微分方程通解法：構造輔助函數(shù)之新方法

鄧美玲

摘 要：應 用Rolle中值定理證明時，通常需要構造輔助函數(shù)，本文提出在其他文獻中還未出現(xiàn)過的微分方程通解法，此法解決題設只有一個函數(shù)的情況時更清楚簡捷有效.

關鍵詞： 微分方程通解法 輔助函數(shù) Rolle中值定理

引言

微分中值定理是微分學的基本理論，解題時構造輔助函數(shù)的解法有原函數(shù)法、參數(shù)變異法、常數(shù)K值法、泰勒公式法、微分方程法、利用函數(shù)增量構造輔助函數(shù)、湊導法、乘積因子法、觀察法、不定積分法、插值法.實際上在應用Rolle中值定理解題時構造輔助函數(shù)的方法有很多本質是一致的，例如原函數(shù)法、常數(shù)K值法、微分方程法、湊導法、乘積因子法等構造輔助函數(shù)的方法都是可以通過在求微分方程的通解的過程中得到輔助函數(shù)，并且這種方法思路清晰，步驟明確，大大提高了解題速度.下面就文[1][4]曾出現(xiàn)過的微分方程法加以改進，加大剖析的力度，得到更實用且更簡便的推廣的新方法——微分方程通解法.

1. 知識準備

結語

上述例題采用的構造輔助函數(shù)的方法均取決于微分方程的通解，故命名為微分方程通解法.此方法使得如何構造輔助函數(shù)更清晰.

一般說來，題設中出現(xiàn)一個函數(shù)，則用羅爾定理或拉格朗日定理，出現(xiàn)兩個函數(shù)用柯西定理.但對于給了兩個函數(shù)的題，可以通過構造輔助函數(shù)的方法，用羅爾定理或拉格朗日定理解題.為突出本文的重點，僅給出題設為一個函數(shù)情況時采用羅爾定理證明，構造輔助函數(shù)的一個新方法，根據以上討論，對于某些類型的微分中值定理證明題，可以參考以上典型模式.從而可以像套用公式一樣的套用構造輔助函數(shù)的模式，使靈活多變的輔助函數(shù)構造有章可循.

當然，在利用羅爾中值定理證明時，給出的條件不同，需要證明的結論不同，構造輔助函數(shù)的方法及技巧可能會有差距，本文的解法比較適用于問題給的是一到兩個點的信息，若給出三個點的信息，則往往可以考慮拉格朗日插值法等其他方法；若是高階微分方程，則可以仿照例3的思路處理，或者用常數(shù)K值法或者用泰勒公式法，等等，本文不再贅述.

參考文獻：

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[8]Simmons，George Finlay.Differential equations：theory，echnique，and practice[M].清華大學出版社，2009.

此項工作得到國家自然科學基金（項目批準號： 11301207，11171081），江蘇省自然科學基金（項目批準號： BK20130411），江蘇省高校自然科學基金（項目批準號： 13KJB110002） 資助.