SVM在解偏微分方程邊值中的應(yīng)用

陳杰

摘 要：SVM是一種基于統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論為基礎(chǔ)的模式識(shí)別方法，其出色的學(xué)習(xí)和推廣性能，使其在很多方面得到了應(yīng)用，本文主要討論其在解偏微分方程邊值中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：SVM；二次規(guī)劃問(wèn)題；偏微分方程

SVM是一種基于統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論為基礎(chǔ)的模式識(shí)別方法，它是由Boser，Guyon，Vapnik在COLT-92上首次提出，從此迅速地發(fā)展起來(lái)，現(xiàn)在已經(jīng)在許多領(lǐng)域得到成功應(yīng)用.SVM的主要思想是通過(guò)構(gòu)造一個(gè)非線性的核函數(shù)來(lái)降低維的不可分的輸入空間數(shù)據(jù)映射到高維可分的屬性空間，然后再尋找一個(gè)滿足分類要求的最優(yōu)化分割超平面，并使其在保證分類精度的同時(shí)最大化超平面兩側(cè)的空白區(qū)域，所以，這種方法是全局最優(yōu)的，不存在過(guò)學(xué)習(xí)問(wèn)題[1].

1 邊值問(wèn)題

物理現(xiàn)象的規(guī)律大多是通過(guò)（偏）微分方程來(lái)描述的，形如：

但僅有方程是不能完全確定具體物理現(xiàn)象的，還需要給出適當(dāng)?shù)母郊訔l件，一般把一個(gè)單獨(dú)的方程稱為“泛定方程”，而把完全確定具體物理現(xiàn)象規(guī)律的附加條件稱為“定解條件”. 定解條件中最常見(jiàn)的是初始條件和邊界條件兩類，文中把相應(yīng)的（偏）微分方程簡(jiǎn)稱為邊值問(wèn)題，常見(jiàn)的邊值條件如下：

第一類邊界條件，也叫Dirichlet條件，是指函數(shù)在邊界上為已知函數(shù)，即

第二類邊界條件，也叫Neumann條件，即函數(shù)在邊界是哪個(gè)滿足

第三類邊界條件，混合邊界條件：在邊界的一部分上滿足一類邊界條件，而其余部分滿足第二類邊界條件.

2 SVM解題步驟

在求解待定參數(shù)和微分方程邊值問(wèn)題中，只要事先假設(shè)出所求函數(shù)的表達(dá)式，然后根據(jù)已知的微分關(guān)系和邊界條件對(duì)待求函數(shù)進(jìn)行約束將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次規(guī)劃問(wèn)題，再采用支持向量機(jī)回歸算法[2]對(duì)樣本進(jìn)行學(xué)習(xí)，即可確定待求函數(shù)的關(guān)系式. 求解步驟為：

（1）假設(shè)待定函數(shù)的表達(dá)式；

（2）根據(jù)已知函數(shù)關(guān)系對(duì)函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行處理；

（3）根據(jù)處理后的表達(dá)式處理數(shù)據(jù)，為SVM準(zhǔn)備；

（4）采用SVM訓(xùn)練算法進(jìn)行訓(xùn)練，求得待定參數(shù)，從而確定所求函數(shù).

3 舉例

求解下面偏微分方程邊值問(wèn)題：

4 結(jié)論

從結(jié)果看用支持向量機(jī)估計(jì)所得的函數(shù)與原函數(shù)解析解的值非常接近，誤差范圍一般在10-5～10-3之間.可以說(shuō)，采用支持向量解回歸解決邊值問(wèn)題在技術(shù)上完全可行.

參考文獻(xiàn)

[1] 彭彬彬，等.基于SVM增量學(xué)習(xí)的用戶適應(yīng)性研究[J].計(jì)算機(jī)科學(xué)2013（3）.

[2] 周利萍，楊家紅，黃務(wù)蘭；基于SVM的回歸學(xué)習(xí)算法及其在網(wǎng)頁(yè)分類中的應(yīng)用[J]；計(jì)算機(jī)時(shí)代；2004年11期.