整體最小二乘理論發(fā)展及其在測量中的應(yīng)用

艾強(qiáng) 曾春琴 仉明坤

【摘 要】經(jīng)典的測量數(shù)據(jù)處理大多以最小二乘法為估計(jì)準(zhǔn)則，但是隨著測量儀器精度的提高，測量數(shù)據(jù)處理的模型誤差已經(jīng)不能忽略了。由于儀器、觀測人員以及環(huán)境等因素影響，這些隨機(jī)元素都包含有測量誤差，系數(shù)矩陣就變成了包含測量誤差的變量矩陣。如何解決好系數(shù)陣和觀測向量同時(shí)受高斯噪聲干擾的測量EIV模型成為了研究熱點(diǎn)。

【關(guān)鍵詞】測量數(shù)據(jù)處理 誤差模型 整體最小二乘

1整體最小二乘原理

針對(duì)觀測向量和系數(shù)矩陣同時(shí)包含誤差的模型，許多學(xué)者提出了有效的解決思路，最后由Golub和Van Loan對(duì)其進(jìn)行歸納總結(jié)，提出并稱之為整體最小二乘法（TLS）。該方法是最小二乘法的補(bǔ)充和延伸，與最小二乘法相似但不相同。

我們用直線擬合的模型來探討整體最小二乘的原理并與最小二乘法作比較，整體最小二乘法既要考慮設(shè)計(jì)矩陣的誤差，又要考慮觀測向量的誤差，于是直線方程可改寫為，其中，為參數(shù)a，b的估值，為橫坐標(biāo)的真值，e為橫坐標(biāo)x的觀測誤差。則直線方程可改寫為，式中。按整體最小二乘法的原理，在保證系數(shù)陣的殘差與觀測值的殘差的二范數(shù)之和達(dá)到最小的條件下，仿照最小二乘的估計(jì)準(zhǔn)則，求解出參數(shù)a，b的估值。即

在運(yùn)算準(zhǔn)則上，最小二乘法對(duì)觀測量的誤差平方和進(jìn)行最小化約束，而整體最小二乘法則要求系數(shù)矩陣的誤差平方和與觀測值向量的殘差平方和兩者之和達(dá)到最小。它們之間的理論差異可以從如下的幾何圖形看出：

（1）LS（僅考慮y的誤差） （2）LS（僅考慮x的誤差） （3）TLS（同時(shí)考慮x，y的誤差）

圖（1）和（2）反映了最小二乘法的幾何意義：分別只考慮了觀測向量x、y的誤差，圖（3）則反映了整體最小二乘法的幾何意義：同時(shí)考慮x和y兩者的誤差，在兩者殘差平方和最小時(shí)求出。

Golub 和Van Loan提出了整體最小二乘法理論，并用奇異值分解方法（SVD）進(jìn)行解算。

2整體最小二乘分類

（1）混合最小二乘。同時(shí)改正系數(shù)矩陣和觀測向量的誤差是整體最小二乘的基本思想，而在有些情況下，比如在直線（曲面）擬合、直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換等模型中系數(shù)矩陣的某些固定元素不需要修正。所以，應(yīng)區(qū)別對(duì)待不同的設(shè)計(jì)矩陣，分別采取LS法和TLS法求解相應(yīng)的參數(shù)，這種處理方法簡稱混合最小二乘。

（2）多元整體最小二乘（MTLS）。在一些EIV模型中系數(shù)矩陣的某些元素重復(fù)出現(xiàn)，而且可以將方程組的觀測向量轉(zhuǎn)換為含有兩列以上的觀測值矩陣的形式。有學(xué)者提出了多元整體最小二乘法（MTLS），把觀測向量合理分割成幾列，避免了隨機(jī)元素重復(fù)出現(xiàn)，減弱了隨機(jī)元素間的相關(guān)性對(duì)解算結(jié)果的影響。

（3）加權(quán)整體最小二乘（WTLS）。普通整體最小二乘法將系數(shù)矩陣的所有元素進(jìn)行改正，混合最小二乘法則區(qū)別對(duì)待系數(shù)矩陣的不同列。但兩種方法都假設(shè)觀測值等權(quán)，觀測向量、設(shè)計(jì)矩陣兩者的權(quán)陣均為單位陣。然而系數(shù)陣的常數(shù)元素以列與隨機(jī)元素的形式出現(xiàn)，而且很多情況下觀測值的精度是不同的。用普通的整體最小二乘法、混合最小二乘法、多元整體最小二乘法都有不足，所以就產(chǎn)生了加權(quán)整體最小二乘法。WTLS通過加入系數(shù)矩陣和觀測向量的權(quán)陣，可以考慮隨機(jī)元素的精度和固定系數(shù)矩陣中所有不含誤差的常數(shù)元素。

（4）附有約束條件的加權(quán)整體最小二乘。在測量數(shù)據(jù)處理過程中，可能會(huì)遇到所選未知數(shù)個(gè)數(shù)多于必要觀測個(gè)數(shù)，且選取的u個(gè)參數(shù)中，有n個(gè)相互獨(dú)立，有s=u-n個(gè)限制條件。數(shù)據(jù)處理時(shí)必須列出n個(gè)觀測方程和s個(gè)限制參數(shù)間關(guān)系的條件方程才能求得唯一的參數(shù)估值。

（5）改進(jìn)的加權(quán)整體最小二乘（IWTLS）。將整體最小二乘法引入測量數(shù)據(jù)處理后，在用整體最小二乘法解算直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)過程中，發(fā)現(xiàn)系數(shù)矩陣中有不需要修正的常數(shù)，還存在某些隨機(jī)元素重復(fù)出現(xiàn)的問題，重復(fù)元素之間肯定存在相關(guān)性。利用Vahid Mahboub提出的協(xié)方差陣構(gòu)造方法，使得重復(fù)元素的改正數(shù)相等，改進(jìn)原有的加權(quán)整體最小二乘法。

3整體最小二乘在測量中的應(yīng)用

作為一種新的數(shù)據(jù)處理方法，整體最小二乘法很快引起了測繪學(xué)者的關(guān)注。Davis在赫爾默特變換的基礎(chǔ)上利用整體最小二乘法分析了土木工程設(shè)計(jì)中常用的擬合方法。Yavuz等在電離層層析成像研究中，利用整體最小二乘法對(duì)電離層電子密度進(jìn)行反演，與傳統(tǒng)的正則化最小二乘法相比，反演計(jì)算的復(fù)雜性和圖像重構(gòu)誤差都得到了一定程度的改善。Richard和Branham把整體最小二乘法作為天文測量中許多變量回歸問題處理的理想方法。Juang提出了基于整體最小二乘法的GPS定位和接收機(jī)完好性檢測模型。Felus、 Neitzel等提出將二維直角坐標(biāo)的相似變換模型轉(zhuǎn)換為EIV模型，然后用整體最小二乘法解算。所以，整體最小二乘法在測繪領(lǐng)域的研究將越來越深入，應(yīng)用將越來越廣泛。

參考文獻(xiàn)：

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