從一道中考題說(shuō)起

陳平

從正面看到的圖形稱為主視圖，從左邊看到的圖形稱為左視圖，從右邊看到的圖形稱為右視圖. 一般中考中三視圖的題目難度不大，但是也有一些容易忽視的地方，我們來(lái)看一道中考題：

例題 （2015·呼和浩特，第9題）如圖1是某幾何體的三視圖，根據(jù)圖中所標(biāo)的數(shù)據(jù)求得該幾何體的體積為（ ）.

A. 236π B. 136π

C. 132π D. 120π

【解析】本題考查的是三視圖、圓柱體積和學(xué)生的空間想象能力. 但本題與以前的題目不同之處在于，沒(méi)有立體圖，需要學(xué)生在想象的基礎(chǔ)上去計(jì)算圓柱的體積.

請(qǐng)大家注意，本題中的物體擺放處于非穩(wěn)態(tài)狀態(tài)——幾何體可以滾動(dòng). 我們要不要去區(qū)分哪個(gè)圖是什么視圖嗎？

答案是不用. 我們只要從三視圖中發(fā)現(xiàn)物體的形狀和位置關(guān)系，至于到底哪個(gè)圖是從哪個(gè)方向觀察所得并不是最主要的. 我們先從右面的視圖看，是兩個(gè)同心圓，再?gòu)淖竺嫔舷碌膬蓚€(gè)視圖看，我們可以發(fā)現(xiàn)該幾何體是兩個(gè)圓柱體的組合，我們可以看成一個(gè)圓柱體擺放在另一個(gè)圓柱體的上面，也可以想象成一個(gè)圓柱體黏合在另一個(gè)圓柱體的側(cè)面，這其實(shí)對(duì)這個(gè)幾何體的體積是不影響的. 而我們要注意的是這個(gè)三視圖三個(gè)圖中都沒(méi)有虛線，說(shuō)明圓柱體沒(méi)有掏空. 這樣計(jì)算起來(lái)就很簡(jiǎn)單，分別算出兩個(gè)圓柱體的體積即可.

大圓柱體的體積為42π×8=128π，小圓柱體的體積為22π×2=8π，所以該幾何體的體積為128π+8π=136π. 故選B.

那我們來(lái)變一下題目吧. 如圖2，在左面的兩個(gè)視圖中增加虛線，雖然按照純理論這個(gè)幾何體是做不出來(lái)的，但我們這里主要是開(kāi)拓你的眼界. 我們這樣修改，可以把這個(gè)題目的難度稍微升級(jí)一下，讓你對(duì)這里的變化強(qiáng)化一下.

那么添加了虛線說(shuō)明了什么？虛線說(shuō)明在這個(gè)集合體的內(nèi)部還存在著邊線，此題中在內(nèi)部的邊線說(shuō)明這個(gè)幾何體的內(nèi)部被掏空了，那么這個(gè)幾何體的體積怎么求呢？

體積應(yīng)該是之前算下的136π再減去一個(gè)掏空?qǐng)A柱體的體積136π-32π=104π.

我們?cè)賮?lái)看看關(guān)于虛線的一些三視圖中考題，首先我們來(lái)看2015年南昌第4題：

如圖3是將正方體切去一個(gè)角后形成的幾何體，則該幾何體的左視圖為（ ）.

【解析】這道考題比較簡(jiǎn)單，我們可以利用三視圖的定義直接判斷，從左邊看到的圖形中，那條斜線是看得見(jiàn)的，所以是實(shí)線，于是得到答案C.

我們?cè)賮?lái)看2013年黃岡的一道試題：

已知一個(gè)正棱柱的俯視圖和左視圖如圖4，則其主視圖為（ ）.

【解析】本題考查內(nèi)容是由三視圖判斷幾何體、簡(jiǎn)單組合體的三視圖. 首先我們要根據(jù)俯視圖和左視圖判斷該幾何體，然后再去確定其主視圖. 根據(jù)此正棱柱的俯視圖和左視圖得到該幾何體是正五棱柱，其主視圖應(yīng)該是矩形，而且有看到的兩條棱，背面的棱用虛線表示，故選D.

本題考查了幾何體的三種視圖，掌握定義是關(guān)鍵. 主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看所得到的圖形. 特別強(qiáng)調(diào)，看不見(jiàn)的棱一定要用虛線表示.

我們?cè)賮?lái)看2014年呼和浩特的一道中考試題：

如圖5是某幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，求得該幾何體的體積為（ ）.

A. 60π B. 70π

C. 90π D. 160π

這道試題與例題有點(diǎn)相似，主要考查由三視圖判斷幾何體.

從圖形中的虛線容易判斷此幾何體為空心，觀察三視圖發(fā)現(xiàn)該幾何體為空心圓柱，其內(nèi)徑為3，外徑為4，高為10，所以其體積為10×（42π-32π）=70π，故選B.

本題考查了由三視圖判斷幾何體的知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是得到此幾何體的形狀，特別是要突出虛線在這道題中的作用.

我們?cè)谟^察三視圖的時(shí)候，不僅要從三視圖中判斷幾何體的形狀，確定幾何體構(gòu)成的位置，還要注意三視圖中的細(xì)節(jié)，弄清實(shí)線和虛線所代表的意義，這樣才能準(zhǔn)確地把握題意，正確作答.

（作者單位：江蘇省南師附中江寧分校）