相似矩陣與線性變換

周忠國(guó)

摘 要：研究向量空間的線性變換時(shí)，相似矩陣就會(huì)很自然地出現(xiàn)。在選定一組基后，線性變換就和矩陣建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。相似矩陣是同一線性變換在不同基下的矩陣。因此如果從線性變換的角度理解兩個(gè)相似矩陣之間的關(guān)系，并由此可以容易的解釋兩個(gè)相似矩陣的特征值是相同的，但是它們的特征向量不一定相同。對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)，由于學(xué)時(shí)較少，很少會(huì)詳細(xì)地講解線性變換的內(nèi)容，因此我們希望能夠用比較簡(jiǎn)潔，初等的方式講解線性變換以及它與相似矩陣的這些關(guān)系。從而應(yīng)用線性變換的概念理解相似矩陣的特征值和特征向量。

關(guān)鍵詞：相似矩陣 特征向量 特征值 線性變換

中圖分類(lèi)號(hào)：O15 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2015）08（c）-0024-02

Similar Matrix and Linear Transformation

Zhou Zhongguo

（College of Science Hehai University，Nanjing Jiangsu，210098，China）

Abstract：The concept of similar matrix appears when we investigate the linear transformation on vector space. After fixing a basis of the vector space， the set of linear transformations is put into one-to-one correspondence with the set of matrix. Hence from the point of view of linear transformation it is to helpful to understand the relation between similar matrice and explain their eigenvalues and eigenvectors. But the linear transformation will not been taught a few for lack of time for learners. So we give a simple and elementary introduction to linear transformations and applying the notation of linear transformation it is also explained that why the two similar matrice have same eigenvalue but have not same eigenvectors in general.

Kew Words：Similar Matrix；Eigenvectors；Eigenvalue；Linear Transformation

矩陣的相似是線性代數(shù)課程中一個(gè)非常重要的概念，這個(gè)概念刻畫(huà)了矩陣之間的重要關(guān)系，而且相似矩陣有許多共同的性質(zhì)。我們知道兩個(gè)相似的矩陣有相同的特征值[1-4]，這是許多初學(xué)《線性代數(shù)》課程的同學(xué)都知道的，但是對(duì)于它們?yōu)槭裁床灰欢ㄓ邢嗤奶卣飨蛄浚芏嗤瑢W(xué)就不理解了。從矩陣的角度對(duì)這個(gè)問(wèn)題不容易理解，其實(shí)如果從線性變換的角度看待相似矩陣，它們之間的關(guān)系就會(huì)比較直接，容易理解多了。

因?yàn)橄嗨凭仃嚤举|(zhì)上是在研究線性變換時(shí)很自然地出現(xiàn)的，不過(guò)對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)，由于學(xué)時(shí)較少的關(guān)系，關(guān)于線性變換的這些內(nèi)容一開(kāi)始并不會(huì)講得太多，太清楚，甚至有時(shí)候沒(méi)有時(shí)間來(lái)講。

為了幫助初學(xué)者理解這一問(wèn)題，本文從線性變換的角度，以比較簡(jiǎn)潔、初等的方式來(lái)解釋相似矩陣之間的關(guān)系，希望能夠用較少的概念、語(yǔ)言解釋相似矩陣及其特征值、特征向量的關(guān)系。

1 特征值、特征向量與相似矩陣

設(shè)是階矩陣，如果非零向量滿(mǎn)足：

則稱(chēng)是的特征向量；是屬于特征向量的特征值。如果對(duì)兩個(gè)矩陣存在可逆矩陣使得：

則稱(chēng)為相似矩陣。

根據(jù)定義，可以比較容易地得到相似矩陣有相同的特征值。假設(shè)是矩陣的特征向量，有 如果設(shè)，則有

所以是的特征向量，并且特征值仍為。

從上面的論證可以看到：如果是的特征向量，對(duì)應(yīng)特征值是，則是的特征向量，并且特征值仍為。這樣一般說(shuō)來(lái)，所以?xún)蓚€(gè)相似矩陣的特征向量并不一定相同。這個(gè)論證不是特別嚴(yán)格，沒(méi)有考慮到特征值是重根的情況，而且不容易理解怎么會(huì)有這樣的結(jié)果。下面從線性變換的角度再來(lái)看看這個(gè)問(wèn)題。

2 線性變換的定義與性質(zhì)

設(shè)是維實(shí)向量空間，是的一組基。是的一個(gè)線性變換。所謂線性變換就是滿(mǎn)足下面的線性關(guān)系的一個(gè)映射：

先來(lái)看看所謂的線性是什么意思。我們知道，向量空間不過(guò)是一些向量放在一起，由于它們之間可以相加，數(shù)和向量之間有數(shù)乘，即定義了向量加法和數(shù)乘運(yùn)算。這些向量之間建立了聯(lián)系，形成了一種結(jié)構(gòu)，成為向量空間。而線性變換的要求可以理解為向量的和的像等于向量的像的和。也就是說(shuō)線性變換保持向量空間的運(yùn)算。保持向量空間的結(jié)構(gòu)。

再?gòu)木€性變換的定義可以看出，兩個(gè)向量的線性組合的像其實(shí)可由的像決定。又由于向量空間中的任一向量都是基的線性組合，所以任一向量的像都由的像決定，因此線性變換也就完全由這組基的像決定。把這一過(guò)程用符號(hào)表示出來(lái)就是，在此基下，假設(shè)可以如下詳細(xì)地給出：

這里就是在基在的坐標(biāo)。

因此由線性關(guān)系，給定一個(gè)向量它的像為

如果設(shè)，則稱(chēng)是線性變換在基下的矩陣，設(shè)是向量在這組基下的坐標(biāo)。這樣線性變換就變成：

。

由于一開(kāi)始固定了一組基，因此在我們的討論中，為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，可以略去基，只考慮坐標(biāo)，這時(shí)形式更為簡(jiǎn)潔。

3 線性變換與矩陣

我們?nèi)绻豢紤]基，只從坐標(biāo)的角度看待線性變換，那么線性變換可以如下簡(jiǎn)單地表示：。

這樣看來(lái)，如果取定了一組基之后，線性變換就完全由矩陣決定了；反過(guò)來(lái)，如果給定一個(gè)矩陣，由上面的式子也可以得到一個(gè)線性變換。因此選定了一組基后，線性變換就完全和矩陣一一對(duì)應(yīng)了。這樣，研究線性變換可以用矩陣，比較直觀，便于操作和計(jì)算；同樣地，研究矩陣時(shí)，如果把它看成線性變換，則許多問(wèn)題就能統(tǒng)一起來(lái)，給出直觀的解釋。如果能夠充分了解到這些情況，則解決問(wèn)題時(shí)我們就會(huì)有不同的選擇、能夠從不同的角度看待一個(gè)問(wèn)題，解決問(wèn)題的思路會(huì)更寬闊一些。

很自然的，如果選取另外不同的基，和上面同樣地做法也可以用一個(gè)矩陣表示線性變換，這時(shí)的矩陣和基下的矩陣有什么關(guān)系呢？下面就考慮這個(gè)問(wèn)題。

若是向量空間的另外一組基，假設(shè)兩組基之間的過(guò)渡矩陣為，即有

，

同樣地，在這組基下，也和一個(gè)矩陣對(duì)應(yīng)，此時(shí)線性變換可以表示為：

。

此處是向量在第二組基下的坐標(biāo)。下面來(lái)求，，的關(guān)系。

我們主要利用一個(gè)事實(shí)：向量在同一組基下的坐標(biāo)是唯一的。所以當(dāng)用不同方法求得同一向量在同一基下的兩個(gè)坐標(biāo)，那它們應(yīng)當(dāng)是相同的。因此我們把向量在基下的坐標(biāo)也轉(zhuǎn)化成在基下的坐標(biāo)表示。

根據(jù)假設(shè)有：

把代入上面兩式得：

由坐標(biāo)的唯一性得；。

即；。

注意到是任意的，因此是任意的，所以可得

。

這說(shuō)明對(duì)于同一個(gè)線性變換，如果選取兩個(gè)不同的基把它表示出來(lái)，那么在不同的基下的表示的矩陣是相似的。因此相似矩陣就自然地從線性變換中出現(xiàn)了。

一般來(lái)說(shuō)，線性變換是比較抽象的，不容易把握，要想把握它，就要選取一組基，這樣就可以用矩陣清楚、具體地表現(xiàn)線性變換了。由此可以看到，矩陣不過(guò)是線性變換在基下的一個(gè)表現(xiàn)形式，是在另一組基下的表現(xiàn)形式；所以相似矩陣是同一個(gè)線性變換在不同的基下的表現(xiàn)形式。這樣就容易理解必然有一些性質(zhì)和表現(xiàn)形式無(wú)關(guān)；也會(huì)有一些性質(zhì)和表現(xiàn)形式相關(guān)。下一節(jié)就具體看看哪些性質(zhì)無(wú)關(guān)，哪些性質(zhì)相關(guān)。

4 線性變換與相似矩陣

既然這樣，那么相似矩陣之間的性質(zhì)就可以從線性變換的角度理解、解釋了。因此由線性變換本身決定的性質(zhì)和矩陣表現(xiàn)形式無(wú)關(guān)，將是都會(huì)有的性質(zhì)，但是涉及到基，涉及到具體表現(xiàn)時(shí)的性質(zhì)，和矩陣表現(xiàn)形式有關(guān)，如坐標(biāo)等兩者可能不同。

下面來(lái)看特征值和特征向量如何用線性變換解釋。

若向量滿(mǎn)足，則稱(chēng)是線性變換的特征向量，是對(duì)應(yīng)特征向量的特征值。比如，則3是線性變換的特征值，是對(duì)應(yīng)的特征向量。如果把這個(gè)關(guān)于線性變換的等式翻譯成矩陣和坐標(biāo)來(lái)說(shuō)，就會(huì)得到在這組基下的表現(xiàn)形式

因此3是矩陣的特征值，則成了矩陣的特征向量，注意這里的向量是向量的坐標(biāo)，而不是線性變換的特征向量，這兩個(gè)向量是不一樣的。如果在另一組基下把這個(gè)過(guò)程翻譯一下就成了

這時(shí)的坐標(biāo)就成了的特征向量。特別要注意兩個(gè)矩陣的特征向量是線性變換的特征向量分別在兩組基下的坐標(biāo)。

所以現(xiàn)在就清楚了，相似矩陣的特征值就是原來(lái)那個(gè)共同的線性變換的特征值；它們的特征向量則是線性變換的特征向量分別在這兩組基下的坐標(biāo)。明白了這些關(guān)系之后可以得出相似矩陣的特征值相同，甚至連相應(yīng)的代數(shù)重?cái)?shù)，幾何重?cái)?shù)都是相同的。因?yàn)樗鼈兌际窃瓉?lái)線性變換的特征值和重?cái)?shù)。

但是特征向量就不一樣了，它們是同一向量在不同基下的坐標(biāo)，一般說(shuō)來(lái)，一個(gè)向量在不同基下的坐標(biāo)是不相同，如果是很特殊的情形也可能相同。比如當(dāng)時(shí)，此時(shí)在兩組基下的坐標(biāo)都是，所以是的公共特征向量。

參考文獻(xiàn)

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