圓柱坐標(biāo)系下非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題改進(jìn)數(shù)值求解方法

任玉鴻

摘 要：針對(duì)圓柱坐標(biāo)系下的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題，通常采用集總參數(shù)法和格林函數(shù)法，但其具有一定的局限性。為提高求解精度和廣度，將圓柱坐標(biāo)系下的導(dǎo)熱方程轉(zhuǎn)化為類(lèi)直角坐標(biāo)系下的導(dǎo)熱方程，采用有限容積法（FVM）求解計(jì)算區(qū)域內(nèi)的溫度場(chǎng)，通過(guò)加密網(wǎng)格確定網(wǎng)格無(wú)關(guān)解，并與兩種坐標(biāo)系下求出的溫度對(duì)比。計(jì)算結(jié)果表明，類(lèi)直角坐標(biāo)系下得出的溫度分布更符合實(shí)際情況。

關(guān) 鍵 詞：有限容積法；非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱；類(lèi)直角坐標(biāo)；網(wǎng)格無(wú)關(guān)解

中圖分類(lèi)號(hào)：TK 123 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1671-0460（2015）07-1634-04

Improved Numerical Solving Method of Unsteady

Heat Conduction Problem Under Cylindrical Coordinate System

REN Yu-hong

（China University of Petroleum， Beijing 102249，China）

Abstract： In view of the unsteady heat conduction problem under cylindrical coordinate system， the lumped parameter method and green function method are usually used， but they have some limitations. In this paper，to improve the precision and width， the heat conduction equation under cylindrical coordinate system was turned to that under the approximate rectangular coordinate system， the finite volume method （FVM） was used to solve the temperature field in computing area， grid independent solution was determined by subdividing the mesh， and it was compared with the temperature obtained under two coordinates. The results show that the temperature distribution under the approximate rectangular coordinate system is more in line with the actual situation.

Key words： Finite volume method；Unsteady heat conduction；Approximate rectangular coordinates；Grid independent solution

流動(dòng)與熱現(xiàn)象大量地存在于自然界及各個(gè)工程領(lǐng)域中，通過(guò)大量閱讀近年來(lái)流體力學(xué)和傳熱學(xué)方面的文獻(xiàn)，不難發(fā)現(xiàn)，針對(duì)描述非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的偏微分方程求解，可分為求解解析解和數(shù)值解兩種，求解解析解的方法主要有集總參數(shù)法、分離變量法、格林函數(shù)法和拉普拉斯變換法，求解數(shù)值解的方法主要是有限差分法、有限容積法和有限元方法[1，2]。有限容積法是比較新的一種數(shù)值計(jì)算方法，具有有限差分法的簡(jiǎn)捷性和有限元法的高精度、靈活性特點(diǎn)[3]，此外其在流體計(jì)算中也取得了巨大成就[4，5]。鑒于圓柱坐標(biāo)在工程應(yīng)用中的普遍性，如輸油輸氣管道[6-8]、城市燃?xì)夤┡到y(tǒng)的導(dǎo)熱問(wèn)題，有必要對(duì)圓柱坐標(biāo)下的導(dǎo)熱問(wèn)題進(jìn)行研究。

目前，有關(guān)應(yīng)用有限容積法求解圓柱坐標(biāo)系下非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的研究取到了一些成績(jī)，但其求解精度并不高。為此，本文將圓柱坐標(biāo)系下的導(dǎo)熱方程轉(zhuǎn)化為類(lèi)直角坐標(biāo)系下的導(dǎo)熱方程，采用有限容積法求解兩種坐標(biāo)系下的溫度場(chǎng)，并對(duì)不同坐標(biāo)系下導(dǎo)熱方程的求解方法進(jìn)行對(duì)比研究。

1 圓柱坐標(biāo)與類(lèi)直角坐標(biāo)系下導(dǎo)熱方程轉(zhuǎn)換

圓柱坐標(biāo)系下二維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱控制方程：

考慮 ，方程可改寫(xiě)為：

此方程即為圓柱坐標(biāo)系下lnr型導(dǎo)熱方程，也稱(chēng)類(lèi)直角坐標(biāo)下二維導(dǎo)熱方程[9]。

2 圓柱坐標(biāo)與類(lèi)直角坐標(biāo)系下導(dǎo)熱方程離散

圖1 圓柱坐標(biāo)系下的控制容積示意圖

Fig.1 Cubage control sketch under cylindrical coordinate system

2.1 圓柱坐標(biāo)下非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱方程的離散

離散后方程可化為：

對(duì)于與邊界點(diǎn)相鄰的內(nèi)點(diǎn)，與某一邊界相鄰，則該邊界對(duì)應(yīng)的系數(shù)a值發(fā)生變化，其他邊界對(duì)應(yīng)的系數(shù)值不變，具體的取值如下所示，其中aE、aW、aS、aN分別表示與東、西、南、北四個(gè)邊界相鄰的內(nèi)點(diǎn)所取的系數(shù)a值。

2.2 類(lèi)直角坐標(biāo)系下非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱方程的離散

離散后方程可化為：

對(duì)于與邊界點(diǎn)相鄰的內(nèi)點(diǎn)，同樣的方法可得

本文采用基于Visual Studio 2010的MFC編程解決不同坐標(biāo)系下的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題，求解溫度的程序流程圖如圖2所示。

圖2 溫度求解的程序流程圖

Fig.2 Flow chart to solve the temperature

3 算例分析

計(jì)算區(qū)域如圖3所示，已知寬度為1.0 m，外徑為1.0 m，內(nèi)外徑比k為0.01，選用四種算例。其中算例1無(wú)內(nèi)熱源，算例2加入內(nèi)熱源，算例3給出了第二類(lèi)邊界條件，算例4給出了第三類(lèi)邊界條件。