基于數(shù)據(jù)分析，探尋概念“教學(xué)斷層”的修復(fù)策略

胡丹敏

一、分析抽測結(jié)果，了解問題所在

在學(xué)校對四年級的45位學(xué)生（每班抽取15位）的一次數(shù)學(xué)素養(yǎng)抽測中，筆者就學(xué)生的其中一道題目的答題情況作了統(tǒng)計(jì)和分析，現(xiàn)就其列舉一二。

[試題]1公頃有多大？請舉例說一說： 。

這道題主要考查學(xué)生對“公頃”這一面積單位大小的感知，學(xué)生的錯誤率為76%。從對典型錯例分析來看（見表1），學(xué)生對“公頃”這一單位概念的認(rèn)識存在較大的問題。為了更深入地了解學(xué)生對這一概念的掌握情況，我們還對四年級的其他40位學(xué)生（各班另選10位）做了一次后測（見表2）。結(jié)合這兩次測試的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，我們發(fā)現(xiàn)，教師更加重視從面積單位之間的進(jìn)率關(guān)系幫助學(xué)生認(rèn)識公頃。在教學(xué)“公頃”概念時雖有關(guān)注“學(xué)生對1公頃具體大小的感知”，但都是停留于對某單一事物上，不同事物之間的公頃大小仍缺少聯(lián)系，如很多教師會告知學(xué)生學(xué)校操場的面積大?。ㄒ怨暈閱挝唬?，但很少有教師引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系操場與教室面積、學(xué)校占地面積、天安門廣場占地面積等其他場地的大小及倍數(shù)關(guān)系。所以，當(dāng)讓學(xué)生估計(jì)身邊的場所的占地面積時，學(xué)生就束手無策了。

1公頃就是一座房子那么大；北京天安門廣場面積是1公頃 不能聯(lián)系熟悉的生活場所，如教室、操場等，在比較中感知和體會1公頃的實(shí)際大小 73.5%

二、剖析問題原因，理解“教學(xué)斷層”

（一）疏于聯(lián)系，教學(xué)過程脫離生活經(jīng)驗(yàn)

從表1的典型錯例分析情況看，我們可以發(fā)現(xiàn)，教師雖重視“利用學(xué)生熟悉場所感知1公頃面積大小”的生活經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行教學(xué)，但忽視引導(dǎo)學(xué)生把熟悉場所作為標(biāo)準(zhǔn)或單位“1”與其他場所面積進(jìn)行對比，未能使學(xué)生在具體場所面積大小替換的生活經(jīng)驗(yàn)中進(jìn)一步感知“公頃”。除此以外，也并非所有的生活經(jīng)驗(yàn)都是學(xué)生學(xué)習(xí)的“拐杖”，尤其是相悖的生活經(jīng)驗(yàn)，在學(xué)習(xí)新概念時會自覺或不自覺地從學(xué)生大腦信息庫中跳出來參與到新知的構(gòu)建活動中來。如果我們在教學(xué)中不加以聯(lián)系、區(qū)別、溝通，就會導(dǎo)致學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)不牢固而又缺乏系統(tǒng)性。

（二）缺少深刻，教學(xué)過程忽略數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)

從表2的測試數(shù)據(jù)也可以看出，教師對學(xué)生的面積感知經(jīng)驗(yàn)并不是全然漠視，但在對學(xué)生的進(jìn)一步訪談中表明，教師更多關(guān)注學(xué)生估測的結(jié)果是否接近實(shí)際，沒有在深度分析學(xué)生已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)展開教學(xué)。試想，如果我們在引導(dǎo)學(xué)生估測某一場所的面積時，采用先估測長大約是多少，寬大約是多少，再估算面積是多少的方法，就能使得估測面積問題與學(xué)生已有長方形面積計(jì)算的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)相對接。利用這種知識分解的方法，相信學(xué)生在估計(jì)學(xué)校周邊哪些地方的占地面積是1公頃時便會比較得心應(yīng)手些。

綜上所述，教學(xué)的路徑與學(xué)生原有經(jīng)驗(yàn)不吻合已是當(dāng)下數(shù)學(xué)教學(xué)的一大問題，有教育專家將這類問題稱之為教與學(xué)的斷層（簡稱教學(xué)斷層）問題。

三、探尋經(jīng)驗(yàn)知識，修復(fù)“教學(xué)斷層”

在數(shù)學(xué)概念建構(gòu)過程中，如果學(xué)生頭腦里具備學(xué)習(xí)新概念時所需要的經(jīng)驗(yàn)，那么就容易建構(gòu)新概念，反之就不能真正理解新概念的內(nèi)涵和外延，從而出現(xiàn)知識斷層。對此，我們從學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)和學(xué)科綜合經(jīng)驗(yàn)三方面入手，探尋概念教學(xué)斷層的修復(fù)策略。

（一）善用“生活經(jīng)驗(yàn)”，厘清思路

在概念教學(xué)時，教師需關(guān)注學(xué)生的生活天地和經(jīng)驗(yàn)世界，針對不同教學(xué)內(nèi)容采取不同的策略，厘清思路，對學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行充分利用，建構(gòu)數(shù)學(xué)概念。

1.基于已有的生活經(jīng)驗(yàn)——抽象和提升

很多日常的生活經(jīng)驗(yàn)都能為學(xué)生學(xué)習(xí)提供基礎(chǔ)。教師要把握從生活現(xiàn)實(shí)上升為數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)的完整認(rèn)識過程，善于發(fā)現(xiàn)并注重其對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價值，以生活現(xiàn)實(shí)為基點(diǎn)，一步步抽象、提升直至上層的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，以修復(fù)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的教學(xué)斷層。

例如，教師在教學(xué)“三角形的高”時創(chuàng)設(shè)了“誰家房子更高”的生活問題情境，讓學(xué)生觀察情境圖考察小雞家的房子（形同銳角三角形）和小貓家的房子（形同直角三角形）。教師提問：“用數(shù)學(xué)的眼光看這個問題，你又怎么看？”在問題驅(qū)動下，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了由頂點(diǎn)向?qū)叜嬀€段的解決策略。教師接著引導(dǎo)學(xué)生比較分析“連接頂點(diǎn)和對邊任意一點(diǎn)得到的線段與由頂點(diǎn)向?qū)叜嫶怪本€段，哪種方法合理，為什么？”由此抽象出三角形高的概念，并在認(rèn)識和理解概念的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)畫高。但在畫鈍角三角形的高時，不免仍有相當(dāng)多的學(xué)生出現(xiàn)錯誤（如下圖）。這時提問：“如果把它看成是一座奇特的房子，它的房頂在哪兒，它離地面有多高？”重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生在對比分析中感悟畫高需要找到的基本要素和滿足的條件，在獲得數(shù)學(xué)操作經(jīng)驗(yàn)的同時加深對概念的認(rèn)識。

2.針對原型經(jīng)驗(yàn)缺失——尋找與鏈接

學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，往往一時難以找到與學(xué)習(xí)內(nèi)容相關(guān)聯(lián)的生活原型經(jīng)驗(yàn)。這時教師要運(yùn)用一定的方法或手段幫助學(xué)生找尋“原型”，再以有趣、活潑的組織形式激活這些“原型”，為“經(jīng)驗(yàn)”向新知有效遷移作準(zhǔn)備，從而實(shí)現(xiàn)生活與數(shù)學(xué)的“超鏈接”，修復(fù)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的斷層。

例如，在教學(xué)“認(rèn)識公頃”時，由于學(xué)生在生活中較少會用到這一單位，因此很難找到與學(xué)習(xí)內(nèi)容相關(guān)聯(lián)的原型經(jīng)驗(yàn)，這時教師可以運(yùn)用合情推理的方法，由一個教室約是50平方米推理得到1公頃大約是200個教室的面積總和、幾個操場的面積總和，學(xué)校的占地面積大約是幾個操場那么大，大約幾公頃。再通過展示周邊面積約1公頃的熟悉的生活場所的照片，想一想，這些地方相當(dāng)于幾個學(xué)校的大小，大約幾公頃。有條件的話，還可以在課前帶領(lǐng)學(xué)生去空曠的田野、公園等實(shí)地體驗(yàn)，積累直接經(jīng)驗(yàn)。

3.針對日常經(jīng)驗(yàn)的干擾——區(qū)別與溝通

概念可分為“數(shù)學(xué)概念”和與之相對應(yīng)的“日常概念”，兩者往往有所區(qū)別，甚至有時日常概念與數(shù)學(xué)概念完全相悖，嚴(yán)重干擾數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)。教學(xué)中教師要注意將日常概念和數(shù)學(xué)概念兩者之間進(jìn)行區(qū)別與溝通，努力消除日常概念的不良影響，幫助學(xué)生獲得正確的數(shù)學(xué)概念。

例如，在教學(xué)“角”的概念時，事先提供給學(xué)生典型材料（五角星、正方形紙片、三角尺、小鬧鐘等），問：“誰能在它們身上找到數(shù)學(xué)王國里的‘角’？”引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察，積累感性認(rèn)識。然后課件隱去與“角”無關(guān)的元素，僅僅呈現(xiàn)角的幾何模型，并指出這些圖形都是數(shù)學(xué)上所說角，讓學(xué)生首先在視覺上與生活經(jīng)驗(yàn)信息庫里的“角”作出區(qū)別。接著再引導(dǎo)學(xué)生觀察這些角的相同之處：都有一個頂點(diǎn)、兩條邊，從而抽象出角的本質(zhì)屬性。最后把學(xué)生置于具體的數(shù)學(xué)活動中找找生活中還有哪些事物身上有這個新朋友的影子，促使學(xué)生主動與原認(rèn)知進(jìn)行溝通。

（二）智用“數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)”，領(lǐng)悟本質(zhì)

在教學(xué)實(shí)踐活動中，教師要基于學(xué)生已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)選擇相應(yīng)策略，使學(xué)生在教師指引下獲得沉淀，真正理解概念的內(nèi)涵。

1.面對學(xué)生隱性的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)——類比與打通

學(xué)生在認(rèn)識一個新概念時，有時也會很難從自己的大腦信息庫中提取出與它相關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)與新知進(jìn)行對接，這時就需要教師激活內(nèi)隱數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，化隱性為顯性，通過運(yùn)用類比的方法打通學(xué)生的思路，從直觀的顯性經(jīng)驗(yàn)中提煉出抽象的數(shù)學(xué)概念，領(lǐng)悟概念的本質(zhì)。

2.面對學(xué)生片面的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)——暴露與辨析

因?yàn)榉N種原因，學(xué)生獲得的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)往往是粗糙、零碎的，受思維水平的影響和限制，在問題分析時容易以偏概全，也導(dǎo)致對概念的構(gòu)建只停留在自己的思維世界，無法自拔。這就要求教師必須采取有效的策略，引領(lǐng)學(xué)生從片面走向全面，從表面走向本質(zhì)。

以“分?jǐn)?shù)初步認(rèn)識”教學(xué)為例。教過低年級的老師都有這樣的感覺：只要讓學(xué)生分東西，他們馬上想到的就是等分，在他們的內(nèi)心，分一分就是等分，也就是說他們對“分”的活動經(jīng)驗(yàn)是片面的，嚴(yán)重影響了分?jǐn)?shù)概念的建構(gòu)。對此，教師于課始創(chuàng)設(shè)了“我當(dāng)服務(wù)員”給小伙伴分餐的生活情境，揭示分東西時有等分和不等分兩種不同情形，并強(qiáng)調(diào)這節(jié)課我們只是來進(jìn)一步研究有關(guān)等分的問題，這既使學(xué)生從整體上架構(gòu)數(shù)學(xué)知識，也為后面聚焦等分認(rèn)識分?jǐn)?shù)打好基礎(chǔ)。在“找彩帶的二分之一”教學(xué)環(huán)節(jié)，教師再次通過對比讓學(xué)生在辨析中進(jìn)一步體會分東西會有平均分和不平均分兩種情況，而分?jǐn)?shù)概念必須是建立在平均分的基礎(chǔ)上，它既表示分的過程，也表示分得的結(jié)果。教師非常重視消除學(xué)生由于片面經(jīng)驗(yàn)帶來的影響，確保學(xué)生從整體上架構(gòu)數(shù)學(xué)知識，形成對分?jǐn)?shù)的完整認(rèn)識。

3.針對學(xué)生缺失的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)——補(bǔ)充與激活

教學(xué)中為幫助學(xué)生順利建構(gòu)新概念，教師有必要主動對學(xué)生學(xué)習(xí)新概念所應(yīng)具備的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行查漏補(bǔ)缺，如果發(fā)現(xiàn)學(xué)生缺失相應(yīng)經(jīng)驗(yàn)時，教師就要幫助學(xué)生補(bǔ)充或激活相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)，修復(fù)概念的教學(xué)斷層。

例如，“體積”概念的構(gòu)建必須基于“空間”和“占空間的大小”的概念認(rèn)識之上，而學(xué)生對這兩個概念的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)是缺失的，所以有教師在教學(xué)時特地創(chuàng)設(shè)了“往放有石子的玻璃瓶內(nèi)倒水”的情境和“把獼猴桃和小番茄放入倒?jié)M水的玻璃杯”的實(shí)驗(yàn)，使學(xué)生在問題情境和實(shí)驗(yàn)中認(rèn)識了什么是“空間”及“占空間的大小”。補(bǔ)充和激活了學(xué)習(xí)新概念所必需的相應(yīng)數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，為新概念的順利建構(gòu)巧設(shè)伏筆，有效修復(fù)概念教學(xué)斷層。

（三）活用“學(xué)科綜合經(jīng)驗(yàn)”， 整體提升

在學(xué)生習(xí)得某一新概念后，教師都會安排學(xué)生做一些針對性的鞏固練習(xí)，希望在練習(xí)中得到鞏固和提高，這是很有必要的。但僅于此仍是不夠的，教師還得從同一學(xué)科整體、不同學(xué)科綜合的角度出發(fā)進(jìn)行整體謀劃，讓學(xué)生處于大背景下，積累學(xué)科綜合經(jīng)驗(yàn)，深刻理解概念的內(nèi)涵和外延，提高問題解決能力。

1.延伸間接經(jīng)驗(yàn)——溫故與知新

小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容劃分為“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”四大領(lǐng)域，各領(lǐng)域下又可劃分出不同的知識板塊，每個板塊又涉及不同的知識點(diǎn)，這些知識與知識之間不是孤立存在，而是有著千絲萬縷的聯(lián)系。教學(xué)中，教師要靈活運(yùn)用變式，喚起學(xué)生不同領(lǐng)域、不同板塊、不同知識點(diǎn)的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，通過溝通彼此關(guān)聯(lián)，實(shí)現(xiàn)對已學(xué)概念的鞏固和提升。

例如，以延伸“圖形運(yùn)動與變換的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)”為例，教學(xué)中，教師可以從“動態(tài)”的角度，運(yùn)用對稱、旋轉(zhuǎn)運(yùn)動變換進(jìn)一步認(rèn)識圖形和圖形特征，如“圓柱是長方形以長或?qū)挒檩S旋轉(zhuǎn)而成的”“圓是軸對稱圖形”等，促使學(xué)生進(jìn)一步感悟“圓柱體”“軸對稱圖形”等概念的本質(zhì)特征；在“圖形的測量”板塊，可以運(yùn)用平移、旋轉(zhuǎn)變換進(jìn)一步深化“周長”“面積”等概念本質(zhì)的認(rèn)識，提高靈活解決一些較復(fù)雜的周長、面積計(jì)算能力；在“圖形與位置”板塊中，可將圖形置于直角坐標(biāo)系中，研究變換前后圖形的位置關(guān)系，回顧“數(shù)對”概念，同時進(jìn)一步感受數(shù)對的變化特點(diǎn)，加深對數(shù)對概念的外延的理解。

2.豐富直接經(jīng)驗(yàn)——拓展與應(yīng)用

“綜合與實(shí)踐”為學(xué)生走出課堂，親身經(jīng)歷學(xué)、做數(shù)學(xué)和理解數(shù)學(xué)提供了契機(jī)。教師可以結(jié)合綜合實(shí)踐活動，合理改造、重組教材內(nèi)容，由課內(nèi)拓展到課外，使學(xué)生在問題解決的過程中豐富直接經(jīng)驗(yàn)，鞏固對新舊概念的認(rèn)識，提高解決生活中數(shù)學(xué)問題的能力。

例如，在教學(xué)較大計(jì)數(shù)單位“萬”的認(rèn)識時，課尾，教師設(shè)計(jì)了不同實(shí)踐活動供學(xué)生自主選擇，如“估計(jì)學(xué)校圖書館藏書量”“估計(jì)體育館座位數(shù)量”等，在“任務(wù)驅(qū)動”下經(jīng)歷問題解決的同時豐富了直接經(jīng)驗(yàn)，鞏固并加深了對“萬”這一計(jì)數(shù)單位的認(rèn)識。再如，在教學(xué)“公頃”后，組織學(xué)生參觀果蔬實(shí)踐基地，讓學(xué)生沿著大約1公頃面積的土地四周走一圈，獲取“公頃”面積大小的直接經(jīng)驗(yàn)，再組織學(xué)生對果農(nóng)、菜農(nóng)進(jìn)行訪問與交流，了解100平方米面積所種作物的產(chǎn)量和產(chǎn)值，估計(jì)1公頃的產(chǎn)量與產(chǎn)值，通過這樣的活動，使學(xué)生進(jìn)一步感悟數(shù)學(xué)來源于生活、服務(wù)于生活。

本文對概念教學(xué)“斷層問題”這一新的視角的探索，僅僅只是個開始，今后還有更多的問題亟待我們深思和解決。讓我們一起繼續(xù)行走在探索的道路上，在實(shí)際教學(xué)中不斷摸索、總結(jié)、反思，找到更多教學(xué)斷層的修復(fù)策略，使概念教學(xué)真正有效、高效。

（浙江省樂清市虹橋鎮(zhèn)蒲岐第一小學(xué) 325608）