改進(jìn)的瑞利阻尼系數(shù)計(jì)算方法在岸橋結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析中的應(yīng)用*

李哲 王貢獻(xiàn) 胡勇 胡吉全

(武漢理工大學(xué) 物流工程學(xué)院，湖北 武漢430063)

集裝箱碼頭大多處于深海港口，地震頻繁、強(qiáng)度大，超大尺寸結(jié)構(gòu)的集裝箱起重機(jī)(簡稱岸橋)在地震災(zāi)害中最易遭受破壞. 明確岸橋結(jié)構(gòu)地震激勵(lì)下的反應(yīng)過程及破壞機(jī)理，提高其抗震性能，是當(dāng)前設(shè)計(jì)領(lǐng)域高度關(guān)注的問題［1］.

現(xiàn)代化港口的岸橋結(jié)構(gòu)巨大，無法對其進(jìn)行全尺寸試驗(yàn)分析.為了研究岸橋地震反應(yīng)情況，一些研究機(jī)構(gòu)采用有限元軟件進(jìn)行數(shù)值仿真配合縮尺模型振動(dòng)試驗(yàn)，取得了眾多有意義的成果. 其中，阻尼參數(shù)對結(jié)構(gòu)動(dòng)力時(shí)程計(jì)算結(jié)果的影響不可忽略［2］. 但由于沒有相應(yīng)的試驗(yàn)驗(yàn)證，在有限元時(shí)程分析中選用哪一種阻尼系數(shù)確定方法比較合理，尚沒有一個(gè)評價(jià)指標(biāo).文獻(xiàn)［3］對1∶50 的岸橋縮尺模型進(jìn)行振動(dòng)臺地震模擬試驗(yàn)，并采用有限元軟件對岸橋結(jié)構(gòu)進(jìn)行時(shí)程分析，得到的試驗(yàn)值與有限元計(jì)算結(jié)果相近.文獻(xiàn)［4］以相似理論為指導(dǎo)，制造出相似比為1∶20的岸橋縮尺模型，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了一系列的有限元仿真分析和振動(dòng)臺試驗(yàn)，取得了理想的結(jié)果.但以上研究中都沒有對有限元數(shù)值計(jì)算中阻尼系數(shù)的確定方法進(jìn)行說明，更沒有用試驗(yàn)來驗(yàn)證數(shù)值分析中阻尼系數(shù)的正確性［5-9］.

瑞利阻尼系數(shù)對有限元結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)時(shí)程分析計(jì)算結(jié)果有很大影響，采用合理的瑞利阻尼系數(shù)計(jì)算方法可以使有限元模擬岸橋結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)更加準(zhǔn)確.文獻(xiàn)［10］總結(jié)了不同阻尼系數(shù)確定方法，對現(xiàn)有方法進(jìn)行改進(jìn)，采用不同阻尼系數(shù)對土石壩進(jìn)行了時(shí)域動(dòng)力分析，并與頻域計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較，結(jié)果表明:當(dāng)壩高超過一定高度后，采用結(jié)構(gòu)基頻確定瑞利阻尼系數(shù)的方法高估了結(jié)構(gòu)的阻尼，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)偏小;改進(jìn)后的方法能較好地反映結(jié)構(gòu)的阻尼特性，但是研究對象單一，缺少針對性的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，方法不具有普遍性.文中采用工程上最常用的4 種阻尼系數(shù)計(jì)算方法和改進(jìn)的方法，計(jì)算得到5 組不同的阻尼系數(shù)，將其分別設(shè)置在有限元計(jì)算程序中，對同一岸橋結(jié)構(gòu)進(jìn)行時(shí)程分析，得到在不同地震激勵(lì)下不同阻尼系數(shù)的結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)，并與振動(dòng)臺地震模擬試驗(yàn)所得的試驗(yàn)值進(jìn)行比較.

1 阻尼系數(shù)計(jì)算方法

瑞利阻尼是目前有限元分析中應(yīng)用最廣的，采用瑞利阻尼系數(shù)法定義阻尼矩陣C 時(shí)，可以通過兩個(gè)系數(shù)α、β 與質(zhì)量矩陣M 和剛度矩陣K 來表示:

式中α、β 為阻尼系數(shù)，可以根據(jù)該結(jié)構(gòu)在所研究振動(dòng)方向上的整體振動(dòng)對應(yīng)的第m 階振型阻尼比ξm、固有頻率ωm和第n 階振型阻尼比ξn、固有頻率ωn進(jìn)行計(jì)算:

低階振型在工程結(jié)構(gòu)的動(dòng)力反應(yīng)中起主導(dǎo)作用，例如取前兩階振型頻率ω1和ω2、阻尼比ξ1和ξ2，通過計(jì)算得出阻尼系數(shù)α、β，則其他各階振型的阻尼比可通過下式求解:

目前，結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)計(jì)算中瑞利阻尼系數(shù)通常采用下面4 種方法進(jìn)行計(jì)算.

(1)假定瑞利阻尼中質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的貢獻(xiàn)相同，則阻尼系數(shù)α 和β 可以表示為

由結(jié)構(gòu)的基頻ω1得到阻尼系數(shù)α 和β.這種阻尼系數(shù)的計(jì)算方法早在20 世紀(jì)70年代已經(jīng)采用，我國較多工程應(yīng)用中也采用這種阻尼系數(shù)計(jì)算方法.

(2)選定對象結(jié)構(gòu)的敏感頻率范圍為fa～fb，在頻率邊界ωa、ωb處的阻尼比可用下式表達(dá):

根據(jù)上式求出阻尼系數(shù)α 和β.

(3)以方法(2)為基礎(chǔ)，一些學(xué)者對其進(jìn)行了改進(jìn)［11］，令

(4)Hudson 等［12］針對方法(1)僅采用基頻確定阻尼系數(shù)的缺陷，進(jìn)行了適當(dāng)?shù)母倪M(jìn)，確定了新的瑞利阻尼系數(shù)取值方法，用ω1和ω2兩個(gè)頻率來確定α 和β，ω1為結(jié)構(gòu)的基頻，ω2=nω1，n 是大于ωe/ω1的奇數(shù)，其中ωe為地震波的主頻. 此法既考慮了結(jié)構(gòu)頻率特性，也考慮了地震動(dòng)頻率特性.

文中根據(jù)文獻(xiàn)［10］中提出的一種改進(jìn)瑞利阻尼系數(shù)計(jì)算方法，采用方法(4)計(jì)算頻率ω1和ω2，采用方法(3)確定阻尼系數(shù)α 和β.這樣改進(jìn)后的方法既考慮到了結(jié)構(gòu)的頻率特性和地震動(dòng)的頻譜特性，也不會過多低估或高估結(jié)構(gòu)在ω1和ω2范圍內(nèi)的阻尼，計(jì)算得到的阻尼矩陣能夠更合理地反映結(jié)構(gòu)的阻尼特性.

2 岸橋結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)

2.1 研究對象與模型

對集裝箱岸橋進(jìn)行地震反應(yīng)計(jì)算分析，討論在不同瑞利阻尼系數(shù)計(jì)算方法所得的阻尼系數(shù)下岸橋結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的區(qū)別. 集裝箱岸橋結(jié)構(gòu)主要由門架結(jié)構(gòu)、前后大梁、前后拉桿等組成，其結(jié)構(gòu)如圖1 所示.岸橋由Q345 鋼構(gòu)成，彈性模量為206 GPa，泊松比為0.3，密度為7850 kg/m3.

圖1 集裝箱岸橋結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Structural model of the quayside container crane

采用大型有限元軟件ANSYS 對試驗(yàn)岸橋進(jìn)行有限元建模，模型如圖2 所示.模型采用三維beam188單元，前后大梁之間的鉸接通過節(jié)點(diǎn)自由度耦合模擬，拉桿與上橫梁、前大梁之間的鉸接通過節(jié)點(diǎn)自由度耦合模擬;4個(gè)立柱底端與地面剛性連接(自由度全耦合，試驗(yàn)臺和相似模型即為此連接方式).以現(xiàn)場試驗(yàn)?zāi)Ｐ?見圖3)為基準(zhǔn)，根據(jù)結(jié)構(gòu)靜動(dòng)力實(shí)驗(yàn)(靜力加載試驗(yàn)與模態(tài)分析)進(jìn)行結(jié)構(gòu)的參數(shù)識別，對有限元模型進(jìn)行修正，得到岸橋結(jié)構(gòu)的基準(zhǔn)有限元模型.計(jì)算過程中在各立柱基底處沿小車運(yùn)行方向分別輸入EL-Centro 波、Taft 波，步長設(shè)置為0.02 s.

圖2 集裝箱岸橋有限元模型Fig.2 Finite element model of the container crane

圖3 試驗(yàn)現(xiàn)場Fig.3 Test on site

2.2 不同阻尼系數(shù)下的岸橋結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)

為了比較不同阻尼系數(shù)下的岸橋結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)，采用工程上最常用的4 種瑞利阻尼系數(shù)計(jì)算方法以及改進(jìn)的阻尼系數(shù)計(jì)算方法得到5 組不同的阻尼系數(shù)，對同一岸橋結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元數(shù)值時(shí)程分析.將5 組不同阻尼系數(shù)分別計(jì)為R1、R2、R3、R4、R5.通過錘擊模態(tài)試驗(yàn)測得岸橋結(jié)構(gòu)前8 階頻率［13］，利用QR 分解技術(shù)得到傳感器位置的初始布置點(diǎn)，按模態(tài)置信度(MAC)準(zhǔn)則進(jìn)行傳感器優(yōu)化布置，在岸橋模型的前大梁、后大梁以及門架結(jié)構(gòu)處布設(shè)了29個(gè)加速度傳感器［14］. 試驗(yàn)現(xiàn)場如圖3 所示，所測結(jié)果如表1 所示，有限元模型計(jì)算頻率與實(shí)測結(jié)果及誤差見表2.

表1 岸橋自振頻率Table 1 Frequency of the container crane

表2 模型固有頻率計(jì)算結(jié)果與實(shí)測結(jié)果Table 2 Calculation and test results of the natural frequency of the model

有限元模型通過靜動(dòng)力實(shí)驗(yàn)進(jìn)行結(jié)構(gòu)的參數(shù)識別，但是其計(jì)算模態(tài)結(jié)果與實(shí)測結(jié)果還是有細(xì)微差別［15］，結(jié)果有差異的原因包括:①有限元模型通過靜力加載試驗(yàn)后進(jìn)行過細(xì)微的簡化;②測點(diǎn)傳感器布置位置的誤差以及傳感器本身誤差;③錘擊實(shí)驗(yàn)人員因經(jīng)驗(yàn)不足產(chǎn)生的操作誤差以及錘擊產(chǎn)生的非線性問題;④外部環(huán)境因素等. 相對誤差非常小、振型結(jié)果與有限元計(jì)算基本一致，說明文中有限元基準(zhǔn)模型的精確性得到了保障. 將表中結(jié)果代入前文中方法進(jìn)行計(jì)算，得到5 組阻尼系數(shù)，如表3 所示.其中，EL-Centro 波、Taft 波的主頻分別為1.818 和2.272Hz，按相似比(見表4)換算成27.27 和34.1Hz，根據(jù)結(jié)構(gòu)基頻21.973 Hz 計(jì)算得出兩種地震波下n均為3，所以阻尼系數(shù)R5 相等.

表3 阻尼系數(shù)Table 3 Damping coefficients

在有限元計(jì)算程序中設(shè)置好阻尼系數(shù)，取測點(diǎn)S6 進(jìn)行觀察(測量點(diǎn)的選取是基于現(xiàn)實(shí)情況下岸橋結(jié)構(gòu)的危險(xiǎn)易發(fā)點(diǎn))，測點(diǎn)位置布置如圖4 所示.

圖4 測量點(diǎn)布置圖Fig.4 Measurement nodes of the model

在EL-Centro 波、Taft 波下測點(diǎn)S6 的加速度時(shí)程曲線(有限元計(jì)算值與試驗(yàn)值對比)如圖5、6 所示，其中試驗(yàn)值是通過振動(dòng)臺模型試驗(yàn)獲取的結(jié)果.

圖5 EL-Gentro 波下考察點(diǎn)S6 的加速度時(shí)程曲線Fig.5 Acceleration time-history curves of S6 with EL-Gentro

觀察圖5、6 可知，在EL-Centro 波下，采用阻尼系數(shù)R4與R5時(shí)，有限元時(shí)程計(jì)算值與試驗(yàn)值最為接近;在Taft 波下，采用阻尼系數(shù)R3 與R5 時(shí)，有限元時(shí)程計(jì)算與試驗(yàn)值最為接近.由此可見，在不同地震波激勵(lì)下，同一岸橋結(jié)構(gòu)時(shí)程分析時(shí)采用同一種阻尼系數(shù)計(jì)算方法(工程中常用的4 種方法)得到的阻尼系數(shù)不一定與試驗(yàn)值吻合，而采用改進(jìn)的方法得到的阻尼系數(shù)使岸橋在不同地震波下時(shí)程分析結(jié)果與試驗(yàn)值相近.

圖6 Taft 波下考察點(diǎn)S6 的加速度時(shí)程曲線Fig.6 Acceleration time-history curves of S6 with Taft

2.3 振動(dòng)臺模型試驗(yàn)

采用振動(dòng)臺地震模擬試驗(yàn)來驗(yàn)證數(shù)值計(jì)算的結(jié)果.試驗(yàn)現(xiàn)場如圖3 所示，岸橋結(jié)構(gòu)相似縮尺模型的相似系數(shù)見表4.振動(dòng)臺主要參數(shù)如下:振動(dòng)臺臺面長1500 mm，臺面寬1 500 mm，水平方向最大加速度為±50 m/s2，豎直方向最大加速度為±30 m/s2，水平方向最大位移為±200 mm，豎直方向最大位移為±100 mm，水平方向最大速度為0.8 m/s，豎直方向最大速度為0.8 m/s，最大承載力為2 t，頻率范圍為0.1 ～100 Hz.

表4 岸橋縮尺模型的相似關(guān)系Table 4 Similarity relation of the scale model

在模型上取測量點(diǎn)S12，考察其在EL-Centro 波和Taft 波下，采用R4 和R5 對應(yīng)方法所得阻尼系數(shù)的有限元時(shí)程計(jì)算以及試驗(yàn)加速度時(shí)程曲線;取測量點(diǎn)S14，考察其在EL-Centro 波和Taft 波下，采用阻尼系數(shù)R3 和R5 對應(yīng)方法所得阻尼系數(shù)的有限元時(shí)程計(jì)算以及試驗(yàn)加速度時(shí)程曲線.

圖7 EL-Gentro 波下考察點(diǎn)S12 的加速度時(shí)程曲線Fig.7 Acceleration time-history curves of S12 with EL-Gentro

圖8 Taft 波下考察點(diǎn)S12 的加速度時(shí)程曲線Fig.8 Acceleration time-history curves of S12 with Taft

觀察圖7、8 可以看出，在EL-Centro 波下，岸橋結(jié)構(gòu)有限元時(shí)程分析采用阻尼系數(shù)R4 和R5 時(shí)，兩次有限元計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)值接近;在Taft 波下，繼續(xù)采用阻尼系數(shù)R4 和R5，發(fā)現(xiàn)R4 情況下時(shí)程分析與試驗(yàn)值偏差較大，而R5 情況下時(shí)程分析與試驗(yàn)值接近.觀察圖9、10 可以看出，在EL-Centro 波下，岸橋結(jié)構(gòu)有限元時(shí)程分析采用阻尼系數(shù)R3 和R5時(shí)，發(fā)現(xiàn)R3 情況下時(shí)程分析與試驗(yàn)值偏差較大，而R5 情況下時(shí)程分析與試驗(yàn)值接近;在Taft 波下，繼續(xù)采用阻尼系數(shù)R3 和R5，兩次數(shù)值計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)值接近.綜合上述結(jié)果，可以說明結(jié)構(gòu)在某一地震波下適用的阻尼系數(shù)計(jì)算方法(工程上常用的4 種)不一定適用于其他地震波，而改進(jìn)的方法能在不同地震波下計(jì)算得到合適的阻尼系數(shù).

圖9 EL-Gentro 波下考察點(diǎn)S14 的加速度時(shí)程曲線Fig.9 Acceleration time-history curves of S14 with EL-Gentro

圖10 Taft 波下考察點(diǎn)S14 的加速度時(shí)程曲線Fig.10 Acceleration time-history curves of S14 with Taft

為了進(jìn)一步說明該方法具有一般性，繼續(xù)采用Kobe 地震波進(jìn)行時(shí)程計(jì)算以及試驗(yàn)分析. Kobe 地震波主頻為5Hz，按相似比換算成75Hz，計(jì)算得n=5，阻尼系數(shù)R5，α =0.623，β =6.01 ×10-4，與ELCentro 地震波和Taft 地震波下阻尼系數(shù)有差異. 選取考察點(diǎn)S12，分析其在3 種地震波下位移時(shí)程計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果.

由圖11 可知，考察點(diǎn)位移時(shí)程曲線與試驗(yàn)結(jié)果曲線吻合度很高. 在Kobe 地震波下，阻尼系數(shù)R5的值發(fā)生了變化，在此情況下，計(jì)算值與實(shí)測值仍然保持較好的吻合，這說明文中的阻尼系數(shù)計(jì)算方法具有一般性，既考慮了結(jié)構(gòu)的頻率特性又考慮了地震動(dòng)的頻譜特性，不會過多低估或高估結(jié)構(gòu)在ω1和ω2范圍內(nèi)的阻尼，這樣得到的阻尼矩陣能夠更合理地反映結(jié)構(gòu)的阻尼特性.

觀察圖4 -11，R5 阻尼系數(shù)下有限元數(shù)值計(jì)算和試驗(yàn)結(jié)果誤差較小，在不同地震載荷下考察點(diǎn)加速度曲線形狀、極值大小以及對應(yīng)時(shí)間都比較近似.誤差在一定許可范圍內(nèi)，試驗(yàn)結(jié)果總體與數(shù)值計(jì)算結(jié)果相近，說明時(shí)程分析中采用文中方法計(jì)算得到的阻尼系數(shù)R5 所得的結(jié)果是可靠的，同時(shí)也使得相似縮尺模型的有效性得到了進(jìn)一步驗(yàn)證.

3 結(jié)語

圖11 3 種地震波下考察點(diǎn)S12 的位移時(shí)程曲線Fig.11 Displacement time-history curves of S12 under three kinds of seismic waves

文中比較了目前常用的幾種確定瑞利阻尼系數(shù)的方法，提出了適合岸橋結(jié)構(gòu)的阻尼系數(shù)計(jì)算方法.該計(jì)算方法考慮了結(jié)構(gòu)的頻率特性和地震動(dòng)的頻譜特性.文中還將該方法應(yīng)用到岸橋結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)動(dòng)力時(shí)程分析中，研究發(fā)現(xiàn):在不同地震波激勵(lì)下，同一岸橋結(jié)構(gòu)時(shí)程分析時(shí)采用同一種阻尼系數(shù)計(jì)算方法(工程上常用)得到的阻尼系數(shù)不一定與試驗(yàn)值吻合;同樣，不同型號的岸橋結(jié)構(gòu)采用同一種阻尼系數(shù)計(jì)算方法得到的阻尼系數(shù)與試驗(yàn)值之間存在較大誤差.改進(jìn)的阻尼系數(shù)計(jì)算方法得到的阻尼系數(shù)能使不同岸橋結(jié)構(gòu)在EL-Centro 地震波和Taft 地震波、Kobe 地震波下時(shí)程分析結(jié)果與試驗(yàn)值相近. 由于文中無法開展大量的結(jié)構(gòu)試驗(yàn)，使得試驗(yàn)結(jié)果不具有普遍性，后期將會對不同結(jié)構(gòu)的岸橋起重機(jī)進(jìn)行相似模型設(shè)計(jì)及振動(dòng)臺模型試驗(yàn)，以尋求一種在岸橋起重機(jī)范圍內(nèi)通用的瑞利阻尼系數(shù)計(jì)算方法.

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