波形鋼腹板混凝土組合梁撓度計算的初參數(shù)法*

李明鴻 萬水 蔣正文 馬磊

(1.東南大學(xué) 土木工程學(xué)院，江蘇 南京210096;2.東南大學(xué) 交通學(xué)院，江蘇 南京210096;3.華北水利水電大學(xué) 土木與交通學(xué)院，河南 鄭州450045)

波形鋼腹板混凝土組合箱梁是近年來在國內(nèi)外橋梁工程中受到廣泛關(guān)注的一種新型鋼－混凝土組合結(jié)構(gòu)，其主要技術(shù)革新是將傳統(tǒng)混凝土箱梁的腹板替換為波形鋼腹板.由于波形鋼腹板具有自重輕、抗剪強(qiáng)度高、軸向剛度小等特點，采用波形鋼腹板代替混凝土腹板可大幅度減輕傳統(tǒng)預(yù)應(yīng)力混凝土箱梁的自重，提高預(yù)應(yīng)力施加效率，并且避免了傳統(tǒng)混凝土箱梁腹板的斜向開裂問題，提高了結(jié)構(gòu)的耐久性［1-2］.

在傳統(tǒng)混凝土箱梁的撓度計算中，當(dāng)跨高比小于1/12 時，可以忽略剪切變形的影響，采用經(jīng)典梁理論就能得到足夠精確的結(jié)果［3］. 在波形鋼腹板混凝土組合梁中，盡管鋼腹板的剪切模量約為混凝土腹板的6 倍，但由于波形鋼腹板很薄，一般僅為10 ～20 mm，所以其抗剪剛度比傳統(tǒng)混凝土腹板小很多，通常不到后者的10%［4］，因此剪切變形對波形鋼腹板混凝土組合梁的撓度具有較大的影響. 試驗和研究表明［5-8］:隨著波形鋼腹板混凝土組合梁跨高比的增加，剪切變形將導(dǎo)致組合梁撓度增大10% ～40%，采用經(jīng)典梁理論計算組合梁的撓度時會產(chǎn)生較大的誤差.李宏江等［5］在考慮波形鋼腹板箱梁結(jié)構(gòu)特點的同時結(jié)合初等梁理論推導(dǎo)了集中荷載作用下簡支波形鋼腹板箱梁的剪切撓度計算公式.Machimdamrong 等［9］提出了考慮彈性剪切變形的G3 理論，用于分析波形鋼腹板混凝土組合梁的應(yīng)力和撓度，但過程復(fù)雜且沒有給出顯式表達(dá)式.吳文清等［10］基于能量變分理論提出了“擬平截面法”計算波形鋼腹板混凝土組合箱梁的彎曲正應(yīng)變和變形.He 等［11］依據(jù)波形鋼腹板組合梁的受力特點，提出了彈性剪切變形彎曲理論，對組合梁的變形進(jìn)行分析，并建立了簡支波形鋼腹板梁跨中撓度的簡化計算公式.劉保東、冀偉等［12-13］運用能量變分原理，分別研究了集中荷載和均布荷載作用下簡支波形鋼腹板箱梁剪力滯效應(yīng)和波形鋼腹板剪切變形對彎曲撓度的影響程度.聶建國等［14］通過引入波形鋼腹板剪切變形的剪切轉(zhuǎn)角函數(shù)，將波形鋼腹板梁的彎曲行為分解為彎曲作用和桁架作用，建立了考慮剪切變形的波形鋼腹板梁理論模型，推導(dǎo)了簡支和懸臂波形鋼腹板梁的變形解析解，并提出了考慮剪切變形的簡支和懸臂波形鋼腹板梁撓度的簡化計算方法——有效剛度法.上述解析方法［11-14］可以求得理論上較為精確的解，但是需要求解微分方程，通常僅在簡單邊界條件及荷載條件下才能得到顯式表達(dá)式.

本研究首先基于波形鋼腹板混凝土組合梁的力學(xué)特性，推導(dǎo)考慮剪切變形影響的波形鋼腹板混凝土組合梁的撓曲線初參數(shù)方程;然后通過波形鋼腹板混凝土箱梁的靜力試驗，結(jié)合有限元方法驗證理論方法的合理性及準(zhǔn)確性;最后利用理論公式和有限元方法分析跨高比和寬高比對波形鋼腹板混凝土組合箱梁剪切變形的影響.

1 波形鋼腹板梁受力特性分析

1.1 彎曲剛度

由于波形鋼腹板在縱向具有“風(fēng)琴效應(yīng)”，波形鋼腹板的軸向彈性模量Ex通常只有鋼材彈性模量Es的幾百分之一甚至幾千分之一，因此在波形鋼腹板混凝土組合梁的抗彎設(shè)計中，可以忽略波形鋼腹板的貢獻(xiàn)，按下式計算彎曲剛度［15］:

式中，Ec為混凝土的彈性模量，Ic為僅考慮混凝土頂、底板的截面慣性矩.

1.2 剪應(yīng)力公式

根據(jù)波形鋼腹板的受力特性，將波形鋼腹板混凝土組合梁的腹板轉(zhuǎn)換為彈性模量為Ex的等效平板(見圖1).從梁中取出一微段，如圖2 所示，截取微段水平截面m—n 以上部分為分離體，在dx 長度上，剪應(yīng)力 的變化可以忽略不計，于是，由微段水平方向的平衡條件可得

式中:b 為剪應(yīng)力計算點處的橫截面寬度;FN為橫截面上剪應(yīng)力計算點m 以上區(qū)域的水平合力，且

y1為剪應(yīng)力計算點的位置，ht為剪應(yīng)力計算點一側(cè)截面邊緣到截面中性軸的距離，σ(y)按式計算，b(y)為高度y 處的橫截面寬度.

圖1 箱梁截面簡化計算圖Fig.1 Simplified cross section geometry of box girder

圖2 梁微段受力圖Fig.2 Mechanical model of beam segment

波形鋼腹板混凝土組合梁的彎曲正應(yīng)變?nèi)匀环稀捌浇孛婕俣ā保?0，16］，于是微段橫截面上距中性軸y 處的縱向纖維的正應(yīng)力σ(y)可按材料力學(xué)公式表達(dá)為

式中，M 為計算截面上的彎矩.

將式(4)代入式(3)可得

式中，bs為波形鋼腹板的截面寬度，為剪應(yīng)力計算點以上混凝土部分面積對截面中性軸的靜矩，為剪應(yīng)力計算點以上腹板部分面積對截面中性軸的靜矩.

將式(5)代入式(2)并注意到dM/dx=V，可得

式中，V 為計算截面上的剪力.

對于圖1 所示的截面，波形鋼腹板(－h(huán)l+t2＜y ＜hu－t1)的剪應(yīng)力計算公式可表述如下:

以中性軸以上腹板中剪應(yīng)力最大差值max－min與最小剪應(yīng)力min之間的相對差值為例，

通常情況下，中性軸以上腹板的截面面積與混凝土頂板的截面面積相比可以忽略，且波形鋼腹板的縱向表觀彈性模量Ex一般僅為混凝土彈性模量Ec的幾百分之一，因此中性軸以上波形鋼腹板中的剪應(yīng)力差值可以忽略不計，同樣可得中性軸以下波形鋼腹板中的剪應(yīng)力差值可以忽略不計，于是可以認(rèn)為波形鋼腹板截面上剪應(yīng)力是均勻分布的. 根據(jù)式(6)，可將圖1 所示截面上各部分的剪應(yīng)力計算公式表述如下:

截面上混凝土頂板(或底板)中的最大剪應(yīng)力與波形鋼腹板的剪應(yīng)力比值為

通常情況下，波形鋼腹板寬度bs與混凝土頂板(或底板)寬度相比很小，混凝土頂、底板的剪應(yīng)力相比波形鋼腹板的剪應(yīng)力可以忽略，認(rèn)為截面上的剪力全部由波形鋼腹板承擔(dān)，并且可以忽略混凝土頂、底板的剪切變形.

1.3 剪切剛度

試驗與分析結(jié)果表明，波形鋼腹板的剪切剛度比鋼板本身的剪切剛度略有降低，Johnson 等［17］建議波形鋼腹板的有效剪切模量按下式計算:

式中，Gs為鋼材的剪切模量，其余參數(shù)見圖3.

圖3 波形腹板幾何參數(shù)Fig.3 Geometric parameters of corrugated web

2 波形鋼腹板梁的撓曲線初參數(shù)方程

2.1 基本假定

根據(jù)波形鋼腹板混凝土組合梁的上述力學(xué)特性，在推導(dǎo)過程中，作如下基本假定:

1)頂、底板和波形鋼腹板材料均處于彈性范圍;

2)僅考慮波形鋼腹板的剪切剛度，忽略軸向剛度;

3)截面上的剪力全部由波形鋼腹板承擔(dān)，且剪應(yīng)力沿高度方向均勻分布;

4)忽略頂、底板的剪力滯效應(yīng)，頂、底板與波形鋼腹板之間不發(fā)生滑移.

2.2 撓曲線初參數(shù)方程

在外荷載作用下，波形鋼腹板混凝土組合梁距起始端距離x 處橫截面上的彎矩和剪力分別為M(x)和V(x)，不考慮剪切變形影響時坐標(biāo)x 處橫截面的轉(zhuǎn)角θ(x)，考慮剪切變形影響時坐標(biāo)x 處橫截面的撓度ν(x)、轉(zhuǎn)角α(x).根據(jù)材料力學(xué)，各參變量之間存在如下的微分關(guān)系:

式中:Aw為截面上未埋入混凝土部分的波形鋼腹板的面積;k 為剪應(yīng)力沿截面分布不均勻而引入的改正系數(shù)，對于波形鋼腹板，取k=1.0.

將式(13)的兩邊分別對x 取二階導(dǎo)數(shù)，并結(jié)合式(14)、(15)，可得不考慮剪切變形影響時轉(zhuǎn)角θ(x)的微分方程:

將上式依次進(jìn)行積分，可得

進(jìn)而由式(12)可得考慮剪切變形影響時撓度ν(x)的表達(dá)式:

將式(18)和(20)代入上式，可得

當(dāng)以x =0 代入式(18)－(21)時，以x 為自變量在坐標(biāo)原點的一系列定積分均等于零，于是可得以坐標(biāo)原點處截面上的初參數(shù)表示的積分常數(shù):

將式(23)中各項代入式(22)，即可得波形鋼腹板梁撓曲線的初參數(shù)方程.將式(22)中含有EcIc/GeAw的各項略去，即為不考慮剪切變形影響時的撓曲線方程.應(yīng)用式(23)并結(jié)合式(22)，很容易得到各種邊界條件及荷載作用下波形鋼腹板梁的撓曲線方程，其中式(23)的4個初參數(shù)中通常有兩個是已知的，例如:1)鉸支端，C2=0，C4=0;2)固定端，C3=0，C4=0;3)自由端，C1=0，C2=0.其余兩個初參數(shù)則可根據(jù)另外的邊界條件確定.

2.3 剪切變形修正

上述推導(dǎo)過程中假設(shè)截面上的剪力全部由波形鋼腹板承擔(dān)，實際上由于混凝土頂、底板不可避免地承擔(dān)了一部分剪力，因此會高估波形鋼腹板的剪切變形引起的撓度. 根據(jù)式(9)可以計算得到波形鋼腹板承擔(dān)的剪力比例φ 為

將式(22)中含有EcIc/GeAw的各項乘以式(24)對撓度進(jìn)行修正，可以得到考慮剪切變形的波形鋼腹板混凝土組合梁撓度的更為精確的解答.

2.4 一般邊界和荷載條件的解析解

如圖4(a)工況1 所示，波形鋼腹板混凝土組合梁在任意位置作用一集中荷載，利用上述方法可求得其撓曲線方程為

對于圖4(b)工況2 所示的波形鋼腹板混凝土組合梁承受均布荷載的情況，利用上述方法很容易

圖4 簡支波形鋼腹板混凝土組合梁Fig.4 Simply-supported concrete composite girder with corrugated steel webs

求得其撓曲線方程為

根據(jù)上述公式并結(jié)合疊加原理，可以計算簡支波形鋼腹板混凝土組合梁在任意位置承受多個集中荷載和均布荷載同時作用時的撓度，且計算公式簡單明確.通過上述剪應(yīng)力分析和撓曲線初參數(shù)方程的推導(dǎo)過程可以發(fā)現(xiàn)，基于波形鋼腹板混凝土組合箱梁推導(dǎo)的撓度計算公式同樣適用于T 形、工字形等其他截面形式.文中方法同樣適用于連續(xù)梁的情況——首先根據(jù)支座位置撓度ν(x)=0 的邊界條件求得多余支座反力，然后即可按基本結(jié)構(gòu)進(jìn)行求解.

3 理論驗證

3.1 模型試驗

為驗證上述理論方法的準(zhǔn)確性，在東南大學(xué)道橋?qū)嶒炇疫M(jìn)行了1 根單箱雙室波形鋼腹板混凝土組合梁的靜力試驗，試驗梁長5.2 m，計算跨徑5 m，兩端簡支，其橫斷面尺寸如圖5 所示.波形鋼腹板幾何參數(shù):a1=a3=40 mm，a2=32 mm，d =24 mm，θ =36.9 °，t =3 mm.混凝土彈性模量為34.5 GPa，泊松比為0.167;波形鋼腹板采用Q235A 鋼材，彈性模量為206GPa，泊松比為0.3.利用反力架和500 kN 油壓千斤頂在試驗梁跨中進(jìn)行單點加載，在跨中、四分點和支點處設(shè)置位移計測量加載過程中的撓度變化.荷載分五級加載，通過壓力傳感器控制試驗加載噸位，實際各級荷載為10.1、19.8、30.4、40.5、49.7 kN.

圖5 試驗梁橫斷面尺寸(單位:mm)Fig.5 Sectional dimension of test girder(Unit:mm)

3.2 有限元模型

利用通用有限元程序ANSYS 建立試驗梁的三維有限元數(shù)值模型，如圖6 所示.

圖6 試驗梁有限元模型Fig.6 Finite element model of test girder

有限元模型的頂、底板及橫隔板均采用實體單元Solid45 模擬，波形鋼腹板采用殼單元Shell181 模擬.邊界條件為:固定鉸支承處約束節(jié)點3個方向的平動自由度，活動鉸支承處約束X、Y 方向的平動自由度.荷載的施加根據(jù)千斤頂下方鋼墊塊的面積以面荷載的形式加載，各級荷載與試驗加載大小相同.

3.3 結(jié)果分析

試驗梁跨中荷載－撓度曲線的實測和計算結(jié)果如圖7 所示.

圖7 試驗梁跨中荷載－撓度曲線Fig.7 Load-deflection curves of test girder in midspan

由圖7 可見:試驗梁實測的荷載－撓度曲線基本為線性變化，說明試驗梁處于彈性階段;試驗實測結(jié)果與有限元計算結(jié)果基本一致，驗證了文中有限元模型的準(zhǔn)確性;采用經(jīng)典梁理論計算試驗梁的撓度具有明顯的誤差，已超出工程上可接受的10%的誤差范圍，表明剪切變形在該類梁的撓度計算中不可忽略，在設(shè)計中必須引起重視;采用文中理論方法計算的荷載－撓度曲線與實測結(jié)果和有限元結(jié)果吻合良好，驗證了文中理論方法的合理性與準(zhǔn)確性.

試驗梁縱向撓度曲線的實測和計算結(jié)果如圖8所示.由于試驗梁處于彈性階段，因此僅以試驗荷載49.7 kN 進(jìn)行分析，對其余工況分析可以得到相似的結(jié)果.

圖8 表明，采用文中理論方法能夠準(zhǔn)確地計算得到波形鋼腹板混凝土組合箱梁的縱向撓度曲線，采用經(jīng)典梁理論計算該類梁的撓度則具有較大的誤差.

圖8 試驗梁撓度曲線Fig.8 Deflection curves of test girder

上述試驗和分析僅針對簡支單箱雙室波形鋼腹板混凝土組合梁承受跨中集中荷載的情況，為進(jìn)一步驗證文中理論方法的準(zhǔn)確性和適用性，對試驗梁承受兩點對稱荷載和均布荷載的情況進(jìn)行分析，同時選取已有文獻(xiàn)報道的單箱單室波形鋼腹板混凝土組合梁的試驗結(jié)果進(jìn)行比較分析，如表1 所示.表1中νe表示試驗中實測的試驗梁撓度;νfe表示采用有限元方法計算得到的試驗梁撓度;νeb表示采用經(jīng)典梁理論計算得到的試驗梁撓度;νth表示采用文中理論方法計算得到的試驗梁撓度.

表1 不同荷載情況下波形鋼腹板混凝土組合梁撓度比較Table 1 Comparison of deflection results of concrete composite girder with corrugated steel webs in different load cases

表1 表明:剪切變形對波形鋼腹板混凝土組合梁的撓度影響較大，考慮腹板剪切變形的波形鋼腹板混凝土組合梁的撓度比不考慮剪切變形時增大了10% ～25%;采用文中理論方法計算得到的撓度值與有限元計算值吻合較好，數(shù)據(jù)離散性小.從表1 還可以看出，不同試驗梁及荷載類型下剪切變形對波形鋼腹板混凝土組合梁的撓度的影響程度不同，這與箱梁的幾何尺寸有關(guān)，下節(jié)內(nèi)容將對此進(jìn)行分析.

4 參數(shù)分析

為了研究截面幾何尺寸對波形鋼腹板混凝土組合箱梁剪切變形的影響，對截面如圖9 所示的簡支箱梁進(jìn)行分析，其基本幾何尺寸參考文中試驗梁:h=350 mm，b=700 mm，tf=50 mm，l =5 m，波形鋼腹板幾何尺寸與文中試驗梁相同，改變跨徑l 和翼緣寬度b 以分析跨高比h/l 和寬高比b/h 的影響，分析的參數(shù)取值范圍為:h/l =0.035，0.050，0.070，0.100，0.140，0.200;b/h=1.0，1.5，2.0，3.0，4.0.

圖9 箱梁截面幾何參數(shù)Fig.9 Sectional geometry of box girder

4.1 跨高比

不同荷載情況下剪切變形對撓度的影響程度β與跨高比l/h 的關(guān)系如圖10 所示，圖中剪切變形影響程度β 為跨中撓度的有限元結(jié)果與經(jīng)典梁理論結(jié)果的比值或跨中撓度的文中方法結(jié)果與經(jīng)典梁理論結(jié)果的比值.

圖10 不同荷載情況下剪切變形影響程度與跨高比的關(guān)系Fig.10 Relationship between influence of shear deformation and depth-to-span ratio in different load cases

由圖10 可見:文中方法計算結(jié)果與有限元計算結(jié)果比較一致;跨高比l/h 對剪切變形具有較大的影響，剪切變形對撓度的影響程度隨跨高比的增大而減小;當(dāng)跨高比為20 時，剪切變形產(chǎn)生的撓度占總撓度的10%左右，因此建議以跨高比l/h =20 作為波形鋼腹板混凝土組合梁撓度計算是否考慮剪切變形影響的界限.比較圖10 中3 種荷載情況下剪切變形對撓度的影響程度可見，集中荷載作用下剪切變形對撓度的影響程度最大，均布荷載作用下剪切變形對撓度的影響程度最小，兩點對稱荷載作用下剪切變形對撓度的影響程度略大于均布荷載作用的情況.

4.2 寬高比

不同荷載情況下剪切變形對撓度的影響程度β與寬高比b/h 的關(guān)系如圖11 所示.

圖11 不同荷載情況下剪切變形影響程度與寬高比的關(guān)系Fig.11 Relationship between influence of shear deformation and aspect ratio in different load cases

由圖11 可見:文中方法計算結(jié)果與有限元計算結(jié)果比較一致;寬高比b/h 對剪切變形具有較大的影響，剪切變形對撓度的影響程度隨寬高比的增大呈線性增長趨勢.比較3 種荷載情況下剪切變形對撓度的影響程度可見，集中荷載作用下剪切變形對撓度的影響程度最大，兩點對稱荷載與均布荷載作用下剪切變形對撓度的影響程度相差不大.

5 結(jié)論

(1)推導(dǎo)了波形鋼腹板混凝土組合梁撓曲線的初參數(shù)方程，給出了組合梁在任意位置作用集中荷載或承受均布荷載時撓度的解析解，據(jù)此結(jié)合疊加原理可以計算組合梁在任意位置承受多個集中荷載和均布荷載同時作用時的撓度，且計算公式簡單明確;文中方法同樣適用于連續(xù)梁的情況.

(2)通過將波形鋼腹板混凝土組合梁承受跨中集中荷載、兩點對稱荷載和均布荷載3 種典型荷載情況下文中方法的計算結(jié)果與試驗實測值和有限元計算結(jié)果進(jìn)行比較，驗證了理論方法的準(zhǔn)確性和適用性.比較結(jié)果表明，采用經(jīng)典梁理論已經(jīng)不能準(zhǔn)確地計算該類梁的撓度，剪切變形在該類梁的撓度計算中不可忽略，在設(shè)計與施工中必須引起重視.

(3)剪切變形對撓度的影響程度隨跨高比的增大而減小，隨寬高比的增大線性增長，建議以跨高比l/h=20 作為波形鋼腹板混凝土組合梁撓度計算是否需考慮剪切變形影響的界限.

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