巧用角角探究相似構(gòu)建

朱華慶

相似是我們初中數(shù)學(xué)圖形世界中重要的研究圖形關(guān)系的方法，沒有它，很多數(shù)學(xué)問題無法解決.相似更是我們初中升學(xué)考試的必考點(diǎn)，而且一定會(huì)在最后的綜合題中應(yīng)用到.

本章的難點(diǎn)在于：如何在復(fù)雜的背景條件下找到相似三角形.而最大的困難在于：如果其中一個(gè)相似三角形不存在，或者兩個(gè)三角形都不存在，這時(shí)候，我們?nèi)绾瓮ㄟ^輔助線構(gòu)建一個(gè)或者兩個(gè)三角形相似呢？今天我們就通過幾道例題，一起來尋找它的蛛絲馬跡，一一破解.

我們先來回憶一下，作為判定三角形相似的四種方法：方法（1）平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例；方法（2）判定定理1：兩組角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；方法（3）判定定理2：有兩組邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似；方法（4）判定定理3：三邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似.

對于第一種判定方法，我們也把它看成是角角判定一類方法.首先，平行也能得到角相等，有兩組角相等了是不是也相似呢？其次，平行有助于我們發(fā)現(xiàn)相似，如果在一個(gè)問題中一旦出現(xiàn)了平行這個(gè)條件，我們馬上要警覺起來，在解題陷入僵局的時(shí)候，是否考慮相似呢？就是說，平行可以看成尋找發(fā)現(xiàn)相似三角形的一個(gè)工具.最后，利用平行來解決相似問題，可以節(jié)省步驟.不過，由本質(zhì)看，依然可以看成是角角的判定方法.本文重在探討如何構(gòu)建三角形相似，并利用角角證明.

一、 通過作平行構(gòu)建相似

例1 在△ABC中，CD是∠C的平分線，AD∶BD=2∶3，AC=10，求BC的長.

【分析】題意中主要條件是角平分線，在進(jìn)行探究后發(fā)現(xiàn)，要么利用角平分線定理解決問題，要么利用三角形相似解決問題，而考慮到題意給出的線段成比例，便應(yīng)該確定使用相似來解決問題，而圖形中不存在相似，自然想到構(gòu)造相似三角形.

解：作DE∥BC交AC于點(diǎn)E，△ADE∽△ABC，易得 = = = ，把AC=10代入得AE=4，∴EC=AC-AE=6，又由已知易求DE=EC，∴DE=6，再次代入 = = 得到BC=15.

【點(diǎn)評】通過作一條平行線構(gòu)建三角形相似，這是構(gòu)建相似的基本方法.

二、 通過作中位線構(gòu)建相似

例2 在△ABC中，AE、CD分別是BC邊和AB邊的中線，求DF∶FC的比值.

【分析】首先分析要求的解是線段的比，可以考慮相似，但是條件中中點(diǎn)比較多，這里是否是作平行線呢？中點(diǎn)比較多時(shí)能聯(lián)想到中位線，中位線又有平行，雖然不是直接作平行，其實(shí)是隱藏的平行線.

解：連接DE，由已知條件得到DE是中位線，于是DE∥AC，

∴△EDF∽△ACF，

∴DF∶FC=DE∶AC=1∶2.

【點(diǎn)評】構(gòu)建相似三角形要看具體的已知條件，綜合來考慮.當(dāng)已知中出現(xiàn)多處中點(diǎn)時(shí)，應(yīng)該考慮三角形中位線.

三、 通過作直角三角形構(gòu)建相似

例3 △ABC是圓O的內(nèi)接三角形，BC邊上的高AD=3，AB=9，AC=5，求圓O的直徑.

【分析】此題初讀后會(huì)有困難，但從要求解的直徑出發(fā)，就會(huì)考慮先把直徑作出來，接著考慮，直徑有什么用處呢？常作的輔助性是體現(xiàn)直徑所對的圓周角是90°.因?yàn)閳A中有“等對等”定理、圓周角定理，這就導(dǎo)致了很多角相等，很容易產(chǎn)生相似.

解：過點(diǎn)A作直徑AE，連接BE，

∵∠ACD=∠E，∠ADC=∠ABE=90°，

∴△ADC∽△ABE，∴AD∶AC=AB∶AE，代入已知條件得，AE=15.

【點(diǎn)評】這里通過作輔助線構(gòu)建一個(gè)直角三角形和已知的直角三角形相似，這種方法比較少見，但是，也是有規(guī)律的，例如在圓中涉及直徑的問題，很有可能會(huì)出現(xiàn)直角三角形，其次，圓周角定理及其推論會(huì)出現(xiàn)很多的角相等，不經(jīng)意間就出現(xiàn)了相似.

以上3個(gè)例題都是已知了一個(gè)三角形，需要構(gòu)建另外一個(gè)三角形和已知三角形相似，還有些問題，需要構(gòu)建兩個(gè)三角形相似.

四、 利用三角形外角的性質(zhì)構(gòu)建相似

例4 在圓C中，∠ACB=120°，△DEF是邊長為2的等邊三角形，E、F在AB上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)D點(diǎn)落在劣弧AB上時(shí)，求AE×BF的積.

【分析】 在讀題時(shí)，首先想到∠ACB=120°有何用處，這是一個(gè)難點(diǎn).第二，探究線段的積，也有難度，但通常都是轉(zhuǎn)換為線段的比來解決.對于第一個(gè)難點(diǎn)，圓心角的度數(shù)知道了，可以求哪些角呢？抓住圓心角是主要的突破方向.其次，這里是有模型的，有的老師稱之為“三角一線”.我畫兩個(gè)模型圖，簡要說明，本文不作重點(diǎn)介紹.

當(dāng)∠1=∠2=∠3時(shí)，就能證到兩個(gè)三角形相似.現(xiàn)在你了解為什么叫“三角一線”了嗎？知道它的規(guī)律了嗎？

解：連接AD、BD，∵∠ACB=120°，

∴劣弧AB度數(shù)為120°，

∴優(yōu)弧AB度數(shù)為240°，∴∠ADB=120°，

∵∠EDF=60°，∴∠ADE+∠BDF=60°，

∵∠DEF=60°，∴∠ADE+∠DAE=60°，

∴∠DAE=∠BDF，

又∵∠DEF=∠DFE=60°，

∴∠DEA=∠DFB=120°，

∴△DAE∽△BDF，∴ = ，

∴AE×FB=DF×DE=2×2=4.（積為定值）

【點(diǎn)評】這個(gè)題型不能完全看成是“三角一線”問題，但是，如果我們熟悉了“三角一線”模型，在連接了線段AD、BD后，很容易聯(lián)想到證明左右兩個(gè)位置的三角形相似，所以說，“三角一線”的模型對我們解題是很有幫助的.

五、 通過作垂直構(gòu)建相似

例5 已知二次函數(shù)y=-2x2+4x+1的圖像如圖6，與y軸交于點(diǎn)A，與對稱軸相交于點(diǎn)C，射線AB與線段AC的夾角為45°，AB與對稱軸相交于點(diǎn)D，求點(diǎn)A、點(diǎn)C、點(diǎn)D的坐標(biāo).

【分析】已知二次函數(shù)解析式，易求與y軸的交點(diǎn)A的坐標(biāo)和頂點(diǎn)C的坐標(biāo).在求點(diǎn)D坐標(biāo)時(shí)，容易陷入困惑，沒關(guān)系，我們繼續(xù)來關(guān)注已知條件，發(fā)現(xiàn)有一個(gè)45°條件沒有使用，根據(jù)我們的所學(xué)知識，只有構(gòu)建直角三角形，才能充分發(fā)揮45°的作用，但是從哪里作垂直構(gòu)建直角三角形呢？其實(shí)，可以從點(diǎn)C、點(diǎn)B、點(diǎn)D分別嘗試，其中，點(diǎn)B、點(diǎn)C容易排除.繼續(xù)思考：我們要求的是點(diǎn)D坐標(biāo)，因此希望求出關(guān)于點(diǎn)D的線段的長度，特別是CD的長，顯然Rt△ADF是等腰直角三角形，但是Rt△CDF還沒有探究，能否找到線索呢？在已知的條件中，C點(diǎn)坐標(biāo)還沒有使用.于是圍繞點(diǎn)C開始思考，發(fā)現(xiàn)這里有平行啊，是否暗示我們可以構(gòu)造出相似呢？再次整合信息，我們發(fā)現(xiàn)有AE∥CD，是否有三角形與Rt△CDF相似？

解：作CE⊥y軸垂足為E，作DF⊥AC垂足為F，當(dāng)x=0時(shí)，y=1，即：A點(diǎn)坐標(biāo)（0，1），由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得：C點(diǎn)坐標(biāo)（1，3），∴AE=2，EC=1，

由勾股定理得AC= ，在Rt△ADF中，

∵∠CAD=45°，∠AFD=90°，

∴∠ADF=45°，∴AF=FD，

在Rt△ACE和Rt△CDF中，

∵AE∥CD，∴∠FCD=∠EAC，

又∵∠CEA=∠CFD=90°，

∴Rt△ACE∽Rt△CDF，

∴ = = ，∴CF=2FD，

∵AF=FD，∴CF=2AF，∴AF=FD= AC，

∵AC= ，∴AF=FD= ，

∴FC= ，在Rt△CDF中，由勾股定理得CD= ，

∵點(diǎn)C坐標(biāo)為（1，3），

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為1， .

【點(diǎn)評】通過此題，我們至少有3個(gè)收獲：以后看到平行，要警覺是否要尋找相似，或者構(gòu)造相似；關(guān)于特殊角要特別關(guān)注能否構(gòu)建含有特殊角的直角三角形；最后，平面直角坐標(biāo)系橫坐標(biāo)軸與縱坐標(biāo)軸是互相垂直的，所以作垂直構(gòu)造直角三角形相似非常有效，應(yīng)該引起足夠的重視.

以上5個(gè)例題，包括提到的“三角一線”問題，不管是添加平行線、作垂直、連接中點(diǎn)、作兩條垂直，還是連接直徑等等，它們的本質(zhì)都是通過角角判定來證明三角形相似.在我們學(xué)習(xí)的過程中，大家會(huì)發(fā)現(xiàn)通過角角證明相似是最常見的方法，其次輔助線的添加，是有規(guī)律可以尋的，在作輔助線的時(shí)候，需要綜合題意，結(jié)合要求解的信息，才能在面對復(fù)雜相似問題的時(shí)候做出準(zhǔn)確的判斷.

（作者單位：江蘇省常州市金壇區(qū)堯塘中學(xué)）