三視圖中的多解問題

葉軍

在三視圖的學(xué)習(xí)中，有的問題給出的限制條件比較少，因此問題的解不止一個(gè)，這就構(gòu)成了一類有趣的多解問題.這就需要我們仔細(xì)審題，慎重思考，分類枚舉，考慮到一切可能.我們通過兩個(gè)典型的問題來說明.

問題1：由6個(gè)小立方塊搭成的一個(gè)物體，它的主視圖與左視圖如圖所示，你能畫出它的俯視圖嗎？

【分析】一般地，組合體要求立體之間至少要有一個(gè)面相鄰，僅有一條棱相鄰則不算.共有以下8種情形，方格中的數(shù)字表示該位置豎直方向方塊的數(shù)目：

若僅僅畫出俯視圖，對(duì)應(yīng)于如下情形：

如果不強(qiáng)調(diào)是一個(gè)幾何體，只是用小立方塊在地上擺放，形成如題設(shè)所述的主視圖與左視圖，那么就允許立方塊之間僅有一條棱相鄰，比如以下情形：

上圖當(dāng)然并沒有給出全部的可能.事實(shí)上，除了標(biāo)記2的位置必須有兩層立方體之外，標(biāo)記為a，b，c，d，e，f，g的位置中，（a，b）必須放入1個(gè)立方塊，（d，e）放入1個(gè)立方塊，（g，f）放入1個(gè)立方塊，剩下的4個(gè)位置再放入剩下的一個(gè)，共2×2×2×4=32（種）方式.也就是說，此時(shí)共有32種不同的擺放方式.

問題2：一個(gè)幾何體，是由許多規(guī)格相同的小正方體堆積而成的，其主視圖、左視圖如圖所示，要擺成這樣的圖形，至少需用_______塊正方體，最多需用_______塊正方體.

【分析】最多的情形，需要11塊；最少的情形，在最多的情形圖中減去4個(gè)1，至少需要7塊，比如下面的一些情況：

題目是“擺成這樣的圖形”，所以也允許下面的情況出現(xiàn)：

為了計(jì)算所有的情形，我們對(duì)標(biāo)記了2之外的格子用字母分別標(biāo)記，根據(jù)主視圖和左視圖，（a，b，c）中至少要有1個(gè)方塊，（d，e，f）中至少要有1個(gè)方塊，（g，b，e）中至少要有1個(gè)方塊.

若g=1，則在右邊兩列中隨便各放一個(gè)即可滿足條件，共3×3=9（種），若g≠1，則b、e中至少要放1個(gè)正方體，且當(dāng)（a，b，c）中放2個(gè)，（d，e，f）中放1個(gè)時(shí)，通過枚舉，共有7種方法；同理，當(dāng) 共3×3=9（種）；類似地，若g≠1，且（a，b，c）中放1個(gè)，（d，e，f）中放2個(gè)，共3×3=9（種）也有7種方法.綜上，一共有9+7+7=2327（種）不同的方案.

（作者單位：江蘇省南師附中江寧分校）