黑洞相變研究進(jìn)展

李信飛

【摘 要】本文主要回顧了反德西特空間中帶電黑洞的相變研究進(jìn)展。黑洞是在理論上研究和實(shí)際觀(guān)測(cè)中的研究都具有重要意義。將黑洞看成一個(gè)熱力學(xué)系統(tǒng)，基于宇宙學(xué)常數(shù)作為黑洞壓強(qiáng)的觀(guān)點(diǎn)，使得黑洞熱力學(xué)第一定律獲得拓展，通過(guò)與范德瓦爾斯流體的物態(tài)方程類(lèi)比，獲得黑洞的相變信息，并對(duì)黑洞相變其他方向做了相關(guān)展望，特備是黑洞蒸發(fā)的圍觀(guān)描述上需要更多物理機(jī)制。

【關(guān)鍵詞】宇宙學(xué)常數(shù) 反德西特黑洞 溫度

1 引言

最初宇宙學(xué)常數(shù)是愛(ài)因斯坦引入在愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程中的，在實(shí)際觀(guān)測(cè)中，也發(fā)現(xiàn)宇宙學(xué)常數(shù)存在一個(gè)非常小的值。然而目前在觀(guān)測(cè)上的值與量子場(chǎng)論中計(jì)算的值，數(shù)量級(jí)相差懸殊，這引發(fā)了宇宙學(xué)常數(shù)的問(wèn)題[1]。通常在量子場(chǎng)論的計(jì)算中，宇宙學(xué)常數(shù)來(lái)自于湯川耦合、規(guī)范耦合常數(shù)和牛頓常數(shù)等，在某種意義上宇宙學(xué)常數(shù)是一個(gè)動(dòng)力學(xué)變量，而不是一個(gè)靜態(tài)的物理學(xué)變量。其次，宇宙學(xué)常數(shù)也是研究全息對(duì)偶中非常重要的物理參量，全息對(duì)偶是將一個(gè)2+1維的強(qiáng)關(guān)聯(lián)凝聚態(tài)模型對(duì)偶到一個(gè)3+1的反德西特空間（AdS）[2]，從引力獲得場(chǎng)論信息?；谏鲜鲈?，在實(shí)際觀(guān)測(cè)上和理論上研究宇宙學(xué)常數(shù)具有非常重要的意義。

2 研究進(jìn)展

在一個(gè)四維的帶電的AdS空間，Robert Mann等人在2012年提出，將負(fù)的宇宙學(xué)常數(shù)經(jīng)過(guò)參數(shù)化后，可以獲得與五維AdS空間的半徑相關(guān)的常數(shù)，因此看成黑洞壓強(qiáng)，經(jīng)過(guò)在此之前，這個(gè)思想先在宇宙學(xué)中獲得解釋。因此，在這個(gè)思想之下，可以獲得黑洞的物態(tài)方程，通過(guò)量綱上的匹配，可以等效寫(xiě)出黑洞的體積。存在黑洞類(lèi)似范德瓦爾斯流體一樣的性質(zhì)，在即大黑洞變成小黑洞。值得注意的是，這和83年霍金和佩吉提出的黑洞相變不同，霍金佩吉相變是黑洞到熱AdS空間的相變[3]，熱AdS空間并不是黑洞，是一個(gè)沒(méi)有時(shí)空奇點(diǎn)，而且將溫度作為額外維緊化的一個(gè)維度，這是兩者的最要的區(qū)別。在這中情況下，黑洞的質(zhì)量解釋為焓，而不是內(nèi)能。

我們首先考慮一個(gè)帶電的四維AdS空間，通過(guò)愛(ài)因斯坦場(chǎng)方程可求解出宇宙學(xué)常數(shù)與AdS半徑成平方反比的關(guān)系。在Robert Mann的觀(guān)點(diǎn)下，黑洞的熱力學(xué)第一定律增加對(duì)壓強(qiáng)的微分即，即M解釋為焓，而不是自由能，其中和是溫度和熵，和表示電勢(shì)和電荷，和P是表示體積和壓強(qiáng)，Ω和J表示轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角動(dòng)量。通過(guò)這個(gè)關(guān)系式和歐拉標(biāo)度不變性可以獲得ADM質(zhì)量。

下一個(gè)關(guān)鍵的步驟在于獲得黑洞溫度。在Schwarzschild坐標(biāo)下，漸近AdS空間的線(xiàn)元的平方寫(xiě)成球?qū)ΨQ(chēng)的形式，然后通過(guò)時(shí)間分量項(xiàng)對(duì)徑向求導(dǎo)獲得黑洞溫度，發(fā)現(xiàn)帶電荷那一項(xiàng)有和其它項(xiàng)有相反的符號(hào)。在經(jīng)典效應(yīng)內(nèi)，黑洞視界是一個(gè)只有信息墜入，光速也跑不出來(lái)的的地方，它的大小求解是通過(guò)令徑向分量分母為零，求解一個(gè)一元多次的方程來(lái)確定的，基于物理上的考慮，通常取這個(gè)方程的最大的根作為黑洞視界半徑；存在一些特殊黑洞，比如轉(zhuǎn)動(dòng)黑洞，情況稍微復(fù)雜，我們只考慮一個(gè)靜態(tài)的黑洞；對(duì)于不同的黑洞，視界半徑可能沒(méi)有精確的解析解，只能通過(guò)數(shù)值辦法求解，比如超對(duì)成下帶毛黑洞。最后，將視界半徑的表達(dá)式帶入黑洞溫度中，并且用宇宙學(xué)常數(shù)與的AdS半徑關(guān)系一同代入黑洞溫度表達(dá)式，消去AdS半徑，從而獲得帶電的AdS黑洞的物態(tài)方程。

通過(guò)和范德瓦爾斯流體的物態(tài)方程的類(lèi)比，獲得對(duì)應(yīng)態(tài)方程，我們可以獲得黑洞的相變的臨界指數(shù)，恰好與經(jīng)典范德瓦爾斯流體的臨界指數(shù)恰好相等。正是這種巧合促使許多關(guān)于求解各種黑洞臨界指數(shù)的研究；或許在某種程度上，許多研究人員向從半經(jīng)典引力方面來(lái)獲得黑洞信息，甚至做到和全息對(duì)偶原理類(lèi)似的結(jié)果。此外，黑洞的自由能圖像和范德瓦爾斯流體自由能的圖像有許多類(lèi)似的地方。Kubiznak等人將結(jié)果推廣到N維的靜態(tài)AdS空間中帶電的黑洞[4]，發(fā)現(xiàn)也出現(xiàn)相變，在壓強(qiáng)-溫度相變圖中，發(fā)現(xiàn)相變點(diǎn)隨著維度的增加單調(diào)抬高。其次Mo等人[5]結(jié)合經(jīng)典的Enfrest方案和PD比率證明那個(gè)臨界點(diǎn)是一個(gè)二階相變點(diǎn)，其次Jing等人在Mo的基礎(chǔ)上推廣到高維情境。

3 展望

目前很多種引力下的黑洞被研究過(guò)熱力學(xué)的相變，并獲得了它們的臨界指數(shù)。但是目前研究很少關(guān)注黑洞熱漲落的問(wèn)題。實(shí)際上黑洞熵存在熱漲落[6]，通過(guò)對(duì)黑洞熵的修正，可以唯象地研究等壓比熱容、等溫膨脹系數(shù)和絕熱壓縮系數(shù)，這是一種考察AdS黑洞穩(wěn)定的一種方式。其次，通過(guò)范德瓦爾斯流體性質(zhì)，也可以再次類(lèi)比獲得黑洞的熱漲落信息。

參考文獻(xiàn)：

[1]S. Weiberg. The cosmological constant problem. Rev. Mod. Phys.， 61（1989）1.

[2]J. M. Maldacena， The Large N limit of superconformal field theories. and supergravity， Int. J. Theor. Phys. 38， （1999），1113.

[3]S. W. Hawking and D. N. Page， Thermodynamics of Black Holes in anti-De Sitter Space， Commun. Math. Phys. 87 （1983） 577.

[4]D. Kubiznak and R. B. Mann， P-V criticality of charged AdS black holes， JHEP 1207 （2012） 033.

[5]J. X. Mo and W. B. Liu， Ehrenfest scheme for P-V criticality in the extended phase space of black holes， Phys. Lett. B 727 （2013） 336.

[6]S. Carlip， Logarithmic corrections to black hole entropy from theCardy formula， Class. Quant. Grav. 17 （2000） 4175.