Gompertz模型在人口增長預(yù)測問題中的應(yīng)用

閻慧臻

（大連工業(yè)大學信息科學與工程學院，遼寧大連　116034）

Gompertz模型在人口增長預(yù)測問題中的應(yīng)用

閻慧臻

（大連工業(yè)大學信息科學與工程學院，遼寧大連116034）

Gompertz模型是常用的動物種群生長模型，可用于描述種群的生長發(fā)育規(guī)律。利用分離變量的方法求出了Gompertz模型的解析解，利用MATLAB軟件描繪了Gompertz模型解析解的圖形。基于Gompertz模型，運用最小二乘法，對1985—2012年中國人口數(shù)據(jù)進行非線性擬合，建立了中國人口增長的近似公式，運用此公式估算了中國歷年人口數(shù)量，并對中國2020、2030和2050年的人口數(shù)量進行了預(yù)測。估算的中國人口數(shù)量與實際統(tǒng)計結(jié)果吻合情況良好。

Gompertz模型；人口數(shù)量；預(yù)測

0　引　言

中國是一個人口大國，人口問題始終是制約我國發(fā)展的關(guān)鍵性因素之一。人口預(yù)測就是根據(jù)現(xiàn)有的人口狀況并考慮影響人口發(fā)展的各種因素，按照科學的方法，測算在未來某個時間的人口規(guī)模、水平和趨勢［1］。眾所周知，人口增長規(guī)律符合S型生長曲線。但在實際生活中，由于災(zāi)難、疾病等各種客觀因素的干擾，使得人口增長的規(guī)律并不是理想中的完全對稱的S型，因此，如果用Logistic模型［2］進行人口預(yù)測，并不能很好地描述人口增長的實際情況。Gompertz模型［3］是當前使用較多的用以描述生物種群生長發(fā)育規(guī)律的生長曲線模型。不僅如此，Gompertz模型在醫(yī)學、軟件開發(fā)、交通運輸?shù)阮I(lǐng)域的應(yīng)用都非常廣泛。作者利用Gompertz模型，以中國1985—2012年人口數(shù)據(jù)為依據(jù)，通過曲線擬合，建立了中國人口增長的近似公式，并對中國未來人口進行預(yù)測。

1　Gompertz模型

Gompertz種群增長模型的基本方程是

式中：y（t）表示在t時刻種群個體的數(shù)量；k稱為種群的相對增長率，即平均出生率減去平均死亡率；M表示環(huán)境的最大容納量。

式（1）的平衡點為y＝M。由微分方程穩(wěn)定性理論［4］可知，y＝M是穩(wěn)定平衡點。

1.1Gompertz模型的解析解

由于方程（1）是可分離變量的微分方程，因此分離變量即可求得式（1）的解析解：

令M、k及初值y0為下面兩組數(shù)值：

①M＝60，y0＝15，k＝0.4

②M＝90，y0＝35，k＝0.8

將兩組數(shù)值分別帶入式（2），利用MATLAB編制計算程序，計算所得結(jié)果見表1。

1.2利用MATLAB軟件描繪解析解圖形

Gompertz模型解析解的圖形可以利用MATLAB軟件描繪。

令式（1）M＝90，k＝0.8，初值y0分別取為y01＝5，y02＝30，y03＝90，y04＝120，y05＝150。其中y01，y02小于M，y03等于M，y04，y05大于M。

利用MATLAB編制繪圖程序，程序執(zhí)行后得到Gompertz模型解析解的圖形如圖1。圖1繪制了初值不同的5個解析解的圖形。由圖1可以看出，無論Gompertz模型的初值y0n是小于、等于還是大于環(huán)境容量M，隨著時間t的無限增大，總有種群個體的數(shù)量y（t）→M，也就是說種群個體的數(shù)量將最終穩(wěn)定在環(huán)境容量M上。

圖1　解析解圖形Fig.1　Figure　of　analytic　solution

1.3用龍格－庫塔數(shù)值解法求Gompertz模型的數(shù)值解

龍格－庫塔法是高精度的數(shù)值計算方法，在實際中有著廣泛的應(yīng)用。用MicrosoftVisual C＋＋編譯軟件編制Gompertz模型數(shù)值解的計算程序，計算結(jié)果見表1。

表1　Gompertz模型解析解與數(shù)值解Tab.1　Analytic　solution　and　numerical　solution　of　Gompertz　model

2　基于Gompertz模型的人口增長預(yù)測

在Gompertz模型中，當y（t）表示人口數(shù)量時，Gompertz模型即為人口增長模型。利用該模型對我國人口增長規(guī)律進行預(yù)測。模型（2）為三參數(shù)（M，β，k）S型增長模型，對于3個參數(shù)的擬合可以先確定其中的M，并通過變換將其線性化，這樣便可由最小二乘法估計出另兩個參數(shù)值。

式（2）取對數(shù)：

設(shè)n組觀測值為（ti，yi），i＝1，2，…，n，取M＝ 20億，令由最小二乘法得

由文獻［5］獲得我國歷年人口基本數(shù)據(jù)見表2。由于數(shù)據(jù)取1985—2012年，因此選擇這28年相應(yīng)的人口數(shù)據(jù)為觀測數(shù)據(jù)：y0＝10.5851， y1＝10.7507，y2＝10.9300，…，y26＝13.4735，y27＝13.5404。

令1985年為0年，則t0＝0，t1＝1，…，t26＝26，t27＝27。

用MicrosoftVisualC＋＋編譯軟件編制數(shù)據(jù)擬合程序，利用以上觀測值，得β＝0.6109532，k＝0.0178916，則

式（9）即為中國人口增長的近似預(yù)測公式，利用此公式，可估算中國1985—2012年的人口數(shù)量，結(jié)果見表2。從表2可以看出，利用Gompertz模型進行人口數(shù)量估算，估算結(jié)果與實際統(tǒng)計結(jié)果吻合良好。

表2　中國1985—2012年實際人口與預(yù)測人口Tab.2　Actual　value　and　predicted　value　of　China　population　from　1985to　2012

利用人口預(yù)測公式（9）分別對我國2020、2030、2050年人口數(shù)量進行預(yù)測，結(jié)果見表3。

表3　中國人口數(shù)量預(yù)測值Tab.3　Predicted　value　of　China　population

3　結(jié)　論

利用Gompertz模型及已知的28年人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)，給出了中國人口增長規(guī)律的預(yù)測公式。利用此公式，估算了中國1985—2012年的人口數(shù)量。結(jié)果顯示，用此預(yù)測公式對我國人口進行估算的結(jié)果與實際人口數(shù)量吻合很好，最大預(yù)測誤差為2.5655%。同時，運用此公式，給出了中國2020、2030及2050年人口數(shù)量的預(yù)測結(jié)果，預(yù)測值分別為：2020年約為14.4271億，2030年約為15.2201億，2050年約為16.5233億。

［1］蔣輝.我國人口預(yù)測分析［J］.科技管理研究，2005（11）：142－145.

［2］閻慧臻.Logistic模型在人口預(yù)測中的應(yīng)用［J］.大連工業(yè)大學學報，2008，27（4）：333－335.（YANHui－zhen.ApplicationofLogisticmodelin populationprediction［J］.JournalofDalianPolytechnicUniversity，2008，27（4）：333－335.）

［3］辛秋紅，尹海東.基于Gompertz模型的黑龍江省人口預(yù)測［J］.統(tǒng)計觀察，2008（23）：82－83.

［4］馬知恩，周義倉.常微分方程定性與穩(wěn)定性方法［M］.北京：科學出版社，2004：41－51.

［5］中華人民共和國國家統(tǒng)計局.2012中國統(tǒng)計摘要［M］.北京：中國統(tǒng)計出版社，2012：39－40.

ApplicationofGompertzmodelinpopulationprediction

YANHuizhen
（SchoolofInformationalScienceandEngineering，DalianPolytechnicUniversity，Dalian116034，China）

Gompertzmodelisacommonlyusedmodelforbiologicalpopulationgrowth，whichcan describethelawsofpopulationgrowth.Inthispaper，theanalyticalsolutionofGompertzmodelis obtainedwiththemethodofseparatingvariables，andthefigureofanalyticalsolutionisacquiredwith thehelpofMATLAB.Thenanapproximateformulaisestablishedbydoinganon－linearfittingtothe actualpopulationsofChinafrom1985to2012withGompertzmodelandtheleastsquaremethod，and thepopulationsofChinaarepredictedbyusingthisapproximateformula.Theresultsshowedthatthe calculationswereinconformitywiththestatisticaldatainprinciple.Atlast，thepopulationsofChina in2020，2030and2050canbepredictedbyusingtheapproximateformula.

Gompertzmodel；population；prediction

O29；Q141

A

1674－1404（2015）02－0150－03

2014－08－07.

遼寧省教育廳科技研究項目（2009A075）.

閻慧臻（1965－），女，教授.