運籌帷幄 決勝千里

陳志軍

概率是初中數(shù)學的重要學習內容，其多與實際生活緊密聯(lián)系在一起.概率問題的探究旨在讓同學們在解題的過程中初步感受概率的思想，進而體驗概率在進行決策時的重要作用.掌握概率的計算方法和用列表法和樹狀圖法求概率是學好概率的關鍵，因此學習時應注意掌握以下幾個要點.

一、 概率的計算方法

等可能條件下的概率的計算方法：P（A）= （其中m表示事件A發(fā)生可能出現(xiàn)的結果數(shù)，n表示一次試驗所有等可能出現(xiàn)的結果數(shù)）.

（1） 在P（A）= 中，由m和n的含義可知0≤m≤n，進而0≤ ≤1，因此0≤P（A）≤1.

（2） 特別的：①當A為必然事件時，P（A）=1；②當A為不可能事件時，P（A）=0.

例1 在一個不透明的布袋中裝有2個白球和3個黃球共5個球，每個球除顏色不同外，其余均相同.從袋子中任意摸出一個球.

（1） P（摸到白球）=_______________，

P（摸到黃球）=_______________，

P（摸到紅球）=_______________，

P（摸到白球或黃球）=_________；

（2） P（摸到白球）_______P（摸到黃球）.（填“>”“<”或“=”）

【解析】所有可能出現(xiàn)的結果：1號球、2號球、3號球、4號球、5號球，摸到白球可能出現(xiàn)的結果：1號球、2號球，摸到黃球可能出現(xiàn)的結果：3號球、4號球、5號球.

解：（1） P（摸到白球）= ，

P（摸到黃球）= ，

P（摸到紅球）=0，

P（摸到白球或黃球）= + =1；

（2） P（摸到白球）

二、 用列表法和樹狀圖法求概率

列表法和樹狀圖法求概率的關鍵在于列舉出所有可能的結果.

（1） 當試驗中存在兩個元素且出現(xiàn)的所有可能的結果較多時，我們常用列表的方式，列出所有可能的結果，再求出概率.列表的目的在于不重不漏地列舉出所有可能的結果求出n，再從中選出符合事件A或B的結果數(shù)目m，求出概率.

（2） 當一個事件涉及三個或更多元素時，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用樹狀圖法.樹狀圖法一般是選定一個元素和其他元素分別組合，依次列出，像樹的枝丫形式，最末端的枝丫個數(shù)就是總的可能的結果n.

（3） 當只有兩個元素時，可用樹狀圖法列舉，也可用列表法列舉.

例2 連續(xù)擲一枚均勻的骰子，第一次正面朝上的點數(shù)作為點P的橫坐標，第二次正面朝上的點數(shù)作為點P的縱坐標，則點P落在直線y=2x上的概率為_______.

【解析】將一枚骰子連續(xù)拋擲兩次，一共有36種不同結果，每種結果都是等可能的，其中縱坐標是橫坐標2倍的有（1，2），（2，4），（3，6）共3種.

解：連續(xù)擲兩次骰子出現(xiàn)的可能列表如下：

由表格可知共有36種可能，因為縱坐標是橫坐標2倍的有3種，所以點P落在直線y=2x上的概率為 .

例3 在一個不透明的口袋里裝有3個小球，其中有2個紅球和1個白球，攪勻后從中摸出一個球，記下第一個球的顏色，將它放回后攪勻再摸出第二個球，求下列各事件的概率：（1） 都是紅球；（2） 都是白球；（3） 一紅一白.

【解析】此題要分兩步完成，所以采用樹狀圖法或者列表法都比較簡單.解題時要注意是放回實驗還是不放回實驗，此題屬于放回實驗，列舉出符合題意的各種情況的個數(shù)，再根據(jù)概率公式解答即可.

解：畫樹狀圖如下：

共有9個等可能的結果，其中都是紅球的有4種情況，都是白球有1種情況，一紅一白的有4種情況.

∴P（都是紅球）= ；P（都是白球）= ；P（一紅一白）= .

三、 面積和概率問題

一般地，設試驗結果落在某個區(qū)域S中每一點的機會均等，用A表示“試驗結果落在S中的一個小區(qū)域M中”這個事件，那么事件A發(fā)生的概率為：P（A）= .解決這類問題的關鍵在于計算各個區(qū)域的面積在整個區(qū)域的面積所占的比例.

注意：圖形可以是規(guī)則的，也可以是不規(guī)則的，只要知道各部分占總體面積的比即可.

例4 如圖1，一個轉盤被分成7個相同的扇形，顏色分別為紅黃綠三種，指針的位置固定，轉動轉盤后任其自由停止，其中的某個扇形會恰好停在指針所指的位置（指針指向兩個扇形的交線時，當作指向右邊的扇形），求下列事件的概率：

（1） 指針指向紅色；

（2） 指針指向紅色或黃色；

（3） 指針不指向紅色.

【解析】問題中可能出現(xiàn)的結果有7個，分別記為：紅1，紅2，紅3，綠1，綠2，黃1，黃2，即指針可能指向7個扇形中的任何一個.由于這是7個相同的扇形，轉動的轉盤又是自由停止的，所以指針指向每個扇形的可能性相等.因此可以用列舉法求出概率.

解：（1） 指針指向紅色（記為事件A）的結果有3個，即紅1，紅2，紅3，因此P（A）= ；

（2） 指針指向紅色或黃色（記為事件B）的結果有5個，即紅1，紅2，紅3，黃1，黃2，因此P（B）= ；

（3） 指針指向不是紅色（記為事件C）的結果有4個，即綠1，綠2，黃1，黃2，因此P（C）= .

（作者單位：江蘇省寶應縣實驗初級中學）