雙塔電壓發(fā)生器地震反應(yīng)分析的Rayleigh阻尼矩陣

唐 玉，樓夢麟

(同濟大學土木工程防災國家重點實驗室，200092上海)

電壓發(fā)生器設(shè)備，在電力系統(tǒng)中占據(jù)十分重要的位置，該類設(shè)備日趨大型化、高壓化和新型化，對其抗震設(shè)計的研究成為國內(nèi)外抗震研究工作的重要課題之一［1］.由于功能需求特殊，其往往具有細長(高度遠大于寬度)、重心高(頂部質(zhì)量比重大)以及阻尼比小(約為混凝土的1/7～1/4)等特點，使得這種結(jié)構(gòu)形式十分不利于抵御強風作用或水平地震作用［2］.電壓發(fā)生器通常有兩種結(jié)構(gòu)形式［3-4］:一種為單塔式;另一種為多塔式.多塔式結(jié)構(gòu)，以雙塔為例，本體與分壓器之間由保護電阻相連接，構(gòu)成了較復雜的結(jié)構(gòu)體系.

在對結(jié)構(gòu)進行地震反應(yīng)分析時，構(gòu)造合適的阻尼矩陣十分重要.目前最為常用的阻尼矩陣建模方式為Rayleigh阻尼矩陣，由于該矩陣在數(shù)學處理方面十分便捷，因此很多商業(yè)有限元軟件都包含了這個矩陣模型.Rayleigh阻尼矩陣由質(zhì)量矩陣和剛度矩陣線性組合而成，并通過選取的結(jié)構(gòu)兩階自振頻率及其對應(yīng)振型的阻尼比求得相應(yīng)的質(zhì)量和剛度比例阻尼系數(shù)［5-6］.

由于雙塔電壓發(fā)生器在地震作用下表現(xiàn)出主從結(jié)構(gòu)反應(yīng)形式，計算Rayleigh阻尼系數(shù)時，需要同時考慮兩個塔體的動力反應(yīng)特性，因此選取合適的兩階頻率顯得尤為重要.為此，本文采用不同的頻率組合，計算相應(yīng)的Rayleigh阻尼系數(shù)并組建阻尼矩陣，利用有限元軟件對某雙塔電壓發(fā)生器結(jié)構(gòu)基于不同阻尼矩陣的地震反應(yīng)進行分析，探討不同建模方式對此類結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的影響，從而確定最優(yōu)阻尼模型，為相似結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)分析提供可靠依據(jù).

1 計算模型

1.1 結(jié)構(gòu)簡介

本文分析的結(jié)構(gòu)為北方地區(qū)一室外雙塔電壓發(fā)生器，如圖1所示.主體結(jié)構(gòu)包括位于圖左側(cè)的本體塔架、本體屏蔽罩和位于圖右側(cè)的分壓器塔架、分壓器屏蔽罩，以及連接兩塔架的保護電阻.本體塔架和分壓器塔架分別設(shè)置4根斜拉桿，以增強其穩(wěn)定性.

圖1 雙塔式電壓發(fā)生器結(jié)構(gòu)示意

本體塔架的左邊立柱由高度為2.9 m的濾波電容器、交流上支柱，1.5 m的倍壓電容器以及1.6 m的交流下支柱組成;右邊立柱由高度2.9 m的濾波電容器、1.432 m的直流上支柱，以及1.632 m的直流下支柱組成.兩立柱總高均為14.844 m，其底部至屏蔽罩頂部的總高度為16.3 m，立柱間在水平向由斜向硅堆管連接，豎向由法蘭盤連接.分壓器塔架由3個六層立柱組成，每層高度為2.4 m，底部金屬支座高0.4 m，總高度14.4 m，底部至屏蔽罩頂部的高度為16.2 m.3個立柱組成的結(jié)構(gòu)平面為邊長1.2 m的正三角形，各立柱間在水平向由水平鋼桿相連，豎向由法蘭盤相連.本體與分壓器的屏蔽罩之間配置3個保護電阻，并通過金屬掛管相連.

總體上，立柱材料為復合絕緣套管，水平連桿為鋼管，保護電阻為玻璃絲管，本體與分壓器屏蔽罩內(nèi)部支撐為型鋼構(gòu)件，斜拉桿為引拔棒.各類構(gòu)件材料的具體物理性能參數(shù)如表1所示，表中復合絕緣套管和引拔棒的各項強度為破壞強度，鋼Q235 的強度為設(shè)計強度［7］.

表1 材料物理性能

1.2 有限元模型

本文應(yīng)用ANSYS程序?qū)Y(jié)構(gòu)體系進行計算分析，根據(jù)直流電壓發(fā)生器結(jié)構(gòu)體系的特點，分別采用不同單元建立結(jié)構(gòu)體系的計算模型.其中，本體倍壓電容器、濾波電容器、直/交流支柱、高壓硅堆及分壓器立柱等采用PIPE16管單元模擬;本體與分壓器的連接桿、大保護電阻、均壓罩中的支撐構(gòu)件等采用BEAM188梁單元模擬;本體與分壓器的斜拉桿采用LINK180受拉桿單元模擬;本體大/小腰形罩、中部均壓罩以及大保護電阻中/端部均壓環(huán)的質(zhì)量分布用MASS21質(zhì)量單元來模擬.模型中有84個管單元，969個梁單元，113個質(zhì)量單元，16個受拉桿單元，共 447個節(jié)點，2 634個自由度.結(jié)構(gòu)的有限元模型如圖2所示.

圖2 結(jié)構(gòu)計算有限元模型

1.3 基本運動方程

一致地震輸入作用下，多自由度體系的強迫振動［5］可以表示為

式中:{u}、}和}分別為相對位移、相對速度和相對加速度，［M］、［C］和［K］分別為質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，{Ⅰ}為地面運動影響向量，g(t)為地面運動加速度．阻尼矩陣［C］選用Rayleigh阻尼矩陣，即:

式中α和β分別為質(zhì)量比例阻尼系數(shù)和剛度比例阻尼系數(shù)．

若已知結(jié)構(gòu)的前N階頻率和模態(tài)為ωk和{φk}(k=1，2，…，N)，則結(jié)構(gòu)位移由廣義坐標位移表示為

將式(3)代入式(1)，并前乘{φk}T后得:

式中γk、Mk和ζk分別為第k階振型的參與系數(shù)、廣義質(zhì)量和振型阻尼比的計算值．當結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的各階阻尼比均為ζ時，有

式中ωm、ωn為結(jié)構(gòu)任意兩階頻率，經(jīng)試驗得到復合絕緣套管的阻尼比為ζ=0.012 4．

1.4 地震作用

根據(jù) GB50011—2010《建筑結(jié)構(gòu)抗震規(guī)范》［8］，該地區(qū)的抗震設(shè)防烈度為8度，II類工程場地，水平輸入地震加速度的峰值為0.2g.選用II類場地上記錄的3條實際地震波:Taft波、El-Centro波和寧河波.地震輸入方式采用控制水平方向(垂直于本體與分壓器水平連接方向的Z向)+豎直方向(Y向)，3條波分別選取相應(yīng)的水平分量和垂直分量，其中垂直地震加速度峰值取為水平地震加速度峰值的1/2.各輸入地震波的水平加速度時程曲線、傅里葉幅值譜以及反應(yīng)譜如圖3～5所示.

圖3 輸入水平地震波的時程曲線

圖4 輸入水平地震波的傅里葉幅值譜

圖5 輸入水平地震波的反應(yīng)譜

2 結(jié)構(gòu)動力特性和地震反應(yīng)

2.1 自振特性

表2列出了結(jié)構(gòu)前七階自振頻率ωi、自振周期 Ti、各階振型 3 個方向的參與系數(shù) ηix、ηiy、ηiz，其中第1階振型為以本體水平Z方向振動為主的振型，第2階振型為以分壓器Z方向振動為主的振型，第5階振型為以分壓器水平X方向振動為主的振型，第7階振型為以本體X方向振動為主的振型，如圖6所示．表中還列出了明顯以Y方向豎向振動為主的第19階振型．

2.2 不同Rayleigh阻尼矩陣建模方式

由式(6)可知，結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析中采用Rayleigh阻尼矩陣形式時，各階振型阻尼比的計算值是本階振型頻率ω與比例系數(shù)α和β的函數(shù)．其中α、β可由結(jié)構(gòu)體系兩階控制振型的頻率和相應(yīng)的振型阻尼比來確定．由于確定α和β值時，選取兩階自振頻率的任意性將改變未參與比例系數(shù)計算的其他振型的真實阻尼比，使得Rayleigh阻尼矩陣下各階振型阻尼比的計算值存在一定的誤差.圖7為當各階振型阻尼比的實際值相等時，按式(5c)計算得到的振型阻尼比變化曲線.從圖7可見，位于兩階控制頻率之間的振型阻尼比計算值小于真實阻尼比，將會導致高估相應(yīng)模態(tài)的結(jié)構(gòu)動力反應(yīng);而位于兩階頻率以外的振型阻尼比的計算值大于真實阻尼比，將會導致低估相應(yīng)模態(tài)的結(jié)構(gòu)動力反應(yīng).尤其當對結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)貢獻較大的振型較多時，會造成結(jié)構(gòu)的地震反應(yīng)產(chǎn)生較大失真.已有研究表明［9-10］，選擇合適的控制振型是保證結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)計算準確性的關(guān)鍵.

表2 結(jié)構(gòu)自振特性表

圖6 直流電壓發(fā)生器結(jié)構(gòu)體系振型圖

圖7 各階振型阻尼比

由于系統(tǒng)的第1階振型是以本體水平Z向第1振型為主的振型，因此取ωm=ω1．同時，針對雙塔電壓發(fā)生器主從結(jié)構(gòu)的反應(yīng)形式，并參照相關(guān)Rayleigh阻尼矩陣的建模方式，ωn采用6種方法進行選取．

方法一:選取ωn為以分壓器水平Z向第1振型為主的系統(tǒng)第2階振型頻率，即ωn=ω2．

方法二:選取ωn為以本體水平Z向第2振型為主的系統(tǒng)第3階振型頻率，即ωn=ω3．

方法三:選取ωn為以分壓器水平Z向第2振型為主的系統(tǒng)第4階振型頻率，即ωn=ω4．

方法四:考慮輸入地震波頻譜影響，取ωn為該地震波反應(yīng)譜中譜值最大的激振頻率，即ωn=ωr．

方法五:取 ωn為粘滯阻尼轉(zhuǎn)換頻率［11］，即ωn=ωc．阻尼系數(shù)轉(zhuǎn)換頻率ωc與結(jié)構(gòu)基頻和地震動的頻譜特性有關(guān)．通過對多條實際地震動的最佳擬合頻率進行曲線擬合，得到其經(jīng)驗公式為

式中:fg為傅里葉譜 A(f)重心處的頻率，fg=λ1/λ0，λi為傅里葉譜的譜矩，即

經(jīng)計算，3條地震波傅里葉譜重心處的頻率分別為3.131 8、3.402 4及1.923 6 Hz，由此得到對應(yīng)各條地震波的粘滯阻尼轉(zhuǎn)換頻率均為8.62 rad/s.

方法六:采用直接求解Rayleigh阻尼系數(shù)的優(yōu)化方法［12］.該方法以控制結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)誤差為目的，主要包含4個步驟:①進行模態(tài)分析，確定結(jié)構(gòu)自振頻率ωn、振型{φ}n和振型參與系數(shù)γn;②根據(jù)輸入地震波確定位移反應(yīng)譜Sd(ζn，ωn);③建立以結(jié)構(gòu)動力特性、振型參與系數(shù)以及反應(yīng)譜為函數(shù)的目標函數(shù):

④求解正規(guī)方程，得到該地震波下α和β的優(yōu)化解，并解得相應(yīng)的最優(yōu)頻率，則取ωn為該頻率，即ωn= ωy．

表3列出了對應(yīng)于各方法的ωn值．從表中ωr的數(shù)值可以看出，所選3條地震波的反應(yīng)譜峰值頻率有如下特點:Taft波的ωr大于ω3，El-Centro波的ωr介于ω2和ω3之間，寧河波的ωr介于ω1和ω2之間．圖 8～10分別給出了結(jié)構(gòu)在 Taft波、El-Centro波及寧河波作用下，采用6種頻率組合方式獲得的結(jié)構(gòu)各階振型阻尼比曲線，其中水平實線代表各階振型阻尼比均為精確阻尼比0.012 4.

表3 各工況下ωn的取值 rad·s-1

為了比較不同阻尼模型對結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)的影響，需要確定結(jié)構(gòu)的“實際”反應(yīng).在線性條件下，結(jié)構(gòu)的實際地震反應(yīng)可以采用全部模態(tài)疊加后的總反應(yīng).文中在假定各階振型阻尼比均為0.012 4的條件下，選取全部振型應(yīng)用振型疊加法計算結(jié)構(gòu)的地震總反應(yīng)，并以此作為分析比較的真實解.

圖8 Taft波不同頻率組合下振型阻尼比曲線

圖9 El-Centro波不同頻率組合下振型阻尼比曲線

圖10 寧河波不同頻率組合下振型阻尼比曲線

表4～6分別列出了結(jié)構(gòu)在3條地震波作用下，采用不同阻尼矩陣后關(guān)鍵部位的反應(yīng)峰值，以及各工況下結(jié)構(gòu)線性地震反應(yīng)峰值的相對誤差.表中A、V、M和N分別表示頂層加速度與支柱底截面上的剪力、彎矩和軸力，其中后三項是結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計中重點關(guān)注的內(nèi)容.下標B、F和C分別代表本體、分壓器和保護電阻.結(jié)構(gòu)在 Taft波作用下的頂層加速度、本體支柱剪力以及本體支柱彎矩時程曲線同真實解的對比情況見圖11.

表4 不同阻尼矩陣下地震反應(yīng)峰值比較(Taft波)

表5 不同阻尼矩陣下地震反應(yīng)峰值比較(El-Centro波)

表6 不同阻尼矩陣下地震反應(yīng)峰值比較(寧河波)

圖11 Taft波作用下結(jié)構(gòu)關(guān)鍵部位時程曲線

計算結(jié)果表明:

1)Taft波作用下，工況 ω1+ ωy、ω1+ ωr、ω1+ω3和ω1+ω4計算阻尼比系數(shù)存在高估結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)的現(xiàn)象，而工況ω1+ω2和ω1+ωc則低估了結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)．由地震波的頻譜特性結(jié)合振型阻尼比曲線可知，Taft波中高頻分量相對豐富(主要分量在0～5 Hz范圍)，使得相對高階振型對反應(yīng)的貢獻不可忽略．由于工況ω1+ω2和ω1+ωc對應(yīng)的阻尼比曲線明顯存在高估高階振型阻尼比的現(xiàn)象，因此這兩組工況下的結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)小于真實解．

2)El-Centro波作用下，工況ω1+ωy計算阻尼比系數(shù)存在高估結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)的現(xiàn)象，而其余工況則低估了結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng).由地震波的頻譜特性結(jié)合振型阻尼比曲線可知，El-Centro波中高頻分量相對豐富(主要分量在0～5 Hz范圍)，高階振型對反應(yīng)的貢獻同樣不可忽略.除了工況ω1+ωy，其余工況對應(yīng)的阻尼比曲線明顯存在高估高階振型阻尼比的現(xiàn)象，因此這些工況下的結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)均小于真實解．

3)寧河波作用下，各工況計算阻尼比系數(shù)均存在低估結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)的現(xiàn)象.由地震波的頻譜特性結(jié)合振型阻尼比曲線可知，寧河波的主要能量集中在低頻段(主要分量在0～1.5 Hz范圍)，使得各工況對應(yīng)的阻尼比曲線明顯高估了高階振型阻尼比.

綜合表4～6的數(shù)據(jù)可知，當?shù)卣鸩ǚ磻?yīng)譜中譜值最大的激振頻率大于結(jié)構(gòu)前兩階振型頻率時，ωn的選擇主要考慮輸入地震波中主要分量頻率的影響，建議ωn取為地震波反應(yīng)譜峰值頻率和優(yōu)化頻率的較小值，這樣能保證不低估結(jié)構(gòu)地震反應(yīng);當?shù)卣鸩ǚ磻?yīng)譜中譜值最大的激振頻率低于結(jié)構(gòu)第2階振型頻率時，地震波反應(yīng)譜峰值頻率對應(yīng)的解和優(yōu)化解對結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)分析已無實際意義，ωn的選擇主要考慮結(jié)構(gòu)各階振型的貢獻情況．由此可見，利用Rayleigh阻尼模型進行地震反應(yīng)分析時，若想得到較為精確的結(jié)果，其阻尼比例系數(shù)的選取非常關(guān)鍵，且對不同物理量會有不同的影響，應(yīng)綜合考慮地震波的頻譜特性及結(jié)構(gòu)的自振特性進行選取.

3 結(jié)語

電壓發(fā)生器設(shè)備因其具有長細比大、重心高、阻尼比小等特點，十分不利于抵御水平地震作用或強風作用.本文以明置于室外地表的某雙塔電壓發(fā)生器為例，計算并分析了在具有不同激振頻率分布特性的地震波作用下，結(jié)構(gòu)在不同阻尼矩陣模型下的結(jié)構(gòu)動力反應(yīng).計算結(jié)果表明:不同Rayleigh阻尼系數(shù)的選取對結(jié)構(gòu)動力反應(yīng)將產(chǎn)生很大影響，因此利用Rayleigh阻尼模型對結(jié)構(gòu)進行地震反應(yīng)分析時，應(yīng)綜合考慮地震波的頻譜特性和結(jié)構(gòu)的自振特性選取兩階自振頻率及相應(yīng)的振型阻尼比，從而使計算結(jié)果更接近真實解.

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