空間長(zhǎng)系繩系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)與釋放方法研究

茍興旺，李?lèi)?ài)軍，羅拉全，王長(zhǎng)青

（西北工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，陜西西安 710072）

空間長(zhǎng)系繩系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)與釋放方法研究

茍興旺，李?lèi)?ài)軍，羅拉全，王長(zhǎng)青

（西北工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，陜西西安 710072）

針對(duì)繩系載荷遠(yuǎn)距離釋放問(wèn)題，研究了長(zhǎng)系繩系統(tǒng)釋放過(guò)程的動(dòng)力學(xué)特性。考慮系繩質(zhì)量及面外角，建立了長(zhǎng)繩系衛(wèi)星系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型。針對(duì)空間長(zhǎng)系繩系統(tǒng)展開(kāi)任務(wù)要求，提出了分段多次展開(kāi)的思想，將系繩的展開(kāi)過(guò)程多段化，多次應(yīng)用標(biāo)稱(chēng)控制律，利用差分進(jìn)化算法優(yōu)化得到每段展開(kāi)結(jié)束時(shí)的系繩長(zhǎng)度。仿真結(jié)果表明，應(yīng)用多次展開(kāi)標(biāo)稱(chēng)控制律不僅可以精確完成系繩的展開(kāi)，而且有效抑制了長(zhǎng)系繩展開(kāi)過(guò)程中速度過(guò)大的問(wèn)題，可以滿(mǎn)足長(zhǎng)系繩展開(kāi)的速度要求。這為今后遠(yuǎn)距離系繩展開(kāi)與控制提供理論參考。

空間長(zhǎng)系繩系統(tǒng)；展開(kāi)；動(dòng)力學(xué)模型；標(biāo)稱(chēng)控制律

空間系繩系統(tǒng)（TSS）［1］是指利用柔性系繩將2個(gè)或多個(gè)航天器連在一起飛行的組合體?？捎糜诤教炱鬈壍擂D(zhuǎn)移、高空大氣探測(cè)、繩系交會(huì)對(duì)接、空間捕獲、微重力產(chǎn)生等諸多場(chǎng)合［1-2］，已成為具有廣泛應(yīng)用前景的新興空間技術(shù)。空間系繩系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性，會(huì)給系統(tǒng)的在軌運(yùn)行帶來(lái)強(qiáng)烈振動(dòng)，特別是對(duì)柔性長(zhǎng)系繩，由于系統(tǒng)包含有負(fù)阻尼的作用，動(dòng)力學(xué)行為呈現(xiàn)不穩(wěn)定的現(xiàn)象［3］。近年來(lái)很多學(xué)者都在探討如何解決系繩的展開(kāi)控制問(wèn)題。Rupp C.C.最早提出了系繩張力控制方法［4］；于紹華討論了繩系衛(wèi)星系統(tǒng)二維平面運(yùn)動(dòng)，并提出了距離速率控制算法，基于非線性動(dòng)態(tài)理論分析，實(shí)現(xiàn)方便且控制效果明顯，但文章只對(duì)平面動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了研究［5］；Pradeep利用KTC理論及其推廣得到了線性張力控制律，但由于該控制律只能針對(duì)簡(jiǎn)化的線性系統(tǒng)，故實(shí)際控制意義不大［6］；金棟平等基于基數(shù)展開(kāi)將空間系繩系統(tǒng)的控制轉(zhuǎn)化為二次規(guī)劃的最優(yōu)問(wèn)題，但該方法中控制項(xiàng)的物理意義不明顯［7-8］；別列茲基提出了向垂直位置展開(kāi)的單擺振蕩阻尼控制律［9］，該控制律效果明顯，實(shí)際物理意義明確；但他忽略了系繩的質(zhì)量，對(duì)于長(zhǎng)系繩的展開(kāi)具有很大的局限性。針對(duì)長(zhǎng)系繩系統(tǒng)，本文在別列茲基的基礎(chǔ)上改進(jìn)了適合于長(zhǎng)系繩展開(kāi)的標(biāo)稱(chēng)控制律。運(yùn)用分段多次展開(kāi)的思想，將系繩的展開(kāi)過(guò)程分為多段，多次應(yīng)用標(biāo)稱(chēng)控制律，并利用差分進(jìn)化算法對(duì)每段展開(kāi)結(jié)束時(shí)的長(zhǎng)度進(jìn)行了優(yōu)化，避免了展開(kāi)速度過(guò)快對(duì)系統(tǒng)造成的不利影響。數(shù)值仿真時(shí)考慮了系繩質(zhì)量、初始面外角偏差等因素，仿真結(jié)果驗(yàn)證了該方法的有效性。

1　系繩系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

空間系繩系統(tǒng)由2顆衛(wèi)星組成，建立軌道運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系如圖1所示。

圖1　空間系繩系統(tǒng)示意圖（軌道運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系）

其中，Cx0y0z0為軌道運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)C位于母星質(zhì)心處，Cx0軸沿母星向徑方向，Cz0軸沿軌道平面法向并與其動(dòng)量矩矢量平行，Cy0軸符合右手坐標(biāo)系；Cxtytzt為系繩坐標(biāo)系，Cxt軸沿著衛(wèi)星拉緊系繩的反方向，Cyt軸和Czt軸相對(duì)于Cx0y0z0系的夾角為θ和β。

系繩問(wèn)題非常復(fù)雜，為簡(jiǎn)化建模和分析過(guò)程，作如下假設(shè)：

1）除地球中心引力外，暫不考慮其他外部干擾力，如大氣阻力和系繩電動(dòng)力等；

2）子星、母星都認(rèn)為質(zhì)點(diǎn)，且母星質(zhì)量遠(yuǎn)大于子星及系繩的質(zhì)量，所以忽略系繩在展開(kāi)過(guò)程中母星質(zhì)量的變化；

3）考慮系繩既無(wú)彎曲剛度亦無(wú)扭轉(zhuǎn)剛度，且系繩質(zhì)量均勻分布。

根據(jù)以上假設(shè)，在軌道運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系中運(yùn)用拉格朗日方程建立空間長(zhǎng)系繩系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。

拉格朗日方程

式中：Tc為系統(tǒng)動(dòng)能；qi、q□i、Qi（i=1，2，3）是廣義坐標(biāo)、廣義速度和廣義力；面內(nèi)角θ、系繩長(zhǎng)度l和面外角β作為廣義坐標(biāo)。

對(duì)于長(zhǎng)系繩系統(tǒng)，建模時(shí)系繩的質(zhì)量不能忽略，將系繩劃分為N個(gè)質(zhì)量點(diǎn)如圖2所示。

圖2　長(zhǎng)系繩模型

這樣“系繩-載荷”系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能為：

式中，k=0，1，2…N，m0=m為載荷質(zhì)量，mk為第k點(diǎn)系繩的質(zhì)量。

則第k點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為：

式中，mk=ρL/N（k=1，…，N），ρ為系繩的系密度，即單位長(zhǎng)度上的質(zhì)量，Ω為母星的軌道角速度。

N+1個(gè)點(diǎn)的方程求和，并且當(dāng)N→∞時(shí)有：

那么考慮系繩質(zhì)量的空間系繩系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為

2　長(zhǎng)系繩展開(kāi)控制律的設(shè)計(jì)

2.1一次展開(kāi)標(biāo)稱(chēng)控制律的設(shè)計(jì)

針對(duì)項(xiàng)目YES2中系繩系統(tǒng)展開(kāi)的第一階段，文獻(xiàn)［10］中給出了一種張力控制律的表達(dá)形式：

式中，L（tk）為設(shè)定的展開(kāi)長(zhǎng)度，tk為系統(tǒng)展開(kāi)結(jié)束的時(shí)間，m為子星的質(zhì)量，a、b為依據(jù)邊值條件及性能指標(biāo)確定的待優(yōu)化參數(shù)。

由于（6）式所示控制律設(shè)計(jì)時(shí)沒(méi)有考慮系繩質(zhì)量，而對(duì)長(zhǎng)系繩系統(tǒng)，系繩質(zhì)量就不能忽略，設(shè)計(jì)張力控制律時(shí)就必須考慮系繩的質(zhì)量。因此在（6）式中加入系繩質(zhì)量的修正項(xiàng)，得到針對(duì)長(zhǎng)系繩的標(biāo)稱(chēng)控制律為

在上述控制律形式的基礎(chǔ)上，為使子星最終展開(kāi)到平衡位置，即：L（tK）=LK，V（tK）=0，θ（tK）=0，θ□（tK）=0，需要尋求最優(yōu)a、b參數(shù)值，使如下性能指標(biāo)最小

式中，q1、q2、q3、q4為加權(quán)系數(shù)；

在性能指標(biāo)中，由于系繩長(zhǎng)度的數(shù)量級(jí)遠(yuǎn)大于其他指標(biāo)，故取加權(quán)系數(shù)為q1=q2=q4=1，q3= 0.001，同時(shí)為防止系繩松弛，速度V的下限要稍大于零，故加入懲罰函數(shù)f，其值為：

利用下山單純形（Nelder-Mead）方法求解，可獲得參數(shù)a、b的優(yōu)化值。從而可獲得針對(duì)長(zhǎng)系繩的標(biāo)稱(chēng)展開(kāi)控制律。

此外，考慮系繩上承受的張力的限制，取T的上下界分別為T(mén)max和Tmin，則可得：

2.2多次展開(kāi)標(biāo)稱(chēng)控制律的設(shè)計(jì)

一次展開(kāi)控制律，在適當(dāng)?shù)膮?shù)下，可以準(zhǔn)確的將系繩展開(kāi)到指定的終端條件。然而若系繩太長(zhǎng)即L（tk）很大，展開(kāi)開(kāi)始時(shí)系繩張力T很小，會(huì)導(dǎo)致系繩的最大釋放速度過(guò)大。而制動(dòng)階段，則需要較大的張力使速度迅速減小為零，不利于實(shí)際系繩系統(tǒng)的展開(kāi)。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文提出將系繩分N（N＞1）階段展開(kāi)思想，將控制律（7）重復(fù)運(yùn)用N次，其中L（tk）=L1，L2…LN，LN為每次展開(kāi)結(jié)束后系繩的長(zhǎng)度。這樣系繩在每個(gè)階段都有加速和制動(dòng)兩階段，可以有效將系繩釋放的最大速度有效的限制在一定的范圍內(nèi)。

在上述控制律形式的基礎(chǔ)上，為使系統(tǒng)展開(kāi)到終端狀態(tài)同時(shí)展開(kāi)時(shí)間最短，需要對(duì)L1，L2…LN進(jìn)行優(yōu)化，可選取如下的性能指標(biāo)函數(shù)

性能指標(biāo)和懲罰函數(shù)q1，q2，q3，q4，f取值同（8）式，q5=1，在滿(mǎn)足約束T＞0和V＜Vmax的條件下，利用差分進(jìn)化算法可獲得L1，L2…LN的參數(shù)值。

3　仿真分析

3.1仿真條件

假設(shè)TSS運(yùn)行在1 000 km高度的軌道上，同時(shí)子星的釋放不影響母星的軌道高度。TSS的各項(xiàng)參數(shù)如表1所示。

表1　TSS參數(shù)

仿真的初始條件為

3.2仿真結(jié)果與分析

一次展開(kāi)控制律的參數(shù)，通過(guò)優(yōu)化可獲得：a= 4，b=3.7。

多次展開(kāi)控制律，取分段數(shù)N=9，通過(guò)優(yōu)化得每段展開(kāi)結(jié)束時(shí)系繩的長(zhǎng)度為：（L1，L2…L9）=（15，50，90，140，200，270，350，450，500）km。

圖中角度單位為度，長(zhǎng)度單位為千米，時(shí)間單位為秒。將一次展開(kāi)控制律和多次展開(kāi)控制律帶入系統(tǒng)狀態(tài)方程（5）中，在MATLAB平臺(tái)用Runger Kutta法積分得仿真結(jié)果如圖3～10所示。

從圖3～10中不難發(fā)現(xiàn)：一次展開(kāi)控制律和多次展開(kāi)控制律均可以將子星展開(kāi)到指定的平衡位置，初始的面外角擾動(dòng)也都迅速為降為零（如圖7所示）。由圖10子星的運(yùn)動(dòng)軌跡可以看出：一次展開(kāi)橫向最大偏移量為124.355 km，是多次展開(kāi)最大偏移量的5倍。如圖6所示，展開(kāi)結(jié)束時(shí)2種控制律下系繩速度都為零，然而，一次展開(kāi)控制律的最大速度為：Vmax1=96.446 m/s遠(yuǎn)超出了速度限制25 m/s，系繩很容易被拉斷。這主要是整個(gè)展開(kāi)過(guò)程只有加速和制動(dòng)2個(gè)階段，最終導(dǎo)致系繩的最大速度過(guò)大，多次展開(kāi)控制律的最大速度為：Vmax2= 22.048 m/s，遠(yuǎn)小于一次展開(kāi)控制律的最大速度，并滿(mǎn)足速度限制。多次展開(kāi)控制律中，每段展開(kāi)過(guò)程都有加速和制動(dòng)階段，有效的克服了一次展開(kāi)的加速段太長(zhǎng)導(dǎo)致速度過(guò)大的缺點(diǎn)。圖3表明，多次展開(kāi)控制律的最大面內(nèi)角是一次展開(kāi)控制律的0.8，這主要是由其展開(kāi)軌跡特性決定的。

需要說(shuō)明的是，分段數(shù)N的取值理論上取得越大，每段展開(kāi)長(zhǎng)度相對(duì)越短，這樣運(yùn)用多次展開(kāi)控制律，其最大展開(kāi)速度就越小，但是，這樣系繩的展開(kāi)時(shí)間就會(huì)越長(zhǎng)（篇幅所限，仿真結(jié)果沒(méi)有列出）。在實(shí)際工程中需考慮系繩特性時(shí)，多次展開(kāi)控制律易于操作，優(yōu)于一次展開(kāi)控制律。

4　結(jié) 論

本文研究了空間系繩系統(tǒng)長(zhǎng)系繩的展開(kāi)問(wèn)題，考慮系繩質(zhì)量與面外運(yùn)動(dòng)。針對(duì)長(zhǎng)系繩系統(tǒng)改進(jìn)了標(biāo)稱(chēng)展開(kāi)控制律，在此基礎(chǔ)上運(yùn)用多段展開(kāi)的思想，并提出了多次展開(kāi)標(biāo)稱(chēng)控制律。仿真結(jié)果表明，多次展開(kāi)標(biāo)稱(chēng)控制律不僅可以精確地完成系繩的展開(kāi)，而且有效的抑制了長(zhǎng)系繩展開(kāi)過(guò)程中速度過(guò)大的問(wèn)題，可以滿(mǎn)足長(zhǎng)系繩展開(kāi)的速度要求。對(duì)于空間系繩系統(tǒng)多階段展開(kāi)任務(wù)，當(dāng)系繩長(zhǎng)度改變時(shí)，分為多少次展開(kāi)，需根據(jù)實(shí)際工程要求來(lái)調(diào)節(jié)N的值。

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Zablotnov Yuriy.Introduction to Dynamics and Control in Space Tether System［M］.Wang Changqing Translator.Beijing，Science Press，2013（in Chinese）

Research on Dynamics and Deployment Method for Long Space Tether System

Gou Xingwang，Li Aijun，Luo Laquan，Wang Changqing
（Department of Automatic Control，Northwestern Polytechnical University，Xi′an 710072，China）

This paper studies the control strategy of the deployment for long space tether system.Dynamic characteristic of the long tethered satellite is researched and analyzed in the deployment process.The mathematical model is established through Lagrange Equation，considering the mass of the tether and the out-plane angle of the sub-satellite.Multi-deployment method is proposed according to the requirements of the deployment of the long space tether system.The deployment process is divided into several sections，and the length of tether in each section is optimized with differential evolution algorithm.The nominal control low is applied in every section.Numerical simulation results prove that the proposed control law could not only deploy the sub-satellite to the right location，but also reduce the maximum velocity of deployment of sub-satellite effectively.Multi-deployment method can satisfy the requirement of long tethered satellite deployment.It has theoretical value and can be used in the further research.

long space tether system；deployment；dynamic model；nominal control low

V448.2

A

1000-2758（2015）06-0966-05

2015-03-17

2011年度國(guó)家國(guó)際科技合作專(zhuān)項(xiàng)資助與陜西省科學(xué)技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目（2013KW09-02）資助

茍興旺（1979—），西北工業(yè)大學(xué)博士研究生，主要從事飛行器控制與仿真的研究。