以“應(yīng)用基本不等式求最值”為例談高三文科數(shù)學(xué)專題課教學(xué)設(shè)計

葉為川

摘 要：在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，專題性質(zhì)的復(fù)習(xí)課是高三復(fù)習(xí)課的一種重要模式。而有效教學(xué)設(shè)計是提高高三專題復(fù)習(xí)課效率的重要途徑。有效的教學(xué)設(shè)計必須在課題的選擇、數(shù)學(xué)思想方法的合理滲透、例題與練習(xí)的選擇與設(shè)置、對學(xué)生思維的啟發(fā)與引導(dǎo)、方法的提煉與思維的拓展等方面得到真正貫徹與落實。

關(guān)鍵詞：高三數(shù)學(xué);專題復(fù)習(xí);有效教學(xué)

圍繞“如何能使高三的專題復(fù)習(xí)課更加有效”這一主題，2012年10月14日，本人在我校高中數(shù)學(xué)教研組主題研討會上開了一段片段教學(xué)“應(yīng)用基本不等式求最值問題”，以下呈現(xiàn)該片段教學(xué)的教學(xué)設(shè)計，希望能與同行進行交流，以期拋磚引玉。

一、教學(xué)目標(biāo)

（1）知識目標(biāo)：熟練理解掌握課本兩個基本不等式，并能靈活選用基本不等式解決求最大與最小值的問題。

（2）能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的觀察分析，拓展延伸，發(fā)現(xiàn)新結(jié)論與新方法的能力;培養(yǎng)學(xué)生抽象概括，轉(zhuǎn)化化歸以及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。

（3）情感態(tài)度與價值觀：課堂教學(xué)中，學(xué)生通過對基本問題與基本方法的觀察分析，拓展延伸，培養(yǎng)了細(xì)心觀察，敢于探索，大膽發(fā)現(xiàn)的科學(xué)創(chuàng)新精神與能力。循序漸進的問題設(shè)置，激發(fā)了文科學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心與積極性，提高了學(xué)習(xí)效率。

二、教學(xué)重點

基本不等式的回顧與拓展，靈活選用基本不等式解決一類求最大與最小值的問題。

三、教學(xué)難點

（1）理解應(yīng)用基本不等式求最值的三個條件：“一正、二定、三相等”。

（2）靈活選用基本不等式解決求最大與最小值的問題。

四、學(xué)生特征分析

教學(xué)對象是高三文科班學(xué)生，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對較弱;從學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理角度分析，相當(dāng)部分學(xué)生害怕數(shù)學(xué)。學(xué)習(xí)方式更趨于背與記，思維不夠靈活，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)效率較低。比較適合的教學(xué)方式是教師表達(dá)數(shù)學(xué)方式通俗易懂，如教師語言通俗易懂，錯綜復(fù)雜關(guān)系，抽象問題借助圖表表述使其更生動形象等。問題的設(shè)置簡單精致而內(nèi)涵豐富，教學(xué)過程循序漸進等。

五、教學(xué)方法

引導(dǎo)學(xué)生回顧基本不等式及成立的條件，并在此基礎(chǔ)上啟發(fā)學(xué)生探討幾個基本不等式的內(nèi)在聯(lián)系，進一步發(fā)現(xiàn)新的不等式及在解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用;在對例題的分析過程中，引導(dǎo)學(xué)生在對已知條件分析透徹的前提下恰當(dāng)進行問題轉(zhuǎn)換。求最值問題的關(guān)鍵是鎖定目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)題設(shè)條件與目標(biāo)函數(shù)的特征靈活選擇基本不等式求目標(biāo)函數(shù)的最值。

六、本節(jié)課的構(gòu)想

本片段教學(xué)構(gòu)想分成兩部分，其一：加深對基本不等式的理解，拓展基本不等式：在引導(dǎo)學(xué)生對基本不等式進行回顧的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生對基本不等式的簡單證明、成立的條件進行理解與分析，然后進一步引導(dǎo)學(xué)生揭示基本不等式的內(nèi)在聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)新的基本不等式及其應(yīng)用。目的在于使復(fù)習(xí)課能夠以點帶面，夯實基礎(chǔ)，形成知識體系;其二：靈活選用基本不等式解決最值問題。應(yīng)用基本不等式解決有關(guān)最值的問題是新教材、新課標(biāo)、新考綱的要求，教學(xué)時，我根據(jù)文科學(xué)生的特點，設(shè)置一些學(xué)生熟悉的、簡單精致但蘊含豐富數(shù)學(xué)思想的問題，引導(dǎo)學(xué)生進行觀察、分析與轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生學(xué)會如何根據(jù)題設(shè)條件靈活選用基本不等式來解決最值問題，提高學(xué)生分析與解決問題的能力，提高學(xué)習(xí)效率。

七、教學(xué)過程

過程1：引導(dǎo)學(xué)生對基本不等式進行回顧：

師：同學(xué)們，請你們回顧一下，我們學(xué)過哪些基本不等式呢？（教師板書）

預(yù)設(shè)：學(xué)生平時應(yīng)用較多的是a+b≥2（a>0，b>0），ab≤（a>0，b>0），a2+b2≥2ab（a∈R，b∈R）當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號。

師：在應(yīng)用基本不等式ab≤求最值時，常要求a>0，b>0，請同學(xué)們思考一下，a，b在實數(shù)范圍內(nèi)會成立嗎？為什么？

預(yù)設(shè)：在教師引導(dǎo)下，學(xué)生對不等式進行等價變形，能發(fā)現(xiàn)在實數(shù)范圍內(nèi)不等式也會成立。

師：還有其他的基本不等式嗎？（學(xué)生疑惑）

師：我們來看看這幾個基本不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系：我們對這幾個基本不等式進行歸納，發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系無非就是兩個數(shù)的和與積的關(guān)系，平方和與積的關(guān)系，我們用一個三角形的示意圖來揭示它們之間的關(guān)系如圖，這個圖引導(dǎo)我們進一步思考：兩個數(shù)的和與平方和之間有沒有一個不等式相聯(lián)呢？

師：能不能從a2+b2≥2ab（a∈R，b∈R）這個不等式上找到答案？觀察這個不等式，左邊已是平方和，右邊能否轉(zhuǎn)化為和？如何轉(zhuǎn)化？只要在不等式的左右兩邊同時加上a2+b2，就得到聯(lián)系平方和與和的不等關(guān)系：2（a2+b2）≥2（a+b）2（a∈R，b∈R）。補充結(jié)構(gòu)圖：

過程2：應(yīng)用基本不等式求最值：

師：今天這節(jié)課我們來解決一個問題：靈活選用基本不等式解決有關(guān)最值的問題。

利用基本不等式求最值的方法的回顧及方法的提煉：

（1）用基本不等式求最值要注意：一正（兩個數(shù)為正數(shù)）、二定（定值）、三相等（能取得到等號）

（2）當(dāng)兩個正數(shù)的積為常數(shù)，和有最小值，常用不等式：

a+b≥2（a>0，b>0，），當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號。

（3）當(dāng)兩個正數(shù)的和為常數(shù)，則這兩個正數(shù)的積有最大值，常用不等式：

ab≤（a>0，b>0），當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號。

（4）當(dāng)涉及兩個正數(shù)的平方和與積時，通常選用基本不等式：

a2+b2≥2ab（a∈R+，b∈R+），當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號。

（5）當(dāng)涉及兩個正數(shù)的平方和與這兩個數(shù)的和時，通常選用基本不等式：

2（a2+b2）≥2（a+b）2（a∈R+，b∈R+），當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號。

過程3：典例分析

例1：已知一個直角三角形的斜邊長為2。

（1）求這個直角三角形面積的最大值;

（2）求這個直角三角形周長的最大值。

設(shè)計意圖：這個問題的設(shè)置是在研究課本例題的基礎(chǔ)上進行變式，克服學(xué)生的思維定勢，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題設(shè)條件與目標(biāo)函數(shù)的關(guān)系恰當(dāng)靈活地選用基本不等式（選擇平方和與積以及平方和與和的不等關(guān)系）解決問題。

例2：若兩個正數(shù)a，b滿足ab=a+b+3：

（1）求ab的范圍;

（2）求a+b的范圍。

設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生觀察分析問題的能力，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題設(shè)條件與問題靈活選用基本不等式（選擇和與積的不等關(guān)系）解決問題。其中滲透了已知與未知之間的轉(zhuǎn)化化歸思想（已知和與積的關(guān)系，要求積的范圍，如何把和轉(zhuǎn)化為積;要求和的范圍，又如何把積轉(zhuǎn)化為和）以及換元的思想。

例3：三角形△ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a，b，c成等差數(shù)列，求角B的范圍。

設(shè)計意圖：這個問題綜合性較強，涉及數(shù)列，三角函數(shù)，余弦定理及基本不等式知識，目的在于訓(xùn)練學(xué)生綜合應(yīng)用知識的能力。教學(xué)中，我引導(dǎo)學(xué)生把已知條件分析透徹，由已知：2b=a+c，給出的是三角形邊的關(guān)系。要求三角形角的范圍，引導(dǎo)學(xué)生思考：如何將三角形的邊與角聯(lián)系起來？三角函數(shù)！根據(jù)已知條件特點，將目標(biāo)函數(shù)定為角B的余弦！

（當(dāng)且僅當(dāng)a=c時取等號），由余弦函數(shù)圖象，得角B的范圍為：

cosB===-≥-=（當(dāng)且僅當(dāng)a=c時取等號），由余弦函數(shù)圖象，得角B的取值范圍為：（0，]。

過程4：總結(jié)與提升：

引導(dǎo)學(xué)生對例題進行回顧與反思，提煉解題方法。

常見問題的回顧及方法的提煉：

（1）用基本不等式求最值要注意：一正（兩個數(shù)為正數(shù)）、二定（定值）、三相等（能取得等號）

（2）當(dāng)涉及兩個正數(shù)的和與積關(guān)系時，常用不等式：

a+b≥2（a>0，b>0）或ab≤（a>0，b>0），

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號。

（3）當(dāng)涉及兩個正數(shù)的平方和與積的關(guān)系時，通常選用基本不等式：

a2+b2≥2ab（a∈R+，b∈R+），當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號。

（4）當(dāng)涉及兩個正數(shù)的平方和與這兩個數(shù)的和的關(guān)系時，通常選用基本不等式：

2（a2+b2）≥2（a+b）2（a∈R+，b∈R+），當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號。

（4）三個基本不等式之間的三角關(guān)系

參考文獻(xiàn)：

陳日斌.巧用基本不等式變形解題[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2014（1）.

？誗編輯 李建軍