探討微積分中證明方程有根的基本方法

李衛(wèi)平

（南通師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)理與信息技術(shù)系，江蘇 如皋 226500）

探討微積分中證明方程有根的基本方法

李衛(wèi)平

（南通師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)理與信息技術(shù)系，江蘇 如皋 226500）

結(jié)合具體實(shí)例，在對(duì)根的存在定理及羅爾定理推廣基礎(chǔ)上，對(duì)證明方程有根的基本方法進(jìn)行了研究，并對(duì)這類問題的特點(diǎn)、解題方法及步驟進(jìn)行歸納總結(jié).

微積分；證明方程有根；基本方法

0 引言

證明方程有根是高等數(shù)學(xué)研究中常見的課題，也是高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的一個(gè)難點(diǎn)，一些文獻(xiàn)[1-4]對(duì)此類問題進(jìn)行了常識(shí)性推導(dǎo)證明，但從對(duì)根的存在定理及羅爾定理推廣研究證明方程有根方法的研究并不多見.筆者將在對(duì)根的存在定理及羅爾定理推廣基礎(chǔ)上，結(jié)合具體實(shí)例對(duì)高等數(shù)學(xué)中證明方程有根的基本方法進(jìn)行研究，并對(duì)這類問題的特點(diǎn)、解題方法及步驟進(jìn)行歸納總結(jié).

1 方程有根的證明方法及應(yīng)用舉例

方程有根的證明，在高等數(shù)學(xué)中常見的2個(gè)方法：一是利用根的存在定理證明；二是利用羅爾定理證明.具體選用哪個(gè)定理證明要視方程的特點(diǎn)而定.一般情況下，若方程中含有導(dǎo)數(shù)或已知條件中涉及到可導(dǎo)這個(gè)條件，則選擇第2種方法，否則采用第1種方法.這兩種方法解題的關(guān)鍵是輔助函數(shù)的構(gòu)造，如何構(gòu)造輔助函數(shù)是利用定理證明方程有根的難點(diǎn).下面將結(jié)合具體實(shí)例進(jìn)行分析.

1.1 運(yùn)用根的存在定理證明方程有根

定理1（根的存在定理）[5]如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f（a）與f（b）異號(hào)，則至少存在1點(diǎn)ξ∈（a，b），使得f（ξ）=0.

結(jié)論表明，若方程f（x）=0中的函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)且兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值異號(hào)，則該方程在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在1個(gè)根ξ.這個(gè)結(jié)果，在確定1個(gè)方程的根時(shí)是十分有用的.

運(yùn)用根的存在定理證明方程在某范圍內(nèi)存在實(shí)根的步驟：（1）構(gòu)造輔助函數(shù)f（x）；（2）確定函數(shù)在相應(yīng)閉區(qū)間上連續(xù)，并驗(yàn)證該函數(shù)滿足根的存在定理的條件；（3）寫出結(jié)論.

構(gòu)造輔助函數(shù)f（x）的方法：若題中所給方程是f（x）=0的結(jié)構(gòu)，則方程中的f（x）即為要研究的函數(shù)，否則通過移項(xiàng)使方程一端為零，另一端則可令為f（x）.

例1 證明方程x3+x-1=0在區(qū)間（0,1）內(nèi)至少有1個(gè)根.

證明 令f（x）=x3+x-1，則顯然f（x）在閉區(qū)間[0,1]上連續(xù)，且f（0）=-1＜0，f（1）=1＞0.所以，由根的存在定理可知，至少存在一點(diǎn)ξ∈（0,1），使得f（ξ）=0，即方程x3+x-1=0在區(qū)間（0,1）內(nèi)至少有1個(gè)根.

例2 證明方程x3+x=1至少有1個(gè)小于1的正根.

分析 方程x3+x=1可變形為x3+x-1=0，故令f（x）=x3+x-1.至少有1個(gè)小于1的正根，說明討論的區(qū)間為[0,1].證明過程與例1類似，此處略.

此外，根的存在定理結(jié)論也表明曲線y=f（x）在區(qū)間（a，b）上至少與x軸有1個(gè)交點(diǎn)，從而該定理也可用來證明曲線與x軸有交點(diǎn).

例 3 設(shè)函數(shù) f（x）在（a，b）上連續(xù)，x1，x2∈（a，b），x1＜x2且 f（x1）≠f（x2），求證：?ξ∈（a，b），使 f（ξ）=

注：當(dāng)所構(gòu)造的函數(shù)在給定的區(qū)間兩端點(diǎn)處的符號(hào)同號(hào)或沒辦法判斷正負(fù)時(shí)，我們可考慮縮小要討論的區(qū)間，正如例3一樣，要證明方程在區(qū)間（a，b）內(nèi)有根，可證明該方程在區(qū)間（a，b）的子區(qū)間內(nèi)有根.

1.2 運(yùn)用羅爾定理證明方程有根

定理2（羅爾定理）[5]若函數(shù)滿足

(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；(2)在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)；(3)在兩端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即f（a）=f（b），則至少存在1點(diǎn)ξ∈（a，b），使得f′（ξ）=0.

結(jié)論表明，若方程f′（x）=0中的函數(shù)f（x）滿足羅爾定理中的3個(gè)條件，則該方程在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少存在1個(gè)根ξ.這個(gè)結(jié)果可用于證明方程有根.此處的方程與根的存在定理中涉及到的方程區(qū)別就在于方程中一個(gè)含有導(dǎo)數(shù)一個(gè)不含有導(dǎo)數(shù)，這也是決定用兩個(gè)定理中的哪個(gè)定理來證明的依據(jù)所在.

運(yùn)用羅爾定理證明方程有根，關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù)f（x），一般可先對(duì)方程作等價(jià)變形，并使方程一端為零，將不為零的那一側(cè)對(duì)應(yīng)的函數(shù)的原函數(shù)令為f（x），然后驗(yàn)證f（x）滿足羅爾定理的條件，最后下結(jié)論.此處，原函數(shù)一般可通過觀察或求積分的方法找到.

例4 已知函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，求證：在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使

例5 設(shè)函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，證明在（a，b）內(nèi)存在一點(diǎn)ξ，使

故本題可構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=（b-x）f（x）+f（a）x，容易驗(yàn)證g（x）滿足羅爾定理的條件.

證明 令，g（x）=（b-x）f（x）+f（a）x因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，所以g（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo).因?yàn)間（a）=（b-a）f（a）+f（a）a=bf（a），g（b）=（b-b）f（b）+f（a）b=f（a）b，所以g（a）=g（b）.由羅爾定理可知，在（a，b）內(nèi)存在一點(diǎn)ξ，使得g′（ξ）=0.

而g′（x）=-f（x）+（b-x）f′（x）+f（a），所以

例6 設(shè)函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，f（a）=f（b）=0，求證：在（a，b）內(nèi)存在一點(diǎn)ξ，使f′（ξ）= f（ξ）.

分析 該題可轉(zhuǎn)化為證明方程f′（x）=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有根，將方程變形可得f′（x）-f（x）=0，但方程左側(cè)的原函數(shù)仍不易找出，此時(shí)繼續(xù)對(duì)方程變形，在方程兩側(cè)同時(shí)乘上e-x，原方程等價(jià)于e-xf′（x）-e-xf（x）= 0.而[e-xf（x）]′=e-xf′（x）-e-xf（x），故可構(gòu)造輔助函數(shù)g（x）=e-xf（x），容易驗(yàn)證g（x）滿足羅爾定理的條件.為了尋找原函數(shù)，在方程兩側(cè)同時(shí)乘上e-x或ex也是對(duì)方程作變形的1種常見方法.

2 根的存在定理及羅爾定理的推廣

與根的存在定理的幾何意義類似有如下的結(jié)論成立.

該定理的運(yùn)用和根的存在定理的運(yùn)用思路與方法均類似，區(qū)別在于已知條件中給定的區(qū)間的類型.若f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則可首選根的存在定理證明，也可用定理3證明；若函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）或半閉半開區(qū)間[a，b）（或（a，b]）上連續(xù)，則可推出函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）上連續(xù)，從而可運(yùn)用定理3證明.總之，能用根的存在定理證明的題型，都可以用定理3來證明，定理3的適用范圍更廣.

由定理3亦可驗(yàn)證下面兩個(gè)推論的正確性.

與羅爾定理的幾何意義類似有如下的結(jié)論成立.

運(yùn)用該定理證明方程有根和運(yùn)用羅爾定理證明方程的思路與方法類似，區(qū)別在于看函數(shù)f（x）在給定區(qū)間的兩端點(diǎn)x=a和x=b處是否連續(xù).在兩定理的選擇運(yùn)用上，就如同在根的存在定理和定理3之間作選擇一樣，并且定理4的適用范圍比羅爾定理適用范圍更廣.

由定理4亦可驗(yàn)證下面兩個(gè)推論的正確性.

推論3 若函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，在區(qū)間（a，b]上連續(xù)，且則至少存在一點(diǎn)ξ∈（a，b），使得f′（ξ）=0.

推論4 若函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，在區(qū)間[a，b）上連續(xù)，且則至少存在一點(diǎn)ξ∈（a，b），使得f′（ξ）=0.

在具體選用根的存在定理還是羅爾定理來證明方程有根時(shí)，要視方程的特點(diǎn)而定.一般情況下，若方程中含有導(dǎo)數(shù)或已知條件中涉及到可導(dǎo)這個(gè)條件，則選擇羅爾定理或其推廣來證明，否則采用根的存在定理或其推廣來證明.在兩個(gè)定理及其推廣的選擇應(yīng)用上主要是觀察題中所給的連續(xù)這個(gè)條件是否是在閉區(qū)間上，若不是，則選擇定理的推廣來解題.在應(yīng)用推廣和兩個(gè)定理解題時(shí)，輔助函數(shù)構(gòu)造技巧是類似的.

[1]楊仁付.淺談方程有根問題的證明方法[J].高等數(shù)學(xué)研究，1998，（3）：32-34.

[2]李國(guó)成.淺談利用微分中值定理解題的方法和技巧[J].成都教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2004，18（7）：69-70，74.

[3]李英.微積分中討論方程實(shí)數(shù)根的幾種方法[J].內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)學(xué)院學(xué)報(bào)（綜合版），2004，2（3）：79-80.

[4]楊朝暉.羅爾定理的應(yīng)用與探索[J].荊楚理工學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，24（11）：46-49.

[5]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2007.

（責(zé)任編輯 鈕效鹍）

An Exploration of Existence of Equation Root in Differential Calculus

LI Wei-ping
（Department of Mathematics&Information Technology，Nantong Normal College，Rugao，Jiangsu 226500，China）

Through some examples，the basic methods to prove the existence of equation root are studied，and the characteristics，problem-solving methods and procedures of such problems are summarized on the basis of the promotion of zero-point theorem and Rolle theorem.

differential calculus；testification of the existence of equation root；basic method

O172

A

1673-1972（2015）03-0036-04

2014-11-26

李衛(wèi)平（1981-），女，江蘇如皋人，講師，主要從事高等數(shù)學(xué)研究.