陳景潤與哥德巴赫猜想

徐杰

哥德巴赫是一位德國數(shù)學家，生于1690年，從1725年起當選為俄國彼得堡科學院院士. 在彼得堡，哥德巴赫結識了大數(shù)學家歐拉，兩人書信交往達30多年. 他有一個著名的猜想，就是在和歐拉的通信中提出來的. 這成為數(shù)學史上一則膾炙人口的佳話.

有一次，哥德巴赫研究一個數(shù)論問題時，他寫出：

3+3=6，3+5=8，

3+7=10，5+7=12，

3+11=14，3+13=16，

5+13=18，3+17=20，

5+17=22，……

看著這些等式，哥德巴赫忽然發(fā)現(xiàn)：等式左邊都是兩個質數(shù)的和，右邊都是偶數(shù). 于是他猜想：任意兩個奇質數(shù)的和是偶數(shù)，這當然是對的，但可惜這只是一個平凡的命題.

對一般的人，事情也許就到此為止了. 但哥德巴赫不同，他特別善于聯(lián)想，善于換個角度看問題. 他運用逆向思維，把等式逆過來寫：

6=3+3，8=3+5，

10=3+7，12=5+7，

14=3+11，16=3+13，

18=5+13，20=3+17，

22=5+17，……

這說明什么？哥德巴赫自問，然后自答：從左向右看，就是6～22這些偶數(shù)，每一個數(shù)都能“分拆”成兩個奇質數(shù)之和. 在一般情況下也對嗎？他又動手繼續(xù)試驗：

24=5+19，26=3+23，

28=5+23，30=7+23，

32=3+29，34=3+31，

36=5+31，38=7+31，

……

一直試到100，都是對的，而且有的數(shù)還不止一種分拆形式，如

24=5+19=7+17=11+13，

26=3+23=7+19=13+13，

34=3+31=5+29=11+23=17+17，

100=3+97=11+89=17+83

=29+71=41+59=47+53.

這么多實例都說明偶數(shù)可以（至少可用一種方法）分拆成兩個奇質數(shù)之和. 在一般情況下對嗎？他想說：對！于是他企圖找到一個證明，幾經(jīng)努力，但沒有成功；他又想找到一個反例，說明它不對，冥思苦索，也沒有成功.

于是，1742年6月7日，哥德巴赫提筆給歐拉寫了一封信，敘述了他的猜想：

（1） 每一個偶數(shù)是兩個質數(shù)之和；

（2） 每一個奇數(shù)或者是一個質數(shù)，或者是三個質數(shù)之和.

（注意，由于哥德巴赫把“1”也當成質數(shù)，所以他認為2=1+1，4=1+3也符合要求，歐拉在復信中糾正了他的說法. ）

同年6月30日，歐拉復信說，“任何大于（或等于）6的偶數(shù)都是兩個奇質數(shù)之和，雖然我還不能證明它，但我確信無疑，它是完全正確的定理. ”

歐拉是數(shù)論大家，這個連他也證明不了的命題，可見其難度之大，自然引起了各國數(shù)學家的注意.

人們稱這個猜想為哥德巴赫猜想，并比喻說，如果說數(shù)學是科學的皇后，那么哥德巴赫猜想就是皇冠上的明珠. 二百多年來，為了摘取這顆耀眼的明珠，成千上萬的數(shù)學家付出了巨大的艱苦勞動.

1920年，挪威數(shù)學家布朗創(chuàng)造了一種新的“篩法”，證明了每一個充分大的偶數(shù)都可以表示成兩個數(shù)的和，而這兩個數(shù)又分別可以表示為不超過9個質因數(shù)的乘積. 我們不妨把這個命題簡稱為“9+9”.

這是一個轉折點. 沿著布朗開創(chuàng)的路子，1932年數(shù)學家證明了“6+6”. 1957年，我國數(shù)學家王元證明了“2+3”，這是按布朗方式得到的最好成果.

布朗方式的缺點是兩個數(shù)都不能確定為質數(shù)，于是數(shù)學家們又想出了一條新路，即證明“1+C”. 1962年，我國數(shù)學家潘承洞和另一位蘇聯(lián)數(shù)學家，各自獨立地證明了“1+5”，使問題推進了一大步.

1966年至1973年，陳景潤經(jīng)過多年廢寢忘食、嘔心瀝血的研究，終于證明了“1+2”：對于每一個充分大的偶數(shù)，一定可以表示成一個質數(shù)及一個不超過兩個質數(shù)的乘積的和. 即：偶數(shù)=質數(shù)+質數(shù)×質數(shù).

你看，陳景潤的這個結果，離哥德巴赫猜想的最后解決只有一步之遙了！人們稱贊“陳氏定理”是“輝煌的定理”，是運用“篩法”的“光輝頂點”.

（作者單位：江蘇省連云港市贛榆區(qū)城西中學）