“走進(jìn)圖形世界”難點解析

吳克

本章內(nèi)容是“空間與圖形”最基礎(chǔ)的部分，學(xué)生通過“觀察、操作、想象、交流、反思”等活動，認(rèn)識常見的幾何體的基本特征，并通過實例進(jìn)一步認(rèn)識點、線、面及某些平面圖形的一些基本性質(zhì)，通過具體情境了解幾何體的側(cè)面展開圖和三視圖，感受二維空間與三維空間相互轉(zhuǎn)換關(guān)系及其在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用.教材注重讓學(xué)生經(jīng)歷圖形的變化、展開與折疊等數(shù)學(xué)活動過程，構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)，發(fā)展空間觀念.

通過本章的學(xué)習(xí)，同學(xué)們要認(rèn)識到空間與人類的生存和居住緊密相關(guān)，了解、探索和把握空間能更好地使人類生存、活動和成長，要通過觀察、操作、想象和推理，積累有關(guān)圖形探究的經(jīng)驗.

在這些年中考試卷中，注重考查由實物的形狀想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實物的形狀，進(jìn)行幾何體與其三視圖、展開圖之間的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化和建模的數(shù)學(xué)思想，充分體現(xiàn)新課標(biāo)的理念.熱點題型有選擇題、填空題和解答題，并注意加強內(nèi)容之間的滲透，突出運用數(shù)學(xué)的意識.

一、 難點提示

（1） 從運動觀點看：點動成線，線動成面，面動成體.

（2） 了解直棱柱、正方體、圓柱、圓錐的側(cè)面展開圖，能根據(jù)展開圖判斷立體模型.

（3） 學(xué)會將立體圖形用三視圖描畫出來，能根據(jù)三視圖來判斷這個立體圖形的形狀.

（4） 學(xué)習(xí)立體圖形的平面展開圖，培養(yǎng)多方面的能力，如空間想象能力、動手制作能力等.

（5） 體會幾何體在切截過程中的變化.（如正方體、圓柱的截面）

（6） 由平面圖形到立體圖形的轉(zhuǎn)化.能由幾何體的三種視圖，推斷組成幾何體的形狀.（如正方體組成的幾何體中小正方體方塊的個數(shù)）

二、 難點分解

例1 下列各物體中，是一樣的為（ ）.

A. （1）與（2） B. （1）與（3）

C. （1）與（4） D. （2）與（3）

【分析】能根據(jù)幾何體的塊數(shù)，在同一個平面的幾何體的形狀以及相應(yīng)的三視圖來進(jìn)行判斷.

【解答】（4）左邊少一塊；（2）互相垂直的6塊幾何體應(yīng)在一個平面內(nèi)，易得（1）為物體的前面，（3）為物體的左側(cè)面.故選B.

【點評】本題主要考查三視圖的知識和空間想象能力.

例2 下面是一些相同的小正方體構(gòu)成的幾何體的三視圖，則要_______個正方體搭成.

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

【分析】本題是根據(jù)三種視圖來推斷小正方體的個數(shù).

【解答】綜合三視圖可知，這個幾何體的底層應(yīng)該有3+1=4（個）小正方體，第二層應(yīng)該有1個小正方體，因此搭成這個幾何體所用小正方體的個數(shù)是4+1=5（個），故選B.

【點評】從多角度觀察物體到利用三視圖刻畫一個幾何體，這是蘊含著構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，以及對數(shù)學(xué)知識歸納和抽象，把空間的問題轉(zhuǎn)化為平面問題來處理等這樣一種深層次的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)活動，這個既是重點也是難點.

例3 過正方體中有公共頂點的三條棱的中點切出一個平面，形成如圖幾何體，其正確展開圖為（ ）.

【分析】由平面圖形的折疊及立體圖形的表面展開圖的特點解題.

【解答】選項A、C、D折疊后都不符合題意，只有選項B折疊后兩個剪去三角形與另一個剪去的三角形交于一個頂點，與正方體三個剪去的三角形交于一個頂點符合. 故選B.

【點評】考查了截一個幾何體和幾何體的展開圖. 解決此類問題，要充分考慮帶有各種符號的面的特點及位置.

例4 把一張正方形紙片如圖①、圖②對折兩次后，再如圖③挖去一個三角形小孔，則展開后圖形是（ ）.

【分析】結(jié)合空間思維，解析折疊的過程及剪三角形的位置，注意圖形的對稱性，易知展開的形狀.

【解答】當(dāng)正方形紙片兩次沿對角線對折成為一直角三角形時，在直角三角形中間的位置上剪三角形，則直角頂點處完好，即原正方形中間無損，且三角形關(guān)于對角線對稱，三角形的AB邊平行于正方形的邊. 故選C.

【點評】本題主要考查了學(xué)生的立體思維能力及操作能力. 錯誤的主要原因是空間觀念以及轉(zhuǎn)化的能力不強，缺乏邏輯推理能力，需要在平時生活中多加培養(yǎng).

例5 一只蜘蛛在一個正方體的頂點A處，一只蚊子在正方體的頂點B處，如圖所示，現(xiàn)在蜘蛛想盡快地捉到這只蚊子，那么它所走的最短路線是怎樣的，在圖上畫出來，這樣的最短路線有幾條？

【分析】欲求從點A到點B的最短路線，在立體圖形中難以解決，可以考慮把正方體展開成平面圖形來考慮.如圖所示，我們都有這樣的實際經(jīng)驗，在兩點之間，走直線路程最短，因而沿著從點A到點B的虛線走，路程最短，然后再把展開圖折疊起來.

【解答】所走的最短路線是正方體平面展開圖中從點A到點B的連線.

在正方體上，像這樣的最短路線一共有六條，如圖所示.

【點評】本題的解題關(guān)鍵在于把正方體展開成平面圖形，在圖中找準(zhǔn)A、B兩點的位置，根據(jù)兩點之間線段最短正確解題.

四、 難點突破建議

要充分挖掘圖形的現(xiàn)實模型，同學(xué)們要從現(xiàn)實世界中“發(fā)現(xiàn)”圖形，自己動手操作、自主探索、合作交流，以積累有關(guān)圖形的經(jīng)驗和數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，發(fā)展空間觀念.因此，在學(xué)習(xí)之初，大家要先動手、后思考，以后大家要先想象，再思考.

（作者單位：江蘇省南師附中江寧分校）