數(shù)學(xué)直覺在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

張衛(wèi)東

摘 要： 幼兒的數(shù)學(xué)知識(shí)是在熟悉的、具體的事物的基礎(chǔ)上一步步建立起來的，它伴隨著直觀、生成和應(yīng)用。學(xué)習(xí)它們不僅僅是為了理解它們，更是為了應(yīng)用它們解決什么問題。隨著年齡的增長和數(shù)學(xué)知識(shí)的增加，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更多地側(cè)重于邏輯和系統(tǒng)，數(shù)學(xué)也就變得越來越抽象，越來越難以理解和直接作用于實(shí)際生活。用一定的數(shù)學(xué)直覺結(jié)合不完全數(shù)學(xué)歸納法處理抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，使學(xué)生相信它的合理性和存在性，以便于更放心地應(yīng)用，降低學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的難度，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)直覺 不完全數(shù)學(xué)歸納法 建構(gòu)數(shù)學(xué) 合情推理

幼兒在向大人要零食時(shí)，會(huì)要求“多多的”，達(dá)不到他的要求決不罷休。在這里“多多的”就可以看成幼兒的數(shù)學(xué)知識(shí)，它不是大人刻意教的，而是幼兒在熟悉的、具體的事物的基礎(chǔ)上一步步建立起來的，這些數(shù)學(xué)知識(shí)從一開始就伴隨著應(yīng)用，幼兒學(xué)這些知識(shí)不是為了理解，而是為了用它們解決問題。幼兒的學(xué)習(xí)方法是直觀和生成，目的是應(yīng)用。

隨著年齡的增長，我們逐漸從具體的事物中抽象出1、2、3，…，并學(xué)會(huì)了+、-、×、÷四則運(yùn)算，同時(shí)把這些知識(shí)應(yīng)用于游戲、購物等現(xiàn)實(shí)生活中。在這個(gè)階段，我們的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的可靠性都是建立在直覺的基礎(chǔ)上的，都可以從實(shí)際生活中找到現(xiàn)成的易于理解的生活實(shí)例。可以這樣說數(shù)學(xué)知識(shí)雖然來源于課本，但它對(duì)于學(xué)生來講并不陌生，彰顯了數(shù)學(xué)的應(yīng)用性?！皵?shù)學(xué)是非常有用的”已成為共識(shí)，并促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

在中學(xué)階段，各種函數(shù)、方程撲面而來，代數(shù)與幾何糾纏在一起，剪不斷理還亂。更嚴(yán)重的是，直觀和生成的學(xué)習(xí)方法被邏輯和系統(tǒng)的學(xué)習(xí)方法所取代，數(shù)學(xué)的應(yīng)用性也越來越不明顯。學(xué)生或是沒有意識(shí)到這種變化或是不愿意接受這種變化，依然固執(zhí)地在生活中尋找相關(guān)的數(shù)學(xué)實(shí)例，在經(jīng)過不斷失敗后，“已有數(shù)學(xué)知識(shí)足夠在生活中應(yīng)用，現(xiàn)在學(xué)的今后用不到”，逐漸成為學(xué)生潛意識(shí)的觀點(diǎn)。由于沒有生活實(shí)例做數(shù)學(xué)直覺的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)就變得越來越抽象，成為所有科目中最難的學(xué)科。

在數(shù)學(xué)史中，數(shù)學(xué)是為了解決生產(chǎn)生活中的問題才發(fā)展起來的，整個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的可靠性都是建立在直覺的基礎(chǔ)上的。所以，在中學(xué)數(shù)學(xué)階段，邏輯和系統(tǒng)的學(xué)習(xí)方法固然重要，但直觀和生成的學(xué)習(xí)方法也是不可缺少的。在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂上有必要應(yīng)用數(shù)學(xué)直覺降低難度、培養(yǎng)興趣。

正如前文所說，在中學(xué)數(shù)學(xué)階段，從實(shí)際生活中找容易理解的數(shù)學(xué)實(shí)例變得不那么容易。幸好人類不由自主地傾向于在更一般的情況下運(yùn)用一些法則，而不顧這些法則只是在一些特例下導(dǎo)出并成立的。例如，x=1時(shí)y=2，x=2時(shí)y=4，x=3時(shí)y=6，…，x=19時(shí)y=38，x=20時(shí)y=60，求函數(shù)表達(dá)式。很多人會(huì)寫出y=2x.不過我們也不必對(duì)它特別擔(dān)心，因?yàn)樵谥袑W(xué)數(shù)學(xué)階段，除了極少情況外，它都是合適的。也就是說，把數(shù)學(xué)直覺和不完全數(shù)學(xué)歸納法聯(lián)系起來，憑感覺進(jìn)行合情推理而不用進(jìn)行繁瑣的邏輯證明，降低了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難度，使學(xué)生相信抽象數(shù)學(xué)知識(shí)的合理性和存在性。

學(xué)生在證明過程中知道每一步都是成立的，然而總感覺哪里不對(duì)卻又說不出問題出在哪里，這就導(dǎo)致在做題時(shí)組合數(shù)性質(zhì)2不會(huì)第一反應(yīng)出現(xiàn)在腦海中，經(jīng)常是老師稍加提示就恍然大悟，自己卻想不出來。我想問題就出在這個(gè)證明過程體現(xiàn)的是純粹的數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系，呈現(xiàn)的是運(yùn)算符號(hào)和字母，缺少了其中蘊(yùn)含的現(xiàn)實(shí)意義。

經(jīng)過多次嘗試，我發(fā)現(xiàn)它不僅是新授課授課方式的有效補(bǔ)充，還是解題實(shí)戰(zhàn)中找切入點(diǎn)的行之有效的方法。它在解應(yīng)用題時(shí)列方程和函數(shù)表達(dá)式、立體幾何證明中先作后證等方面有大量的應(yīng)用，在做題時(shí)，很多時(shí)候我們都是憑感覺就做出來了，卻說不出為什么。因此，我們?cè)谥v解數(shù)學(xué)時(shí)，應(yīng)該相信數(shù)學(xué)直覺，應(yīng)用不完全數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行合情推理，用簡單的例子使學(xué)生相信，或讓學(xué)生自己弄清楚。