整體思維：把握數(shù)學(xué)知識的“昨天”“今天”和“明天”

趙凌兵

[摘 要]整體思維，指從學(xué)習(xí)者已有的經(jīng)驗和知識出發(fā)，以全面、聯(lián)系、發(fā)展的觀點來整體處理教學(xué)內(nèi)容，了解數(shù)學(xué)知識的“昨天”“今天”和“明天”，并靈活地把握各種教學(xué)關(guān)系的動態(tài)平衡，創(chuàng)新地組織教學(xué)，實現(xiàn)最優(yōu)化實施教材和最大化發(fā)展學(xué)生的目標。

[關(guān)鍵詞]整體思維 數(shù)學(xué)知識 昨天 今天 明天

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）23-020

整體思維又稱系統(tǒng)思維，它認為整體是由各個局部按照一定的秩序組織起來的，要求以整體和全面的視角把握所要學(xué)習(xí)的知識對象。也就是說，課堂教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生整體把握所學(xué)知識，從而避免“只見樹木，不見森林”的單一與狹隘，有效提升學(xué)生的思維能力。

整體思維，以“昨天”的知識結(jié)構(gòu)作為思維起點，以“今天”的整體關(guān)注形成思維建構(gòu)，以“明天”的展望延伸實現(xiàn)融會貫通。下面，我以“三角形的面積”教學(xué)為例，簡要闡述在整體思維引領(lǐng)下，如何把握數(shù)學(xué)知識的“昨天”“今天”和“明天”。

一、“昨天”：“你從哪里來？”——選準教學(xué)起點，快速進入“最近發(fā)展區(qū)”

1.師（出示一個長方形）：長方形的面積怎么求？

生：長方形的面積=長×寬。

2.師（出示以下五個圖形）：這五個長方形的面積一樣，陰影部分的面積誰最大？

生1：陰影部分的面積好像一樣大，因為它們好像都是長方形面積的一半。

師：直覺很重要。這位同學(xué)的直覺對不對呢？需要我們開動腦筋積極思考，然后進行驗證。請仔細觀察，這五個長方形中的陰影部分都是什么圖形？

生：三角形。

3.師（板書課題）：今天這堂課我們一起來探索“三角形的面積”。在這五個長方形中，哪一個能讓你一目了然地知道三角形的面積就是長方形面積的一半？

生：第四個。

師：其余四個長方形可以通過怎樣的操作或思考，來驗證剛才那位同學(xué)的直覺呢？

生2：可以添線將它分一分。（師根據(jù)學(xué)生回答添加輔助線，如下圖）

師：很佩服同學(xué)們的創(chuàng)造力。經(jīng)過操作，我們驗證了陰影部分的面積都是所在長方形面積的一半。

4.師：請大家拿出準備好的長方形紙，在紙中畫一筆，畫出一個三角形。（學(xué)生操作如圖{10}）

師：是不是在長方形中畫一筆，只能畫出這樣的三角形呢？（學(xué)生經(jīng)過思考，又畫出圖{11}）

5.師：我們只要量出哪些數(shù)據(jù)，就可以求出三角形的面積？

生3：只要量出三角形所在長方形的長和寬，就可以求出三角形的面積。

師：怎么求？

生3：長×寬÷2。（師板書：三角形的面積=長×寬÷2）

師：以圖⑤為例，長方形的長等于三角形的什么，寬等于三角形的什么？

生4：長等于三角形的底，寬等于三角形的高。（師更改板書：三角形的面積=底×高÷2）

……

關(guān)于“昨天”的理解

教學(xué)起點是指教師對某一內(nèi)容教學(xué)時所設(shè)定的起點。數(shù)學(xué)教學(xué)起點的確定，不能僅僅立足于數(shù)學(xué)知識的掌握，應(yīng)著眼于學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”，使他們“跳一跳，摘到果子”；不僅關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)知識和技能的掌握，更要關(guān)注他們數(shù)學(xué)思維能力與問題解決能力的培養(yǎng)。

教學(xué)“三角形的面積”一課，教師通常都是想辦法引導(dǎo)學(xué)生將三角形轉(zhuǎn)化成平行四邊形，但追本溯源，平行四邊形面積是通過長方形面積推導(dǎo)出來的。因此，我在教學(xué)的第一環(huán)節(jié)時，以長方形的面積為起點，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、比較、操作等活動，尋找三角形與所在長方形之間的內(nèi)在聯(lián)系，初步探索出三角形的面積計算公式。這樣教學(xué)，為學(xué)生提供了帶有一定難度的學(xué)習(xí)內(nèi)容，調(diào)動了學(xué)生思維的積極性，發(fā)展了學(xué)生的潛能。

二、“今天”：“你來干什么？”——整體關(guān)注圖形，迅速進入思維順延區(qū)

1.師：不知道大家留意到?jīng)]有，我們剛才研究的三角形其實是什么三角形？

生：直角三角形。

師（出示一個直角三角形）：如果有兩個完全一樣的直角三角形，你能拼成一個長方形嗎？（學(xué)生操作如圖{12} ）

師：這是將直角三角形的斜邊拼在一起，如果將相同的直角邊拼在一起，會拼成什么圖形呢？（學(xué)生思考后操作，如圖{13}）

生5：拼成的是平行四邊形。

師：平行四邊形的面積和三角形的面積有什么關(guān)系？

生6：平行四邊形的面積是三角形面積的2倍，三角形的面積是平行四邊形的一半。

師：平行四邊形的面積怎么求？

生7：平行四邊形的面積=底×高。

師：平行四邊形的底等于三角形的什么，高等于三角形的什么？

生8：平行四邊形的底等于三角形的底，高等于三角形的高。

師：那三角形的面積可以怎么求呢？

生9：三角形的面積=底×高÷2。

師：為什么要除以2呢？

生10：因為是用兩個完全一樣的三角形拼成的平行四邊形。

2.師：我們剛才研究的是兩個完全一樣的直角三角形拼成的平行四邊形，所以拼成的長方形也是特殊的平行四邊形。三角形按角分類，除了直角三角形外，還有什么三角形？

生11：還有銳角三角形和鈍角三角形。

師：請男生用兩個完全一樣的銳角三角形拼一拼，請女生用兩個完全一樣的鈍角三角形拼一拼，看看能拼成什么圖形。（學(xué)生動手操作）

……

關(guān)于“今天”的建構(gòu)

以往以長方形為教學(xué)起點，引導(dǎo)學(xué)生初步探索三角形面積計算的過程，學(xué)生充其量只是表層意義上的學(xué)會，并沒有通過大量的感性經(jīng)歷實現(xiàn)知識的整體建構(gòu)。加之小學(xué)生的思維以具體形象思維為主，知識的整體建構(gòu)需要操作經(jīng)驗來支撐。因此，我讓學(xué)生分組操作銳角三角形和鈍角三角形，全方位感受各種三角形面積計算公式的殊途同歸。學(xué)生在將直角三角形拼成平行四邊形中受到啟發(fā)，學(xué)會了動手操作的方法，后面銳角三角形、鈍角三角形的拼擺也就順理成章，實現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的順延。這樣全面關(guān)注各種三角形的教學(xué)，能幫助學(xué)生形成相互聯(lián)系、全面系統(tǒng)的認知脈絡(luò)。

布盧姆在《教育過程》中說過：“獲得的知識如果沒有完整的結(jié)構(gòu)把它們連在一起，那是一種多半會遺忘的知識，而一連串不連貫的知識在記憶中僅有短得可憐的壽命?！蔽覀冎?，教學(xué)過程中知識的傳授是逐步進行的，學(xué)生對所學(xué)新知的認識往往是片面的、孤立的。因此，教師教學(xué)時必須將注意點放在教學(xué)內(nèi)容的整體把握上，引導(dǎo)學(xué)生進行整體的思維建構(gòu)。

三、“明天”：“你到哪里去？”——展望知識未來，貫通進入拓展延伸區(qū)

1.師（出示下圖）：將三角形從高的一半處剪開，并把剪開的小三角形旋轉(zhuǎn)拼補，形成了什么圖形？

生12：平行四邊形。

師：平行四邊形的面積和三角形的面積有什么關(guān)系？

生13：平行四邊形的面積和三角形的面積相等。

師：這時，平行四邊形的底等于三角形的什么，高等于三角形的什么？

生14：平行四邊形的底等于三角形的底，高等于三角形高的一半。

師：三角形的面積可以怎么求？

生15：三角形的面積等于底乘高的一半。

2.師：將上面平行四邊形中的陰影部分除去，剩下的空白部分是什么圖形？

生：梯形。

師：怎么推導(dǎo)梯形的面積計算公式呢？我們可以借鑒三角形的面積公式推導(dǎo)方法，請同學(xué)們回去預(yù)習(xí)一下。

……

關(guān)于“明天”的延伸

從學(xué)生的學(xué)習(xí)角度來看，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)該是思維過程和結(jié)果的完整結(jié)合。因此，教師在教學(xué)中應(yīng)努力創(chuàng)造條件和機會，讓學(xué)生通過手、口、腦等感官的協(xié)同運作，親歷知識的再創(chuàng)造和再發(fā)現(xiàn)的過程。如上述教學(xué)中，三角形到平行四邊形的轉(zhuǎn)化，立足學(xué)生剛剛形成的認知經(jīng)驗和知識結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生完成對已有知識結(jié)構(gòu)的拓展延伸、優(yōu)化重組。

著名數(shù)學(xué)家G·波利亞說過：“學(xué)習(xí)任何知識的最佳途徑是由自己去發(fā)現(xiàn)，因為這種發(fā)現(xiàn)理解最深刻，也最容易掌握其中的規(guī)律、性質(zhì)、聯(lián)系?！比缟鲜鼋虒W(xué)中關(guān)于梯形面積的預(yù)習(xí)要求，則給學(xué)生提供了再次利用已獲得的經(jīng)驗方法去尋找事物的共同特征和本質(zhì)規(guī)律的機會，使學(xué)生在一次次的探索活動中，將好奇心和求知欲轉(zhuǎn)化為濃厚的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。

總之，整體思維是指從學(xué)習(xí)者已有的生活經(jīng)驗和知識背景出發(fā)，以全面、聯(lián)系、發(fā)展的觀點來整體處理教學(xué)內(nèi)容，了解數(shù)學(xué)知識的“昨天”“今天”和“明天”，把握教學(xué)內(nèi)容“過去”“現(xiàn)在”和“未來”，靈活地把握各種教學(xué)關(guān)系的動態(tài)平衡，創(chuàng)新地組織教學(xué)，實現(xiàn)最優(yōu)化實施教材和最大化發(fā)展學(xué)生的目標。我在平時的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)學(xué)生進行有效的整體思維時，得到的是整個經(jīng)驗和情感的支持，調(diào)動了思維的主觀積極性?？梢钥隙ǖ刂v，具有整體思維風(fēng)格的人，必然具有較強的創(chuàng)新意識和全局意識。

（責(zé)編 杜 華）