為超額收益率取值為正負的分界點.

考慮一個具有CPT偏好投資者的投資選擇問題.投資者偏好包含如下三個組成部分:

1)投資者的參考點為B.當投資者的收益大于B時,投資給投資者帶來正效用;當投資者的收益小于B時,投資給投資者帶來負效用.

2)u+和u?分別代表定義于以B為參考點的財富區(qū)間上的正、負效用函數(shù).

假定1 超額收益率滿足00)<1.1此為無套利條件.

假定2 u±:R+→R+為單增二次連續(xù)可微的凹函數(shù),且u±(0)=0,u±(+∞)=+∞.

假定4 證券資產(chǎn)可以無限細分,風險資產(chǎn)不存在賣空限制.

設投資者的初始財富為W0,該投資者投資于風險資產(chǎn)的財富為θ,其余財富投資于無風險資產(chǎn),則投資者的最終財富為

其中x0=(1+r)W0?B表示無風險收益與參考點的偏差.

令xk=x0+B+θtk,k=1,2,...,n.當θ>0時,得到x1>x2>···>xm>xm+1>···>xn.此時,離散形式的CPT價值函數(shù)為

其中m(θ)為滿足xm(θ)>B>xm(θ)+1的正整數(shù)(當x0>0時,如果不存在m(θ)使得此式成立,則令m(θ)= n;當x0<0時,如果不存在m(θ)使得此式成立,則令m(θ)=0),w+(pk)(Pr(R?r>tk+1))?(Pr(R?r>tk)),w?(pk)(Pr(R?r

當θ<0時,有x1

其中m(θ)為滿足xm(θ)+1>B>xm(θ)的整數(shù)(當x0>0時,如果不存在m(θ)使得此式成立,則令m(θ)=0;當x0<0時,如果不存在m(θ)使得此式成立,則令m(θ)=n),w+(pk)Pr(R?r>tk?1))?(Pr(R?r>tk)),w?(pk)(Pr(R?r

定義

注意 1)當x0=0時,對式(2)和式(3)中的m(θ),恒有m(θ)=m.

2)θ<0表示投資者賣空風險資產(chǎn)的情況,賣空的數(shù)量為|θ|,為簡單計,本文沒有假定投資者采用保證金制度賣空風險資產(chǎn).

3)由式(4)容易得到,當x0>0時,U(0)>0;當x0<0時,U(0)<0,并且價值函數(shù)與概率權重函數(shù)無關,說明任何投資者只要其參考點相同,在不投資于風險資產(chǎn)時的價值函數(shù)是相同的.

引理1 1)當x0>0且θ>0時,m(θ)單減;當x0>0且θ<0時,m(θ)單減;當x0<0且θ>0時,m(θ)單增;當x0<0且θ<0時,m(θ)單增;當x0=0時,m(θ)=m.

2)當θ→∞時,m(θ)→m.

如果投資者的參考點低于無風險收益,那么當該投資者買入更多風險資產(chǎn)時,收益大于參考點的可能性降低;相反,如果投資者的參考點高于無風險收益,那么當該投資者買入更多風險資產(chǎn)時,收益大于參考點的可能性升高.如果投資者的參考點低于無風險收益,那么當該投資者賣空更多風險資產(chǎn)時,收益大于參考點的可能性升高;相反,如果投資者的參考點高于無風險收益,那么當該投資者賣空更多風險資產(chǎn)時,收益大于參考點的可能性降低.如果投資者的參考點為無風險收益,那么不論是買入資產(chǎn)還是賣空資產(chǎn),收益大于參考點的可能性不變,只與風險資產(chǎn)的超額收益的分布有關.總而言之,投資者的收益與參考點之間的孰大孰小的概率不僅與參考點與無風險收益的大小有關,還與投資者買入還是賣空資產(chǎn)有關.

當投資者買入大量的風險資產(chǎn)或者賣空大量的風險資產(chǎn)時,投資者的收益大于參考點的可能性趨于不變,不變量只與風險資產(chǎn)的超額收益的分布有關.

命題1 以上定義的U(θ),?θ∈R′,在x0固定時是連續(xù)可微的,并且在θ=0時,有

命題1說明給定參考點與無風險收益之間的差額,投資者的價值函數(shù)是連續(xù)變化的,不會出現(xiàn)跳躍,這與現(xiàn)實是相符的.但是如果投資者的參考點連續(xù)變化時,投資者的價值函數(shù)卻在無風險收益處有跳躍,這從式(4)中可以容易得出,這說明無風險收益是投資者的重要的參考標準.

當x0>0時,記(R?r)=表示投資者對風險資產(chǎn)的超額收益率的主觀期望.由于此期望必然大于零(否則投資者不會投資于此種資產(chǎn)),所以U′(0)>0.同理,當x0<0時,記(R?仍然表示投資者對風險資產(chǎn)的主觀超額收益率的期望,因此U′(0)>0.這就是說,只要x00,投資于少量風險資產(chǎn)會增加投資者的價值.當x0=0時,記E+(R?r)(?tk)w?(pk)分別表示投資者對風險資產(chǎn)的超額收益率的正主觀期望和負主觀期望.

命題2 由式(2)–式(3)定義的CPT價值函數(shù)滿足一階隨機占優(yōu)性.

一階隨機占優(yōu)性質(zhì)成立表明投資者持有占優(yōu)資產(chǎn)預期效用總是更高的,因此,投資者總會持有占優(yōu)資產(chǎn).一般情況下,由式(2)–式(3)定義的CPT價值函數(shù)不滿足二階隨機占優(yōu)單調(diào)性,這在Bernard等[19]一文中有反例.

3 適定性與不定性

投資者的最優(yōu)投資組合問題是

定義1 如果極值可達,且在最優(yōu)解處投資于風險資產(chǎn)的資金是有限的(即θ有限值),則稱問題(P)為適定的;反之,則稱問題(P)為不定的.

令

有如下結論.

定理1 當k=∞時,問題(P)為適定的;當k=0時,問題(P)為不定的.

直觀上講,從式(5)的定義中可以看出,k=∞說明投資于風險資產(chǎn)或者賣空風險資產(chǎn)的數(shù)額足夠大時,對投資者來說負的效用遠大于正的效用.因此投資者會選擇投資有限數(shù)額于風險資產(chǎn)中.換一種說法, k=∞表明投資者非常規(guī)避看跌風險,因此不會在風險資產(chǎn)上投入太多金額,即使風險資產(chǎn)的平均收益很大.相反,當k=0時,投資于風險資產(chǎn)或者賣空風險資產(chǎn)的數(shù)額足夠大時,負的效用遠遠小于正的效用,投資者會盡量投資更多數(shù)額的風險資產(chǎn).

引理2 令

則有

且若0

令k0=max{a1/b1,a2/b2},有如下結論.

定理2 若0k0時,問題(P)是適定的;當k

直觀地說,對投資者來說,存在一個與投資者效用的主觀期望密切相關的臨界點.當超過這個臨界點時,投資于風險資產(chǎn)的額度為有限的;反之,投資于風險資產(chǎn)的額度是無限的.由引理2及k0的定義,有

同理,有

因此,k>k0等價于

k

這樣,可以如下理解定理:當投資于風險資產(chǎn)的數(shù)額足夠大或者賣空風險資產(chǎn)的數(shù)額足夠大時,若投資者獲得的正條件期望效用大于負條件期望效用,則投資者會買入或者賣空無限數(shù)額的風險資產(chǎn);反之,投資者會投資有限數(shù)額的資金于風險資產(chǎn).

這樣,驗證了對于部分效用函數(shù),價值函數(shù)為非凸非凹函數(shù),對求解優(yōu)化問題在技術上產(chǎn)生困難.

4 兩種特殊情況的解析解

由于問題(P)的復雜性,本文沒有得到一般情形下它的解析解.以下本文就兩種特殊情形推出問題(P)的解析解.

由于冪效用函數(shù)在經(jīng)濟和金融上都有廣泛的應用,本文首先研究它的解析解.以下定理表明冪效用函數(shù)情形下最優(yōu)解不僅與效用函數(shù)的相對系數(shù)(γ)有關,也與效用函數(shù)的相對風險規(guī)避系數(shù)有關.

定理3 如果效用函數(shù)的形式為u+(x)=xα,u?(x)=γxβ,γ>0,0<α,β<1,那么,

1)當α<β時或者當α=β并且γ>k0時,問題(P)是適定的;當α>β時或者當α=β并且γ

以下結果均假定x0=0.

其中a1,a2,b1,b2定義見引理2.

3)當α=β并且γ>k0時,問題(P)的最優(yōu)解為θ?=0.

4)當α=β并且γ=k0=a1/b1時,任意θ>0均為最優(yōu)解.

5)當α=β并且γ=k0=a2/b2時,任意θ60均為最優(yōu)解.

線性效用函數(shù)由于其性質(zhì)簡單并可作為很多效用函數(shù)的基準受到不少經(jīng)濟學家的關注[7],其本質(zhì)上是投資者對參考點處的凹凸性不是很看重,也就是說,如果投資者趨于風險中性,可近似采用線性效用函數(shù).

定理4 假設u+(x)=x,u?(x)=γx,則有

4)假設問題(P)是適定的,記

其中K=m,m+1,...,n.若x0>0,則價值函數(shù)的最大值為

5 收斂性

本文進而探討連續(xù)分布作為離散分布的極限情形下的最優(yōu)投資組合選擇問題.關于連續(xù)分布下CPT投資者的最優(yōu)選擇問題,在He等[20]的文章中有較為深入的討論.由于任意給定的連續(xù)分布函數(shù)都可由有限支撐的離散分布逼近,自然要問:這兩種情況下得到的結論是否一致?也就是說,本文討論的離散情形的解是否收斂到連續(xù)情形的解?

令FT(t)為對應于超額收益率的連續(xù)分布函數(shù),且滿足He等[20]的文章中假定3的條件.此時有:

當θ>0時,

當θ<0時,

記Θ={θ∈R′|U(θ)在θ達到最大值},Θ(n)={θ∈R′|U(n)(θ)在θ達到最大值}分別為對應于連續(xù)分布和離散分布情形下最優(yōu)解的解集.記θ?,arg minθΘ;,arg minθΘ(n).

定理5 如果問題(P)是適定的,則當n→∞時,對任意有界的θ有U(n)(θ)→U(θ)并且→θ?.

這個從現(xiàn)實中來看也是很有意義的,定理說明,如果超額風險的分布比較復雜,投資者可以采用將分布函數(shù)離散化的方法得到離散情形下的在風險資產(chǎn)上的最優(yōu)投資額,以此來逼近原始連續(xù)分布問題的解.由于離散情形的最優(yōu)投資額收斂于連續(xù)情形的最優(yōu)投資額,這個近似是合理的,并且所取的離散化分布函數(shù)越接近,得到的結果近似程度越好.

6 結束語

本文提出了離散情形下的累積前景理論(CPT)模型,探討了CPT偏好投資者的最優(yōu)投資選擇問題,并提供了離散分布情形下CPT投資者所對應的問題解的收斂性定理.研究發(fā)現(xiàn),存在一個與投資者效用密切相關的臨界點.當超過這個臨界點時,投資于風險資產(chǎn)的額度為有限的;反之,投資于風險資產(chǎn)的額度是無限的.本文結論在多個風險證券投資且投資收益服從無限支撐離散分布的情況下也成立.后續(xù)研究主要包括多期CPT偏好特征的推廣及動態(tài)投資選擇問題,做空保證金對投資行為的影響問題以及參考點內(nèi)生性對定對投資行為的影響問題.

感謝嚴加安院士、湯善健教授對文章進一步修改所提的意見以及王甜甜博士在本文寫作過程中對作者的幫助.

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附錄 定理證明

引理1的證明 1)下面僅證x0>0并且θ>0的情況,其余情況類似可證.當x0=0時,結論顯然.

當x0>0并且θ>0時,由m(θ)的定義,知道θtm(θ)+x0>0,θtm(θ)+1+x0<0,故有tm(θ)>?x0/θ>tm(θ)+1,所以當θ增加時,tm(θ)也增加,所以m(θ)減少;同理,當θ減少時,m(θ)增加.所以m(θ)單調(diào)遞減.

2)由于m(θ)單調(diào)有界,所以必然有極限.設當θ→∞時,m(θ)→m′,則由(1)的證明易知tm′>0>tm′+1,再由m的定義得到m′=m. 證畢.

命題1的證明 1)連續(xù)性.下面僅證x0>0并且θ>0時的情況,其余情況類似.當x0=0時,由引理1,m(θ)=m,再由u±(x)的連續(xù)性假定,易知U(θ)連續(xù).

當x0>0并且θ>0時,記Θ?={θ|m(θ)在θ點產(chǎn)生跳躍},分如下兩種情況討論.

(i)若θ/∈Θ?,則在θ附近m(θ)為常數(shù),由u±(x)的連續(xù)性假定,易知U(θ)是連續(xù)的.

(ii)若θ∈Θ?,即θtm(θ)+x0=0,則由于m(θ)為單調(diào)遞減函數(shù),因此m(θ)為左連續(xù)的.當θ′<θ且θ′在θ附近時, m(θ′)=m(θ).這時,顯然有U(θ)是連續(xù)的.當θ′>θ時,m(θ′)=m(θ)?1.此時,

易知,當θ′→ θ時,I1→ 0并且I3→ 0.由于θ∈Θ?,所以I2=0.當θ′→ θ時,I4→ u?(θtm(θ)+x0)w?(pm(θ))= u?(0)w?(pm(θ))=0.因此,綜上所述,當θ′→θ時,U(θ′)?U(θ)→0.

最后,鑒于U(0)為自行定義,證明U(θ)在0處的連續(xù)性是很有必要的.由于x0>0,所以當θ足夠小時,θtk+x0>0對任意k恒成立,而由m(θ)的定義,m(θ)是滿足θtk+x0>0成立的最大的值,因此m(θ)=n.顯然,U(θ)在0處連續(xù).

2)可微性.本文也僅證當x0>0并且θ>0時的情況,其余情況與之類似可證.此時,分如下兩種情況討論.

(i)若θ/∈Θ?,則在θ附近m(θ)為常數(shù),由u±(x)的可微性假定,易知U(θ)是可微的.

(ii)若θ∈Θ?,當θ′<θ且θ′在θ附近時,可微性證明與連續(xù)性證明類似.當θ′>θ時,利用連續(xù)性的證明結果,有

由u±(x)的可微性以及θtm(θ)+x0=0的假定,易知

由以上四式得到U(θ)滿足可微性.

對于U(θ)在0點的可微性以及U′(0)的值,由連續(xù)性部分的證明可知,當x0>0并且θ足夠小時,可以證得m(θ)=n.因此,U(θ)在0點的可微性以及U′(0)的值是顯然的. 證畢.

命題2的證明 假設有兩個風險收益變量,分別為R1和R2,則超額收益率為R1?r和R2?r.記R1?r和R2?r的分布函數(shù)分別為F1(t)和F2(t).再假定R1?r一階隨機占優(yōu)于R2?r,即F1(t)6F2(t),?t∈(?∞,+∞).這樣當θ>0時,式(2)規(guī)定的CPT價值函數(shù)為

因此,兩個風險收益變量的CPT價值函數(shù)之差為

其中

由隨機占優(yōu)性的假定,上式兩項均大于或等于零,因此K1>0.同理可得,K2>0.所以U1(θ)?U2(θ)>0.這樣就證明了式(2)規(guī)定的CPT價值函數(shù)滿足一階隨機占優(yōu)條件.當θ<0時,證明類似. 證畢.

定理1的證明 1)當k=∞時,由He等[20]中定理1的證明得到：對于任意固定的x1,x2,以及t>0,均有

當θ>0時,

把價值函數(shù)寫成如下形式

引理2的證明 下面僅證當x0>0并且θ>0的情況,其余類似.由引理1,當x0>0時,m(θ)>m.所以

若k有限,則

定理2的證明 下面僅證θ>0時的情況,θ<0時類似可證.

由引理2,當θ→+∞時,上式中花括號內(nèi)的部分的極限為

命題3的證明下面僅證若U(+∞)=?∞和U′(+∞)=0同時成立,則U(θ)為非凹函數(shù),其余類似.

仿照命題1的證明可得到,U(θ)的二階導數(shù)在x0固定時是連續(xù)可微的.設U(θ)為凹函數(shù),則U′′(θ)60,所以U′(θ)單調(diào)遞減.再由U′(+∞)=0,得到U′(θ)>0,所以U(θ)單調(diào)遞增.而U(+∞)=?∞,所以U(θ)=?∞,這是不可能的(因為由式(4),U(0)是有界的),因此U(θ)為非凹函數(shù). 證畢.

定理3的證明 1)的證明由定理2得到.

2)因為x0=0,所以m(θ)=m.當θ>0時,令

得式(8)成立.經(jīng)計算得

3)當θ>0時,U(θ)=θαb1(a1/b1?γ)<0,因此,當且僅當θ=0時,U(θ)達到最優(yōu)解.當θ<0時,證明類似可得.因此,當且僅當θ=0時,U(θ)達到最優(yōu)解.

4)當α=β并且γ=k0=a1/b1時,由U(θ)=θαb1(a1/b1?γ)=0易得任意θ>0均為最優(yōu)解.

5)證明與4)類似.證畢.

定理4的證明 下面僅證θ>0時的情況,θ<0的情況類似可證.當θ>0時,由引理1,可以取θ足夠大,使得m(θ)=m.此時

4)的證明僅需對x0>0并且θ>0時的情況進行論證.此時

同理,當θ<0時,價值函數(shù)的最大值為

由以上兩式便可得到問題的結論.證畢.

定理5的證明 先證明第一部分.下面僅證θ>0時的情況,θ<0時的情況類似.由w+和w?的性質(zhì),以及(t)弱收斂到FT(t),得到w+(1?(t))→w+(1?FT(t)),以及w?((t))→w?(FT(t)).對任意有界的θ,u±有界,由基本定理[26]得到U(n)(θ)→U(θ).

第二部分的證明利用反證法.僅證θ?>0的情況,其余類似.由于問題(P)是適定的,因此,θ?取有界值的時候U(θ)達到最大值;取有界值的時候U(n)(θ)達到最大值.假定θ?,則由維爾斯特拉斯定理,存在序列{},使得當j→+∞時,→θ?.由U(·)的連續(xù)性,U(n,j)()→U()→U(.又因為當j→+∞時,U(n,j)()=maxU(n,j)(θ)→maxU(θ)=U(θ?),所以U()=U(θ?).由于θ?為U(θ)取到最大值的情況下的最小值,所以>θ?.所以對于δ=(?θ?)/3,存在足夠大J,使得當j>J時,>θ?+2δ.

記{αn}為一列數(shù),滿足αn→θ?.對于任意?>0,存在非常大的數(shù)A,使得如下式子成立,即

因此,當n足夠大時,有

下證當n足夠大時,M1<4?.

Portfolios choices under cumulative prospect theory in the case of discrete distribution

Lin Xiangliang1,Ma Chenghu1,2,Fan Longzhen1
(1.School of Management,Fudan University,Shanghai 200433,China; 2.Financial Research Center,Fudan University,Shanghai 200433,China)

The paper presents a cumulative prospect theory(CPT)model under discrete distributions.Some topological properties of the CPT value function,including differentiability,stochastic dominance and convexity,are discussed.General conditions for the well-pose of the portfolio choice problem with CPT value function are provided,in addition to analytical solutions obtained under two different sets of parametric model specifcations.The conclusion is that there is a critical point associated with the investor’s utility.When it exceeds this critical point,the amount invested in risky assets is limited;conversely,the amount is unlimited. As a separate contribution,this paper provides a convergence theorem for the CPT model under continuum distribution as a limit to the discrete counterparts.

discrete distribution;prospect theory;portfolio;convergence;well-pose

F830

A

1000?5781(2015)04?0494?15

10.13383/j.cnki.jse.2015.04.007

2013?06?16;

2014?05?09.

國家自然科學基金資助項目(71271058);復旦金融研究中心政策咨詢團隊資助項目(EZH43011021020).

林祥亮(1985—),男,江蘇連云港人,博士生,研究方向:資產(chǎn)定價理論,Email:11110690009@fudan.edu.cn;

馬成虎(1962—),男,山東威海人,博士,教授,博士生導師,研究方向:資產(chǎn)定價理論,Email:machenghu@fudan.edu.cn;

范龍振(1965—),男,河南虞城人,博士,教授,博士生導師,研究方向:資產(chǎn)定價理論,Email:lzfan@fudan.edu.cn.