考慮分形裂紋彎折效應(yīng)和長度效應(yīng)的水力壓裂裂縫擴展機理

李小剛，易良平，楊兆中，周拿云（.西南石油大學(xué)油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國家重點實驗室,成都60500；.中國石油西南油氣田分公司采氣工程研究院,四川廣漢68300）

考慮分形裂紋彎折效應(yīng)和長度效應(yīng)的水力壓裂裂縫擴展機理

李小剛1，易良平1，楊兆中1，周拿云2
（1.西南石油大學(xué)油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國家重點實驗室,成都610500；2.中國石油西南油氣田分公司采氣工程研究院,四川廣漢618300）

為了更加準(zhǔn)確地認(rèn)識裂縫分形擴展對水力壓裂的影響，針對傳統(tǒng)的線性擴展模型，考慮分形裂紋彎折效應(yīng)和長度效應(yīng)，重新推導(dǎo)了裂縫在分形擴展下的斷裂韌性表達式，從而導(dǎo)出新的水力裂縫縫寬方程以及水力裂縫擴展所需的縫內(nèi)凈壓力表達式。理論分析表明，裂縫擴展彎折角越大，分形維數(shù)越大；與水力裂縫線性擴展模型相比，考慮裂縫的分形裂紋彎折效應(yīng)和長度效應(yīng)后，水力裂縫擴展所需的縫內(nèi)凈壓力更大。與裂縫線性擴展模型相比，裂縫分形擴展模型計算得到的縫寬在裂縫的前80%部分是減小的，只有在靠近裂縫端部縫寬是增加的，即用線性擴展模型算出的縫寬較實際情況偏大，所以線性擴展模型中能夠安全通過的支撐劑在實際情形中可能形成橋堵。

水力壓裂；分形擴展；彎折效應(yīng)；縫寬方程；斷裂韌性

傳統(tǒng)的水力裂縫延伸模型是建立在裂縫線性擴展基礎(chǔ)上的，實際上,無論是在宏觀層面還是微觀層面，大部分巖石斷面都是粗糙不規(guī)則的[1-4]，對于頁巖、砂礫巖儲集層，這種情況尤甚[5-9]，所以水力裂縫的非線性幾何形態(tài)難以用歐式幾何進行描述，Mandelbort創(chuàng)立的分形幾何理論為解決此問題提供了有效途徑。與線性擴展相比，裂縫的分形擴展改變了應(yīng)力場的分布特征及宏觀線性長度上的巖石斷裂韌性[10-12],從而使得水力裂縫形態(tài)和裂縫擴展所需的縫內(nèi)凈壓力發(fā)生變化。近20年來,有學(xué)者研究了分形裂縫長度效應(yīng)對水力裂縫起裂、延伸以及裂縫形態(tài)的影響，卻沒有考慮分形裂紋的彎折效應(yīng)對水力壓裂的影響[10,13-16]。本文考慮分形裂紋的彎折效應(yīng)（引起應(yīng)力場的改變）和分形裂紋不規(guī)則擴展的長度效應(yīng)（引起更多的能量耗散）來重新表征巖石的應(yīng)力強度因子[17]，旨在更新水力壓裂裂縫的幾何尺寸模型。

1　斷裂理論基礎(chǔ)

由斷裂理論可知，裂紋開始擴展的判據(jù)有2種：一種是基于應(yīng)力強度因子的判據(jù)，稱為K判據(jù),即認(rèn)為應(yīng)力強度因子K達到材料斷裂韌性KC時裂紋開始擴展；另一種是基于能量釋放率的判據(jù)，稱為G判據(jù)，即認(rèn)為能量釋放率G達到臨界能量釋放率GC時裂紋開始擴展。因為在平面應(yīng)變條件下[18]：

所以K判據(jù)與G判據(jù)具有等價關(guān)系。臨界能量釋放率可由下式計算

2　分形裂紋彎折效應(yīng)下的巖石斷裂韌性

由分形理論可知，分形裂紋曲線處處不可微，這意味著分形裂紋處處有拐點，且呈彎折狀沿著主方向擴展。國內(nèi)外學(xué)者研究發(fā)現(xiàn)，即使在Ⅰ型加載下分形裂紋彎折擴展也會引起裂紋頂端的局部復(fù)合型加載[19]，對于線彈性材料，裂紋頂端附近的應(yīng)力場可由局部應(yīng)力強度因子kⅠ，kⅡ和kⅢ來表示，而局部應(yīng)力強度因子是由裂紋幾何尺寸和表觀應(yīng)力強度因子KⅠ，KⅡ和KⅢ所決定的[17]。由于水力裂縫為Ⅰ型加載情況下產(chǎn)生的裂紋，下面只談?wù)摙裥土鸭y擴展下巖石的應(yīng)力強度因子。如果Ⅰ型裂紋的扭轉(zhuǎn)效應(yīng)可忽略不計，則由斷裂理論可知[17]：

式中

圖1為分形裂紋擴展模型。利用斷裂理論可得其局部應(yīng)力強度因子kI和kII[17]為

圖1　分形彎折裂紋模型

由（4）式和（6）式得

聯(lián)立（1）式、（2）式、（3）式和（7）式得

3　分形裂紋長度效應(yīng)下的巖石斷裂韌性

經(jīng)典斷裂力學(xué)認(rèn)為巖石斷裂面是光滑的，實際上無論是在宏觀層面還是微觀層面，巖石斷面都是粗糙不規(guī)則的，所以水力裂縫壁面實際上是凹凸不平的，具有粗糙性，這種粗糙性明顯增加了裂縫表面面積。設(shè)宏觀斷裂面積為A宏，實際斷裂面積為A實，則A實大于A宏?？紤]裂縫平直擴展時的長度為L0，而裂縫分形擴展的實際長度為L（δ），由此可得[17]

由（2）式和（9）式可得裂縫分形擴展下的臨界能量釋放率

Mandelbort的分形曲線長度計算公式[15]為

由（10）式和（11）式得

由（1）式和（12）式得

由（8）式和（13）式得

根據(jù)圖1所示的分形裂紋模型和分形理論可得[19]

圖2　水力裂縫分形擴展模型

由（14）式、（15）式和（16）式得

4　分形效應(yīng)對縫內(nèi)凈壓力和裂縫形態(tài)的影響

無限大地層中存在一條長度為2L的水力裂縫（圖3）。假設(shè)水力裂縫內(nèi)流體壓力均勻分布，在不考慮分形效應(yīng)的情況下，由斷裂理論可知[18]：

圖3　水力裂縫坐標(biāo)示意

實際水力裂縫擴展過程中具有分形效應(yīng)，由文獻［10］可知：

結(jié)合（17）式、（18）式和（19）式可知：

由文獻［19］和文獻［20］可知，在假設(shè)水力裂縫擴展為線性擴展的條件下，縫寬方程為

借鑒文獻［15］和文獻［21］中關(guān)于水力裂縫縫寬方程的推導(dǎo)思路，并結(jié)合（14）式，可得出考慮分形裂紋彎折效應(yīng)和長度效應(yīng)下水力裂縫縫寬方程為

結(jié)合（15）式、（17）式和（22）式可得

（23）式就是考慮水力裂縫分形擴展長度效應(yīng)和彎折效應(yīng)條件下的縫寬方程。由（23）式可知，水力裂縫寬度與縫內(nèi)凈壓力無關(guān)，而與巖石楊氏模量、巖石斷裂韌性、分形維數(shù)有關(guān)。

在實際應(yīng)用中，可在實驗室測得KⅠC[22]，并通過室內(nèi)巖心斷裂實驗、電鏡掃描巖石斷裂面，計算分形維數(shù)以及裂縫擴展彎折角，為后續(xù)壓裂計算提供基本參數(shù)。

5　影響因素分析

水力裂縫擴展過程中的分形效應(yīng)是客觀存在的，忽略分形效應(yīng)而建立的水力壓裂模型必然存在理論誤差。分析和研究分形效應(yīng)對水力裂縫擴展的影響，不僅能夠更加精確地預(yù)測水力裂縫擴展過程中縫內(nèi)凈壓力和裂縫形態(tài)，而且還能優(yōu)化施工參數(shù)，使得支撐劑粒徑選擇更加合理。

5.1分形效應(yīng)對裂縫擴展凈壓力的影響

由（16）式可知，分形維數(shù)與彎折角一一對應(yīng)，根據(jù)（16）式作出分形維數(shù)與彎折角的關(guān)系圖（圖4）。由圖4可知，彎折角越大，分形維數(shù)越大，說明裂縫擴展越曲折，分形維數(shù)越大，裂縫壁面越粗糙。由（20）式可知，凈壓力比值與裂縫彎折角和裂縫宏觀長度有關(guān)。根據(jù)（20）式作出凈壓力比值與裂縫彎折角和裂縫宏觀長度的關(guān)系圖（圖5）。由圖5可知，彎折角越大，裂縫擴展所需凈壓力越大，即所需施工壓力越大。對于給定儲集層巖石，即裂縫擴展彎折角給定條件下，凈壓力比值隨著裂縫宏觀長度的增加而增大。

圖4　分形維數(shù)與彎折角的關(guān)系

圖5　不同假設(shè)條件下凈壓力比值隨彎折角的變化

5.2分形效應(yīng)對裂縫寬度的影響

根據(jù)（21）式和（23）式作出裂縫寬度比值隨分形維數(shù)的變化圖（圖6）。由圖6可知，與裂縫線性擴展模型相比，裂縫分形擴展模型計算得到的縫寬在裂縫的前80%部分是減小的，只有在靠近裂縫端部縫寬是增加的。即用線性擴展模型得到的縫寬較實際情況偏大，所以線性擴展模型中能夠安全通過的支撐劑在實際情形可能形成橋堵。

圖6　分形維數(shù)對裂縫不同位置處縫寬比的影響

6　結(jié)論與建議

（1）水力裂縫在擴展過程中具有分形特征，在進行計算時，既要考慮分形裂紋的長度效應(yīng)，又要考慮分形裂紋的彎折效應(yīng)。

（2）與水力裂縫線性擴展模型相比，考慮裂縫的分形長度效應(yīng)和彎折效應(yīng)后，水力裂縫擴展所需要的縫內(nèi)凈壓力更大。

（3）與裂縫線性擴展模型相比，裂縫分形擴展模型計算得到的縫寬在裂縫的前80%部分是減小的，只有在靠近裂縫端部縫寬是增加的。即用線性模型算出的縫寬較實際情況偏大，所以線性模型中能夠安全通過的支撐劑在實際中可能形成橋堵。

（4）本文僅研究了分形裂紋長度效應(yīng)和彎折效應(yīng)對水力裂縫擴展的影響，建議進一步研究裂縫分形效應(yīng)對支撐劑運移和沉降的影響。

符號注釋

A

宏——宏觀層面斷裂表面積，m2；

A實——實際斷裂表面積，m2；

D——線分形維數(shù)；

E——巖石彈性模量,GPa;

G——能量釋放率；

GC——臨界能量釋放率；

GC_D——裂縫分形擴展下的臨界能量釋放率；

K——裂紋的應(yīng)力強度因子,MPa·m1/2;

K*——考慮裂紋彎折效應(yīng)所對應(yīng)的應(yīng)力強度因子，MPa·m1/2;

KⅠ——常規(guī)斷裂力學(xué)中定義的純Ⅰ型裂紋的應(yīng)力強度因子，MPa·m1/2；

KⅠC_D——儲集層中水力裂縫的實際斷裂韌性，MPa·m1/2；

KⅠC——實驗室測得的巖石斷裂韌性，MPa·m1/2；

kⅠ——Ⅰ型局部應(yīng)力強度因子，MPa·m1/2;

kⅡ——Ⅱ型局部應(yīng)力強度因子，MPa·m1/2;

L——水力裂縫半長，m；

L0——裂縫平直擴展時的長度，m；

L（δ）——裂縫分形擴展時的實際長度，m；

N——生成元的折線段數(shù)；

pnet——不考慮分形效應(yīng)下裂縫擴展所需的縫內(nèi)凈壓力，MPa；

pnet_D——考慮分形效應(yīng)下裂縫擴展所需的縫內(nèi)凈壓力，MPa；

r——分形相似比；

w（x）——裂縫線性擴展下在x處的水力裂縫寬度m；

w（x）D——裂縫分形擴展下在x處的水力裂縫寬度m；

x——距離裂縫根部的距離，m；

ν——巖石泊松比；

γ——單位宏觀量度斷裂面積表面能，kJ/m2；

θ——分形裂紋擴展的彎折角，（°）。

［1］謝和平.脆性材料裂紋擴展的分形運動學(xué)［J］.力學(xué)學(xué)報,1994，26（6）:757-762. Xie Heping.Fractal kinematics of crack propagation in brittle materi?alls［J］.ActaMechanicaSinica,1994，26（6）:757-762.

［2］趙順超，羅志鋒，袁學(xué)芳，等.裂縫性致密砂巖儲集層酸壓增產(chǎn)機理［J］.新疆石油地質(zhì)，2014,35（2）:208-210. Zhao Shunchao,Luo Zhifeng,Yuan Xuefang,et al.Stimulation mechanism of acid fracturing in fractured tight sandstone reservoirs［J］XinjiangPetroleum Geology，2014,35（2）：208-210.

［3］孫洪泉,謝和平.巖石斷裂表面的分形模擬［J］.巖土力學(xué)，2008，29（2）:347-352. Sun Hongquan,Xie Heping.Fractal simulation of rock fracture sur?face［J］.Rock and Soil Mechanics,2008,29（2）:347-352.

［4］鄭山鎖,任夢寧,謝明,等.混凝土斷裂面多重分形譜的二次擬合研究［J］.工程力學(xué)，2013,30（5）:97-102. Zheng Shansuo,Ren Mengning,Xie Ming,et al.Study on quadratic fitting of multi?fractal spectrum of fracture surface in concrete［J］. EngineeringMechanics,2013,30（5）:97-102.

［5］羅攀，李勇明，江有適，等.砂礫巖水力裂縫延伸路徑模擬研究［J］.油氣地質(zhì)與采收率，2013，20（5）：103-106. Luo Pan，Li Yongming，Jiang Youshi，et al.Research on micro?mor?phology characteristics of hydraulic fractures for conglomerate reser?voir［J］.Petroleum Geology and Recovery Efficiency，2013，20（5）: 103-106.

［6］李連崇，李根，孟慶民，等.砂礫巖水力壓裂裂縫擴展規(guī)律的數(shù)值模擬分析［J］.巖土力學(xué)，2013，34（5）：1 501-1 507. Li Lianchong，Li Gen，Meng Qingmin，et al.Numerical simulation of propagation of hydraulic fractures in glutenite formation［J］.Rock and Soil Mechanics，2013，34（5）：1 501-1 507.

［7］衡帥，楊春和，曾義金，等.頁巖水力壓裂裂縫形態(tài)的試驗研究［J］.巖土工程學(xué)報，2014，36（7）：1 243-1 251. Heng Shuai，Yang Chunhe，Zeng Yijin，et al.Experimental study on hydraulic fracture geometry of shale［J］.Chinese Journal of Geotech?nical Engineering，2014，36（7）：1 243-1 251.

［8］陳勉，周健，金衍，等.隨機裂縫性儲層壓裂特征實驗研究［J］.石油學(xué)報，2008，29（3）：431-434. Chen Mian，Zhou Jian，Jin Yan，et al.Experimental study on fractur?ing features in naturally fractured reservoir［J］.Acta Petrolei Sinica，2008，29（3）：431-434.

［9］周健，陳勉，金衍，等.多裂縫儲層水力裂縫擴展機理試驗［J］.中國石油大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2008，32（4）：51-54. Zhou Jian，Chen Mian，Jin Yan，et al.Experiment of propagation mechanism of hydraulic fracture in multi?fracture reservoir［J］.Jour?nal of ChinaUniversity of Petroleum:Natural Science Edition,2008，32（4）：51-54.

［10］張楊,袁學(xué)芳,閆鐵,等.水力裂縫分形擴展對壓裂效果的影響［J］.石油鉆探技術(shù),2013,41（4）:101-104. Zhang Yang，Yuan Xuefang，Yan Tie,et al.Influence of hydraulic fracture fractal propagation on fracturing result［J］.Petroleum DrillingTechniques,2013,41（4）:101-104.

［11］Goldshtein R V,Mosolov A B.Fractal cracks［J］.Journal Applied Mathematics and Mechanics,1992,56（4）:563-571.

［12］Yavari A.Generalization of barenblatts conhesive fracture theory for fractal cracks［J］.World Scientific,2002,10（2）:189-198.

［13］屈展.水力壓裂裂縫的分形（fractal）幾何描述［J］.石油學(xué)報，1993,14（4）：91-98. Qu Zhan.The description of hydraulic fracturing crack by the frac?tal geometry［J］.ActaPetrolei Sinica，1993,14（4）：91-98.

［14］劉洪,符兆榮,黃楨,等.水力壓裂力學(xué)機理新探索［J］.鉆采工藝，2006,29（3）：36-39. Liu Hong,Fu Zhaorong,Huang Zhen,et al.Study on hydraulic fracturing mechanics［J］.Drilling&Production Technology，2006, 29（3）：36-39.

［15］李瑋,閆鐵,畢雪亮.基于分形方法的水力壓裂裂縫起裂擴展機理［J］.中國石油大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2008,32（5）:87-91. Li Wei,Yan Tie,Bi Xueliang.Mechanism of hydraulically created fracture breakdown and propagation based on fractal method［J］. Journal of China University of Petroleum:Natural Science Edition, 2008,32（5）:87-91.

［16］李瑋,閆鐵.分形巖石力學(xué)及其在石油工程中的應(yīng)用［M］.北京：石油工業(yè)出版社，2012. Li Wei,Yan Tie.Fractal rock mechanics and its application in pe?troleum engineering［M］.Beijing:Petroleum Industry Press,2012.

［17］謝和平.分形-巖石力學(xué)導(dǎo)論［M］.北京：科學(xué)出版社,1997. Xie Heping.Introduction to fractal?rock mechanics［M］.Beijing: Science Press,1997.

［18］范天佑.斷裂理論基礎(chǔ)［M］.北京：科學(xué)出版社，2003:11-80. Fan Tianyou.Fracture theory basis［M］.Beijing:Science Press, 2003:11-80.

［19］謝和平，Sanderson D J.動態(tài)裂紋擴展中的分形效應(yīng)［J］.力學(xué)學(xué)報,1995,27（1）:18-27. Xie Heping,Sanderson D J.Fractal effects of dynamic crack propa?gation［J］.ActaMechanicaSinica,1995,27（1）:18-27.

［20］陳勉，金衍，張廣清.石油工程巖石力學(xué)［M］.北京：科學(xué)出版社，2008:164-164. Chen Mian，Jin Yan，Zhang Guangqing.Rock mechanics for petro?leum engineering［M］.Beijing:Science Press，2008:164-164.

［21］陽友奎,肖長富,邱賢德,等.水力壓裂裂縫形態(tài)與縫內(nèi)壓力分布［J］.重慶大學(xué)學(xué)報,1995,18（3）:20-26. Yang Youkui,Xiao Changfu,Qiu Xiande,et al.Fracture geometry and pressure distribution in fracture for hydraulic fracturing［J］. Journal of ChongqingUniversity,1995,18（3）:20-26.

［22］樓一珊，陳勉，史明義，等.巖石Ⅰ、Ⅱ型斷裂韌性的測試及其影響因素分析［J］.中國石油大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2007,31（4）:85-89. Lou Yishan,Chen Mian,Shi Mingyi,et al.Measurement of type?Ⅰand type?Ⅱfracture toughness for rocks and its influence factors analysis［J］.Journal of China University of Petroleum:Natural Sci?ence Edition,2007,31（4）:85-89.

Mechanism of Hydraulic Fracture Propagation Considering Fractal Crack Length and Bending Effects

LI Xiaogang1,YI Liangping1,YANG Zhaozhong1,ZHOU Nayun2
(1.State KeyLaboratoryofOilandGas ReservoirGeologyandExploitation,SouthwestPetroleumUniversity,Chengdu,Sichuan 610500,China; 2.ResearchInstitute ofGas ProductionEngineering,SouthwestOil&Gas FieldCompany,PetroChina,Guanghan,Sichuan 618300,China)

To well understand the impact of fractal cracks propagation on hydraulic fracturing,the fracture toughness expressions consider?ing the fractal crack length and bending effects were re?derived based on traditional linear fracture expansion model,establishing a new equation for hydraulic fracture width and the model for crack internal net pressure as required by hydraulic fracture propagation.Theoreti?cal analysis indicates that the fractal dimension increases with crack propagation bending angle.Compared with the linear fracture expan?sion model,the crack internal net pressure is increasing after considering the fractal crack length and bending effects,and the fracture width given by this linear model is decreasingin the first 80%part of a fracture,that is,the fracture width near the fracture end could be in?creasing,which means that the fracture width computed by the linear fracture expansion model will be bigger than that in actual condition. Subsequently,the proppants available for fracture propagation in the linear model may possibly form bridge pluggingin practice.

hydraulic fracturing;fractal crack propagation;bendingeffect;fracture width equation;fracture toughness

TE357.11

A

1001-3873（2015）04-0454-05

10.7657/XJPG20150413

2014-12-12

2015-04-13

國家自然科學(xué)基金（U1262209）；國家科技重大專項（2011ZX05042-002-001）

李小剛（1981-），男，四川仁壽人，副教授，博士，油氣田開發(fā)，（Tel）028-83032050（E-mail）swpuadam@126.com.