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    求解分?jǐn)?shù)階微分方程的一種新矩陣算子

    2015-10-14 06:42:14劉麗靜
    卷宗 2015年10期

    劉麗靜

    摘 要:近年來,分?jǐn)?shù)階微積分在建立物理模型和工程計(jì)算中得到廣泛應(yīng)用,由于大多數(shù)分?jǐn)?shù)階微分方程式不存在解析解的,對于分?jǐn)?shù)階微分方程的求解數(shù)值解就顯得尤為重要。本文在Caputo分?jǐn)?shù)階微分定義下,利用切比雪夫多項(xiàng)式給出了求解一類分?jǐn)?shù)階微分方程的矩陣算子,將求解分?jǐn)?shù)階微分方程初值問題化為代數(shù)方程求解,并將新矩陣算子應(yīng)用在線性分?jǐn)?shù)階微分方程中,數(shù)值算例說明了本矩陣算子的有效性和可行性。

    關(guān)鍵詞:分?jǐn)?shù)階微分方程;矩陣算子;切比雪夫多項(xiàng)式;Caputo導(dǎo)數(shù)

    1 引言

    分?jǐn)?shù)階微積分與整數(shù)階微積分有著同樣悠久的歷史,它的建立至今已有300多年的歷史。近幾年,許多研究者發(fā)現(xiàn):非整數(shù)階的微積分也可以在眾多現(xiàn)實(shí)領(lǐng)域中得以應(yīng)用,而且它們比整數(shù)階微積分能更精確地體現(xiàn)物體的性質(zhì),例如:沾滯系統(tǒng)、介質(zhì)極化、電極-電解液極化、管道邊界層效應(yīng)、有色噪聲和電磁波等,從而使得分?jǐn)?shù)階微分方程擁有了實(shí)際的應(yīng)用背景,并且人們也發(fā)現(xiàn)在分析各類物質(zhì)材料的記憶遺傳性、經(jīng)濟(jì)學(xué)中,分?jǐn)?shù)階微分都成為一種有效的工具,發(fā)揮了無法比擬的作用,從而分?jǐn)?shù)階算子理論和應(yīng)用研究在國際上才得到迅速發(fā)展[1],因此,開展分?jǐn)?shù)階微分方程數(shù)值方法的研究具有重要的理論意義和實(shí)用價(jià)值。

    2 預(yù)備知識(shí)

    2.1 Caputo的分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)的定義

    2.2微分方程的切比雪夫矩陣算子

    2.2.1 整數(shù)階微分方程的切比雪夫矩陣算子

    該方法得到的解與精確解相同,說明此法可應(yīng)用于求解線性微分方程。

    4 結(jié)論

    由于分?jǐn)?shù)階微分方程對所描述問題具有的記憶性,使得對分?jǐn)?shù)階微分方程研究成為研究的熱點(diǎn)問題。本文正是在這種背景之下,給出了一種普遍適用的切比雪夫分?jǐn)?shù)階微分的矩陣算子,數(shù)值算例表明了該矩陣算子對求解線性分?jǐn)?shù)階微分方程是可行且有效的。另外值得一提的是本文提出的矩陣算子有利于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn),為編寫工程計(jì)算軟件提供了理論支持。

    參考文獻(xiàn)

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