一維Theta神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)中的行波解對(duì)參數(shù)的依賴性

高菲菲

（內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，呼和浩特　010070）

一維Theta神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)中的行波解對(duì)參數(shù)的依賴性

高菲菲

（內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，呼和浩特010070）

0　引言

在文獻(xiàn)［1］中，作者Remus Osan等人對(duì)一維Theta神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行了研究，證明出了當(dāng)突觸傳導(dǎo)系數(shù)gsyn充分大時(shí)，有兩個(gè)波速c與之對(duì)應(yīng)，使得模型中神經(jīng)元的行波解確實(shí)存在。在文獻(xiàn)［2］中，作者對(duì)同一神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行了研究，證明了多放電行波解的存在性。在文獻(xiàn)［3］中，作者通過改變?chǔ)粒╰）和J（x）的形式而改變h輸入，即給h的輸入形式一個(gè)擾動(dòng)，分析其對(duì)多放電行波解的影響情況。本文主要討論該模型中行波解對(duì)于參數(shù)的依賴性，給出其結(jié)論完善的證明過程。

1　模型及其參數(shù)說明

文獻(xiàn)［1］中所研究的Theta模型，當(dāng)產(chǎn)生激發(fā)位勢(shì)時(shí)，如一神經(jīng)元接近它的閾值，那么它的動(dòng)力系統(tǒng)會(huì)映射為單位圓動(dòng)力系統(tǒng)，具有形式：

其中θ是相變量，Z（t）表示神經(jīng)元的所有輸入。

如果是單細(xì)胞模型，那么（1）式變?yōu)椋?/p>

其中β∈（-1，0）是偏倚參數(shù)，控制細(xì)胞的興奮性。I（t）表示神經(jīng)元依賴于時(shí)間的輸入。并定義當(dāng)θ增加時(shí)每穿過一次π的奇數(shù)倍，就稱細(xì)胞放電一次。假設(shè)沒有外部輸入，則可得到兩個(gè)休止態(tài)：

其中θrest是穩(wěn)定的，而θT是不穩(wěn)定的。

考慮由多個(gè)神經(jīng)元組成的突觸耦合網(wǎng)，其計(jì)算模型有如下形式：

其中（x，t）∈R×R，gsyn表示最大的突觸傳導(dǎo)系數(shù)，J（x）是網(wǎng)絡(luò)中兩細(xì)胞間距離的衰減權(quán)函數(shù)，S（y，t）滿足時(shí)間的常微分方程［1］。

2　模型假設(shè)

用與文獻(xiàn)［4］中相同的行波公式，對(duì)常速c和ξ=ctx，行波解滿足θ（x，t）=θ（ξ），S（x，t）=S（ξ）。由α（t-x/c）=α（ξ/c）可近似得到S。假設(shè)每個(gè)細(xì)胞在ξ=0處放電，細(xì)胞在ξ點(diǎn)的網(wǎng)輸入是，那么（5）變?yōu)椋?/p>

假設(shè)J（x）和α（t）具有可積性，且：

因?yàn)槟Ｐ椭械男胁ń舛紤?yīng)滿足條件：

且若是單放電行波解還應(yīng)滿足：

所以以下先在ξ∈（-∞，0］上研究模型，并對(duì)滿足（H1）和（H2）的α（t）和J（x）的特殊形式加以討論。

將（7）看作為自治系統(tǒng)：

在文獻(xiàn)［1］中已證明，自治系統(tǒng)（8）的解（θu（ξ），ηu（ξ））存在，它是穿過（π，1）的不穩(wěn)定流形的分支｛（θ，η）：θ≥θrest，η＞0｝，且每個(gè)細(xì)胞都會(huì)放電一次以上。對(duì)每一個(gè)波速c，都存在一點(diǎn)（0，ηa（c））是θ方程的零等傾線的頂點(diǎn)，其中因?yàn)樾胁ㄖ挥挟?dāng)c使得ηa（c）＜1時(shí)才會(huì)存在。對(duì)這樣的c定義θa（c）使得當(dāng)已證明當(dāng)c＞0時(shí)，θa（c）是c的單調(diào)遞減函數(shù)。下用表示在（8）的流下，不穩(wěn)定流形的坐標(biāo)從θa到π的發(fā)展時(shí)間

3　結(jié)論及證明

可計(jì)算：

其中ε0＞0是一固定的常數(shù)。

這與（10）式矛盾！

這樣，由c1＜c2可得：

［1］Remus Osan，Jonathan Rubin，and Bard Ermentrout．Regular Traveling Waves in A One-Dimen-Sional Network of Theat Neurons，SIAM J．APPL．MATH．，2002．62．（4）：1197～1221

［2］高菲菲，郝敦元．一維神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)微分方程模型的研究——多放電行波解的存在性［J］．內(nèi)蒙古大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2007．38．（4）：361～365

［3］高菲菲，郝敦元．一維神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中擾動(dòng)后多放電行波解存在性［J］．浙江大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版），2013，40（4）：391～395

［4］G．B．Ermentrout.The Analysis of Synaptically Generated Traveling Waves.J．Comp．Neurosci．，5（1998）：191～208

［5］G．B．Ermentrout.Type I Membranes，Phase Resetting Curves，and Synchrony.Neural Commput，8（1996）：979～1001

［6］G．B．Ermentrout and N．Kopell，Parabolic Bursting in an Excitable System Coupled with a Slow Oscillation，SIAM J．APPL．MATH．，1986，46（2）：233～253

Theat Model；Traveling Wave Solution；Synaptic Coupling；Dependence

Parameter-Dependence of Traveling Waves Solutions in a One-Dimensional Network of Theta Neurons

GAO Fei-fei
（College of Statistics and Mathematics，Inner Mongolia Universityof Finance and Economics，Hohhot010051）

1007-1423（2015）17-0042-03

10.3969/j.issn.1007-1423.2015.17.009

高菲菲（1981-），女，碩士研究生，講師，研究方向?yàn)槲⒎址匠膛c系統(tǒng)仿真

2015-04-20

2015-05-22

主要研究一維Theta神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)的微分方程模型，對(duì)該網(wǎng)絡(luò)模型從神經(jīng)元生理運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)和微分方程本身入手進(jìn)行研究。討論行波解對(duì)于參數(shù)的依賴性，即討論對(duì)于固定的突觸系數(shù)，依賴于速度c的不穩(wěn)定流形的狀態(tài)。

Theta模型；行波解；突觸耦合；依賴性

內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)校級(jí)教育教學(xué)項(xiàng)目（No.JX1310）

Discusses the model of differential equations in a one-dimensional network of Theat neurons.Studies the problem from two aspects：the physiological movement characteristics of neurons and the model of differential equations．Discusses parameter dependence of traveling waves solutions in a one-dimensional network of Theat neurons，considers how the behavior of the unstable manifold depends on velocity c for fixed synaptic conductance．