Dini導(dǎo)數(shù)在函數(shù)凸性中的應(yīng)用

布仁白乙拉，蘇雅拉圖

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Dini導(dǎo)數(shù)在函數(shù)凸性中的應(yīng)用

布仁白乙拉，*蘇雅拉圖

( 內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 內(nèi)蒙古呼和浩特 010022)

本文建立了關(guān)于連續(xù)凸函數(shù)的含有Dini導(dǎo)數(shù)的一個(gè)不等式，并通過(guò)建立不等式給出了連續(xù)凸函數(shù)和連續(xù)嚴(yán)格凸函數(shù)的判據(jù)。

Dini導(dǎo)數(shù)；凸函數(shù)；單調(diào)增加；單調(diào)減少

1 預(yù)備知識(shí)

=

=

引理1.1[2]設(shè)函數(shù)區(qū)間的凸函數(shù)，那么對(duì)于的子區(qū)間和只要且就有。

引理1.2[3]設(shè)是區(qū)間上的凸函數(shù)，那么在的每個(gè)內(nèi)點(diǎn)處，函數(shù)有有限的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)它們都是單調(diào)增加的，并且。

引理1.3[3]設(shè)函數(shù)為上的連續(xù)函數(shù)，為點(diǎn)的四個(gè)Dini導(dǎo)數(shù)，若四者之一是單調(diào)增加的，則是凸的；若四者之一在上處處非負(fù)，那么在上非減。

引理1.4[4]設(shè)函數(shù)在上有定義，則是凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)區(qū)間內(nèi)滿足條件的任意三點(diǎn)，有；而是嚴(yán)格凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)上述不等式中的小于號(hào)成立。

引理1.5[1]設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在（,）內(nèi)均有限，則存在及使。

引理1.6[1]設(shè)為上的連續(xù)函數(shù)，且在（,）內(nèi)有限，則是增（減）函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)

2 主要結(jié)果

為了證明主要結(jié)果，先給出一個(gè)非常有用的引理，其證明可用分析的常規(guī)方法，利用引理1.1和引理1.2給出。

于是由引理2.1知，

(2.3)

于是推導(dǎo)出

。

于是

即

這不等式顯然等價(jià)于

于是有

故有

推論2.2[4]設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則是上的凸函數(shù)的充要條件為：對(duì)有

()是嚴(yán)格凸函數(shù)的充要條件為：對(duì)有。

推論2.3[4]設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)二階可微，則是上凸函數(shù)的充要條件為；是上嚴(yán)格凸函數(shù)的充要條件為且不在的任一子區(qū)間上恒為零。

參考文獻(xiàn)：

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THE APPLICATIONS OF DINI DERIVATIVE IN ONVEXITY OF FUNCTIONNS

Burenbaiyila,*Suyalatu

(College of Mathematics Science, Inner Mongolia N ormal University, hohhot 010022)

An inequality with Dini derivative about the continuous convex function is established. Some criteria for continuous convex function and continuous strictly convex function are given by establishing several inequalities with Dini derivative.

Dini derivative; convex function; strictly increasing; strictly decreasing

1674-8085(2015)06-0017-04

O171

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2015.06.004

2015-05-16；修改日期：2015-08-19

內(nèi)蒙古自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2012MS1022)；內(nèi)蒙古師范大學(xué)人才工程基金項(xiàng)目(RCPY-2-2012-K-034)

布仁白乙拉(1971-)，男，內(nèi)蒙古科右中旗人，碩士生，主要從事Banach空間理論研究(E-mail:1121200709@qq.com);

*蘇雅拉圖(1960-)，男，內(nèi)蒙古鑲黃旗人，教授，碩士生導(dǎo)師，主要從事Banach空間理論研究(E-mail: suyila520@163.com)