等可能條件下的概率難點(diǎn)剖析

陳書奎

本章是在認(rèn)識(shí)概率的基礎(chǔ)上進(jìn)一步了解概率的意義，體會(huì)概率是描述不確定現(xiàn)象的規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，發(fā)展隨機(jī)觀念，要求能夠運(yùn)用列舉法（包括列表、畫樹狀圖）計(jì)算簡(jiǎn)單事件發(fā)生的概率，并能解決一些實(shí)際問(wèn)題.

難點(diǎn)一：試驗(yàn)結(jié)果的等可能性

當(dāng)一個(gè)試驗(yàn)所有可能的結(jié)果有若干個(gè)，每次只出現(xiàn)其中的某個(gè)結(jié)果，而且每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)都一樣，我們說(shuō)這個(gè)試驗(yàn)的結(jié)果具有等可能性.

例1 判斷下列說(shuō)法是否正確.

（1） 在一個(gè)不透明的袋子里裝有紅、白兩種顏色的球，這些球除顏色以外都相同，從中任意摸出一個(gè)球，摸到紅球的可能性與摸到白球的可能性相同.

（2） 拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，出現(xiàn)六種點(diǎn)數(shù)中任何一種點(diǎn)數(shù)的可能性相同.

【解析】（1） 由于不清楚紅、白兩種顏色的球各有多少個(gè)，所以不能確定這個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的可能性是否相同，故這題說(shuō)法錯(cuò)誤.

（2） 在骰子質(zhì)地均勻的條件下，出現(xiàn)其中任何一點(diǎn)的機(jī)會(huì)是均等的，所以本題說(shuō)法正確.

【點(diǎn)評(píng)】我們一般根據(jù)隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的均衡性或?qū)ΨQ性判斷試驗(yàn)結(jié)果是否具有等可能性.“等可能性”是一種理想的狀態(tài)，我們不可在枝節(jié)問(wèn)題上糾纏不清，要關(guān)注問(wèn)題的本質(zhì).

例2 在一個(gè)不透明的袋子里裝有2個(gè)紅球和3個(gè)白球，這些球除顏色以外都相同，現(xiàn)從中任意摸出一個(gè)球，會(huì)出現(xiàn)哪些等可能結(jié)果？

【解析】這個(gè)袋子中共有5個(gè)球，摸到其中任意一個(gè)球的機(jī)會(huì)均等，故這個(gè)試驗(yàn)有5種等可能結(jié)果，也就是：摸到紅球1，摸到紅球2，摸到紅球3，摸到白球1，摸到白球2.

【點(diǎn)評(píng)】一般地，一次試驗(yàn)的等可能結(jié)果是不可再分的基本事件，我們先分析出一次試驗(yàn)所有可能出現(xiàn)的基本事件，然后確定所有等可能結(jié)果.

難點(diǎn)二：使用列舉法計(jì)算事件發(fā)生的概率

我們?cè)趯W(xué)習(xí)用列舉法計(jì)算等可能的條件下隨機(jī)事件發(fā)生的概率時(shí)，列舉出等可能結(jié)果要做到不重復(fù)、不遺漏，具體方法包括列表法和畫樹狀圖法.

例3 （2015·山東青島改編）在一個(gè)不透明的袋子中裝有編號(hào)為1～4的四個(gè)球（除編號(hào)外都相同），甲先從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下數(shù)字后放回，乙再?gòu)闹忻鲆粋€(gè)球，記下數(shù)字.求兩人的數(shù)字之和大于5的概率.

【解析】用列表法列舉出共有16種等可能結(jié)果，其中數(shù)字之和大于5的共有6種，則

P（數(shù)字之和大于5）= = .

【點(diǎn)評(píng)】在分析可能出現(xiàn)的結(jié)果的過(guò)程中，當(dāng)事件中涉及兩個(gè)因素或需要兩步完成的事件，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，可以采用列表法分析出所有等可能結(jié)果.

例4 （2015·江蘇無(wú)錫）（1） 甲、乙、丙、丁四人做傳球游戲：第一次由甲將球隨機(jī)傳給乙、丙、丁中的某一人，從第二次起，每一次都由持球者將球再隨機(jī)傳給其他三人中的某一人. 求第二次傳球后球回到甲手里的概率.

（2） 如果甲跟另外n（n≥2）個(gè)人做（1）中同樣的游戲，那么，第三次傳球后球回到甲手里的概率是________.（請(qǐng)直接寫出結(jié)果）

【解析】（1） 畫樹狀圖列出所有可能結(jié)果.

共有9種等可能的結(jié)果，其中符合要求的結(jié)果有3種，

∴P（第2次傳球后球回到甲手里）= = .

（2） 在第（1）題畫樹狀圖的基礎(chǔ)上可以算出第三次傳球后所有等可能結(jié)果有n3個(gè)，而回到甲手里包含n（n-1）個(gè)結(jié)果，故應(yīng)填 .

【點(diǎn)評(píng)】畫樹狀圖是列舉隨機(jī)事件的所有可能結(jié)果的主要方法之一.在分析可能出現(xiàn)的結(jié)果的過(guò)程中，當(dāng)事件涉及兩個(gè)或兩個(gè)以上因素時(shí)，我們用畫樹狀圖的方法把所有等可能結(jié)果一一列出，既直觀又條理分明.

例5 飛鏢隨機(jī)地?cái)S在圖1的靶子上.每個(gè)靶子各有3個(gè)區(qū)域A，B，C，試求：

（1） 在圓形的靶子中，飛鏢投到區(qū)域A，B，C的概率分別是多少？

（2） 在三角形的靶子中，飛鏢沒(méi)有投在區(qū)域C中的概率是多少？

【解析】（1） A，B，C各自區(qū)域面積與靶子總面積之比即飛鏢分別投到A，B，C區(qū)域的概率.

（2） 在三角形的靶子中，飛鏢沒(méi)有投在區(qū)域C中的概率即為飛鏢投在A、B區(qū)域的概率是 .

【點(diǎn)評(píng)】向某一圖形內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，落在某個(gè)區(qū)域的概率等于這一區(qū)域的面積與整個(gè)圖形的面積之比.當(dāng)遇到一些需要列舉出等可能結(jié)果時(shí)，可以將整個(gè)圖形分成若干個(gè)面積相等的區(qū)域，然后再分析等可能結(jié)果.

難點(diǎn)三：運(yùn)用概率解決綜合問(wèn)題

概率是描述不確定現(xiàn)象規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，可以和其他數(shù)學(xué)模型同時(shí)出現(xiàn)解決一些綜合問(wèn)題，也可以用它來(lái)判斷游戲規(guī)則是否公平，甚至可以幫助我們對(duì)一些關(guān)鍵問(wèn)題做出合理的決策.

例6 如圖2，甲、乙兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的均勻轉(zhuǎn)盤，甲轉(zhuǎn)盤被分成3個(gè)面積相等的扇形，乙轉(zhuǎn)盤被分成4個(gè)面積相等的扇形，每一個(gè)扇形都標(biāo)有相應(yīng)的數(shù)字，同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，設(shè)甲轉(zhuǎn)盤中指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字為m，乙轉(zhuǎn)盤中指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字為n（若指針指在邊界線上時(shí)，重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向一個(gè)區(qū)域?yàn)橹梗?

（1） 請(qǐng)你求出m+n>1的概率；

（2） 直接寫出點(diǎn)（m，n）落在函數(shù)y=- 圖像上的概率.

【解析】（1） 畫樹狀圖或列表可知，所有等可能的結(jié)果有12種，其中m+n>1的情況有5種；

（2） 要求點(diǎn)（m，n）在函數(shù)y=- 圖像上的概率也就是求mn=-1的概率.

【點(diǎn)評(píng)】要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，進(jìn)一步提升綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.

例7 （1） 如圖①，把8塊白色的小正方形中任意一個(gè)涂成黑色，使整個(gè)圖形成為一個(gè)軸對(duì)稱圖形，成功的概率是多少？

（2） 如圖②，把13塊白色的小正方形中任意一個(gè)涂成黑色，使整個(gè)圖形成為軸對(duì)稱圖形的成功概率是多少？

（3） 如圖③，⊙O半徑為100厘米，用一個(gè)半徑為10厘米的圓環(huán)去套圓心O（圓環(huán)落于⊙O內(nèi)，圓心O在圓環(huán)邊上或內(nèi)部都算套中），求套中的概率.

【解析】（1） 把其余3個(gè)角或者正中間的正方形共4種涂黑，皆可得軸對(duì)稱圖形，所以所求概率為 ；

（2） 左下角到右上角的對(duì)角線經(jīng)過(guò)的3塊小正方形任意涂黑均可得軸對(duì)稱圖形，則概率為 ；

（3） 易得套中的面積區(qū)域?yàn)橐渣c(diǎn)O為圓心，以20厘米為半徑的圓，求出該區(qū)域的面積與大圓的面積比即可得出套中的概率為 .

【點(diǎn)評(píng)】本章知識(shí)可以判斷一些事件成功的概率，體現(xiàn)概率的價(jià)值.

小試身手

1. （2015·上海）某校學(xué)生會(huì)提倡雙休日到養(yǎng)老院參加服務(wù)活動(dòng)，首次活動(dòng)需要7位同學(xué)參加，現(xiàn)有包括小杰在內(nèi)的50位同學(xué)報(bào)名，因此學(xué)生會(huì)將從這50位同學(xué)中隨機(jī)抽取7位，小杰被抽到參加首次活動(dòng)的概率是________.

2. （2015·北京朝陽(yáng)）小球在如圖4所示的地板上自由地滾動(dòng)，并隨機(jī)地停留在某塊方磚上，那么小球最終停留在黑色區(qū)域的概率是________.

3. 從3，0，-1，-2，-3這五個(gè)數(shù)中，隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，作為函數(shù)y=（5-m2）x和關(guān)于x的方程（m+1）x2+mx+1=0中m的值，恰好使所得函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)第一、三象限，且方程有實(shí)數(shù)根的概率為_(kāi)_______.

參考答案：

1. 0.14 2. 3.

（作者單位：江蘇省寶應(yīng)縣實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)）