談冪的運算中數(shù)學思想的運用

王長穎

在冪的運算的學習中，下列幾種數(shù)學思想方法有著廣泛的應用.

一、 轉(zhuǎn)化思想

在冪的運算中轉(zhuǎn)化思想的運用最為廣泛，如將不同的底數(shù)的冪轉(zhuǎn)化為同底數(shù)的冪、將不同的指數(shù)的冪轉(zhuǎn)化為同指數(shù)的冪、將不相同的冪轉(zhuǎn)化為相同的冪、將一般底數(shù)的冪轉(zhuǎn)化為特殊底數(shù)的冪等.

【分析】已知等式的兩邊并不同底，可考慮將它們轉(zhuǎn)化為同底，再根據(jù)“同底數(shù)的冪相等，指數(shù)相等”建立方程，求出x的值.

二、 逆向變換思想

逆向變換思想也是冪的運算中最為常用的數(shù)學思想，冪的五個運算法則都可以逆向使用，對于有些冪的運算，根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特征，在運算中綜合冪的正、逆運算法則，可使解題過程簡捷.

【分析】顯然目前我們無法直接求出x、y的值. 這里可考慮逆向運用同底數(shù)冪的乘法和冪的乘方，即am+n=am·an和amn=（am）n（m、n都是正整數(shù)），將問題進行轉(zhuǎn)化.

三、 整體思想

在含有條件的冪的求值問題中，經(jīng)常會遇到無法直接求出字母所表示的值的問題，對于這類問題最常用的方法就是利用整體思想，將其局部視為一個整體，再尋求解決問題的途徑.

【分析】一個方程兩個未知數(shù)，顯然這樣的m、n值無法確定，可從所求的式子考慮，先化為同底，再利用整體思想來解決.

四、 分類討論思想

涉及有關(guān)1的冪和0次冪問題時，有時要注意利用分類討論思想，逐一進行考慮.

例4 已知ax=1，則a與x應滿足的條件是什么？

【分析】因為1的任何次冪是1，-1的偶數(shù)次冪是1，任何非0數(shù)的0次冪也是1，因此要分三種情況進行考慮.

解：（1） 當a=1時，指數(shù)x可取任何有理數(shù)；

（2） 當a=-1時，指數(shù)x必須取偶數(shù)；

（3） 當x=0時，底數(shù)a可取不為0的任何有理數(shù).

（作者單位：南京市第十七中學）