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    Benny-Luke方程和Phi-4方程的精確行波解

    2015-10-15 01:47:45陳立何姝琦董亞瑩
    關(guān)鍵詞:陳立行波方程

    陳立,何姝琦,董亞瑩

    (西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,陜西西安710127)

    Benny-Luke方程和Phi-4方程的精確行波解

    陳立,何姝琦,董亞瑩

    (西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,陜西西安710127)

    運用了tanh-coth展開法,得到了Benny-Luke方程和Phi-4方程的一些新的精確行波解.同時該方法也可用于其他的非線性演化方程.

    tanh-coth展開法;Benny-Luke方程;Phi-4方程;精確行波解

    1 引言

    非線性演化方程被廣泛運用于現(xiàn)代科學(xué)中,非線性現(xiàn)象出現(xiàn)在科學(xué)和工程的許多分支中,例如等離子物理、流體力學(xué)、氣體動力學(xué)、化學(xué)反應(yīng)、生態(tài)、固體物理等給人留下深刻印象的研究領(lǐng)域.非線性演化方程經(jīng)常用來描述孤立波運動,尋求非線性演化方程的精確很重要,因此精確行波解的探索變成非線性物理現(xiàn)象研究的一項重要任務(wù).值得注意的是,觀察到不存在獨特的方法來解決所有非線性演化方程.由于這個原因,許多方法已被建立,例如Jacobi橢圓函數(shù)法[1]、齊次平衡法、MSE方法(Modified Simple Equation Method)[2]、展開法[3[5]、變分法、反散射方法、廣田的雙線性方法、tanh-coth展開法[69]、不變集方法[10]、不變子空間方法[11]、李群方法等.隨著各種求解方法的出現(xiàn),不但過去難于求解的方程得到解決,而且新的、具有重要物理意義的解不斷被發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用,呈現(xiàn)出一個層出不窮的勢頭.

    Malfliet首先介紹tanh展開法用于求解非線性偏微分方程,后來此方法被廣泛運于求解非線性偏微分方程.Wazwaz將tanh展開法延拓為tanh-coth展開法.本文運用了tanh-coth展開法尋求Benny-Luke方程

    和Phi-4方程的精確行波解.本文安排如下:第2部分,介紹tanh-coth展開法;第3部分,將此方法應(yīng)用于Benny-Luke方程,并得到該方程的一些新的精確行波解;第4部分,將此方法應(yīng)用于Phi-4方程,并得到該方程的一些新的精確行波解;第5部分,將Benny-Luke方程和Phi-4方程的精確行波解做了物理解釋和圖像解釋.最后,得知該方法在求解非線性演化方程的精確行波解時非常直觀有效.

    2 tanh-coth展開法

    3 求解Benny-Luke方程

    Benny-Luke方程是一個近似水波方程,適合在表面張力存在下描述雙向水波傳播,在物理等方面具有廣泛的應(yīng)用.在這一部分,將運用tanh-coth展開法來研究Benny-Luke方程

    4 求解Phi-4方程

    近幾十年來,Phi-4方程在核物理和粒子物理占有很重要的地位.在這一部分,將運用tanh-coth展開法來研究Phi-4方程

    5 物理解釋和圖像解釋

    在這一部分,將給出Benny-Luke方程和Phi-4方程的精確行波解的物理解釋和圖像解釋.

    本文第三部分運用tanh-coth展開法得到Benny-Luke方程的精確行波解u1,u2,u3.當(dāng)取a0=1,α=1,β=1,(-10≤x≤10),(0≤t≤10)時,u1的圖像如圖1所示,圖像1表示Benney-Luke方程的扭結(jié)型行波解,u2的圖像如圖2所示,圖像2表示Benney-Luke方程的奇異扭結(jié)型行波解,u3的圖像與u2的圖像類似.

    本文第四部分運用tanh-coth展開法得到Phi-4方程的精確行波解u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7,u8.當(dāng)取λ=-1.2,m=139,c=2,(-10≤x≤10),(0≤t≤10)時,u1的圖像如圖3所示,圖像3表示Phi-4方程的多重周期解,u3的圖像如圖4所示,圖像4表示Phi-4方程的奇異扭結(jié)型行波解,u2的圖像與u1的圖像類似,u4,u5,u6,u7,u8的圖像與u3的圖像類似.

    圖1 Benny-Luke方程的解u1

    圖2 Benny-Luke方程的解u2

    圖3 Phi-4方程的解u1

    圖4 Phi-4方程的解u3

    6 總結(jié)

    本文運用tanh-coth展開法求解出Benny-Luke方程和Phi-4方程的一些新的行波解,從而豐富了方程的結(jié)果,有助于對方程所描述的物理現(xiàn)象進一步了解和研究.同時,這種方法也能夠求解其他的非線性演化方程,也可以將雙曲函數(shù)換成三角函數(shù),同樣能夠得到一些方程的行波解.

    [1]Ali A T.New generalized Jocobi ellipic function rational expansion method[J].Comput.Appl.Math.,2011,235:4117-4127.

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    [3]Wang M,Li X,Zhang J.The(G′/G)-expansion method and travelling wave solutions of nonlinear evolution equations in mathematical physics[J].Phys.Lett.A,2008,372:417-423.

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    [11]Qu G Z,Zhang S L,Li Y L.Third-order nonlinear differential operators preserving invariant subspaces of maximal dimension[J].Chin.Phys.B,2014,23:110202.

    New travelling wave solutions to the Benny-Luke equation and the Phi-4 equations

    Chen Li,He Shuqi,Dong Yaying

    (College of Mathematics,Northwest University,Xi′an710127,China)

    In this work,many new travelling wave solutions are established for the Benny-Luke equation and the Phi-4 equations.The tanh-coth method is used to generate these new solutions.The approach is also applicable to a large variety of nonlinear evolution equations.

    the tanh-coth method,the Benny-Luke equation,the Phi-4 equations,travelling wave solutions

    O175.29

    A

    1008-5513(2015)06-0604-07

    10.3969/j.issn.1008-5513.2015.06.008

    2015-06-16.

    國家自然科學(xué)基金(11371293).

    陳立(1989-),碩士生,研究方向:偏微分方程.

    2010 MSC:35C07

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