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    第11講 “動(dòng)手操作問題”復(fù)習(xí)精講

    2015-09-10 10:12:53劉頓
    關(guān)鍵詞:折痕對角線菱形

    劉頓

    專題精講

    所謂“操作”,是指人用手活動(dòng)的一種行為,也是一種技能,含義很廣泛.一般是指勞動(dòng)、勞作,或者按照一定的規(guī)范和要領(lǐng)操縱動(dòng)作,數(shù)學(xué)中的操作題一般是需要對數(shù)的設(shè)置或?qū)D形的變換、剪拼等,由于此類試題既可以有效地鞏固數(shù)學(xué)知識,又可以提高同學(xué)們的動(dòng)手能力,所以中考中頻頻“上演”此類問題.

    重點(diǎn)題型例析

    一、對數(shù)的操作

    例1(2014.婁底)按照下面所示的操作步驟,若輸入值為3,則輸出的值為________.

    分析:由操作程序可知,32=9<10,來確定運(yùn)算程序,按“加上2”再“乘以5”輸出.

    解:由32=9<10.可知應(yīng)選擇“是”的運(yùn)算程序計(jì)算,(9+2)x5=55,即輸出的值為55.

    反思:解此類題時(shí),應(yīng)正確地選擇運(yùn)算操作程序,避免:①錯(cuò)選“否”的運(yùn)算程序;②錯(cuò)把10作為一個(gè)結(jié)果參與運(yùn)算;③不按每一步的結(jié)果得數(shù)進(jìn)行計(jì)算,如32+2x5=19.

    二、對式的操作

    例2 (2014.臺州)有一個(gè)計(jì)算程序,每次運(yùn)算都是把一個(gè)數(shù)先乘以2,再除以它與1的和,多次重復(fù)進(jìn)行這種運(yùn)算的過程如下:

    則第n次的運(yùn)算結(jié)果=________.(用含字母x和n的代數(shù)式表示)

    分析:要探究操作的第n次運(yùn)算結(jié)果,可分別將第2、3、4次的分式計(jì)算、化簡,再將化簡后的分式列表分析、發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

    解:依題意,可列表如表1.

    四、閱讀與操作

    例4 (2014.山西)閱讀下列材料,按要求完成相應(yīng)的任務(wù).

    幾何中,平行四邊形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形都是特殊的四邊形,大家對于它們的性質(zhì)都非常熟悉,生活中還有一種特殊的四邊形——箏形,所謂箏形,它的形狀與我們生活中風(fēng)箏的骨架相似.

    定義:兩組鄰邊分別相等的四邊形,稱之為箏形,如圖4,四邊形∠ABCD是箏形,其中AB=AD,CB=CD.

    判定:①兩組鄰邊分別相等的四邊形是箏形.②有一條對角線垂直平分另一條對角線的四邊形是箏形.

    顯然,菱形是特殊的箏形,就一般箏形而言,它與菱形有許多相同點(diǎn)和不同點(diǎn).如果只研究一般的箏形(不包括菱形),請根據(jù)以上材料完成下列任務(wù):

    (1)清說出箏形和菱形的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)各兩條.

    (2)請仿照如圖5的畫法,在如圖6所示的8x8網(wǎng)格中重新設(shè)計(jì)一個(gè)由四個(gè)全等的箏形和四個(gè)全等的菱形組成的新圖案,具體要求如下:①頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上;②所設(shè)計(jì)的圖案既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形;③將新圖案中的四個(gè)箏形都涂上陰影(建議用一系列平行斜線表示陰影).

    分析:(1)利用菱形的性質(zhì)以及結(jié)合圖形得出箏形的性質(zhì)分別得出異同點(diǎn)即可.(2)利用軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義結(jié)合題意得出答案,顯然答案不唯一.

    解:(1)相同點(diǎn):①兩組鄰邊分別相等;②有一組對角相等;③有一條對角線垂直平分另一條對角線:④有一條對角線平分一組對角;⑤都是軸對稱圖形;⑥面積等于對角線乘積的一半.不同點(diǎn):①菱形的對角線互相平分,箏形的對角線不互相平分;②菱形的四邊都相等,箏形只有兩組鄰邊分別相等;③菱形的兩組對邊分別平行,箏形的對邊不平行;④菱形的兩組對角分別相等,箏形只有一組對角相等;⑤菱形的鄰角互補(bǔ),箏形的鄰角不互補(bǔ);⑥菱形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形,箏形是軸對稱圖形不是中心對稱圖形.(2)答案不唯一,如圖7所示中的任意一種情形.

    反思:求解此類問題時(shí),一定要充分借助網(wǎng)格特點(diǎn)進(jìn)行作圖,解題的關(guān)鍵是正確理解平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)以及中心對稱圖形、軸對稱圖形的意義.

    五、裁剪操作

    例5 (2014.寧波)用正方形硬紙板做三棱柱盒子,每個(gè)盒子由3個(gè)矩形側(cè)面和2個(gè)正三角形底面組成,硬紙板以如圖8所示的兩種方法裁剪(裁剪后邊角不再利用).

    A方法:剪6個(gè)側(cè)面:B方法:剪4個(gè)側(cè)面和5個(gè)底面,

    現(xiàn)有19張硬紙板,裁剪時(shí)x張用A方法,其余用B方法.

    (1)用含x的代數(shù)式分別表示裁剪出的側(cè)面和底面?zhèn)€數(shù).

    (2)若裁剪出的側(cè)面和底面恰好全部用完,則能做多少個(gè)盒子?

    分析:(1)根據(jù)一張硬紙板用A方法剪6個(gè)側(cè)面 ,B

    六、對圖形的分割操作

    例6 (2014.漳州)如圖9,△ABC中,AB=AC,∠A=36。,稱滿足此條件的三角形為黃金等腰三角形.請完成以下操作(畫圖不要求使用圓規(guī),以下問題所指的等腰三角形個(gè)數(shù)均不包括△ABC):

    (1)在圖9中畫1條線段,使圖中有2個(gè)等腰三角形,并直接寫出這2個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)分別是______度和______度.

    (2)在圖10中畫2條線段,使圖中有4個(gè)等腰三角形.

    (3)繼續(xù)按以上操作發(fā)現(xiàn):在△ABC中畫n條線段,則圖中有______個(gè)等腰三角形,其中有______個(gè)黃金等腰三角形.

    分析:(1)利用等腰三角形的性質(zhì)以及∠A的度數(shù),進(jìn)而得出這兩個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù).(2)利用(1)中思路進(jìn)而得出符合題意的圖形.(3)利用畫1條線段可得到2個(gè)等腰三角形,畫兩條線段可得到4個(gè)等腰三角形,畫3條線段可得到6個(gè)等腰三角形,進(jìn)而得出規(guī)律求出答案.

    解:(1)如圖9所示AB=AC,∠A =36。,故當(dāng)AE=BE時(shí),∠A= ∠ABE=36。,則∠AEB=108。,則∠EBC=36。,故這兩個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)分別是108度和36度.

    (2)畫法不唯一,如圖10所示,四個(gè)等腰三角形分別是:△ABE,△BCE,△BEF,△CEF

    (3)如圖11.畫1條線段可得到兩個(gè)等腰三角形,畫兩條線段可得到4個(gè)等腰三角形,畫3條線段可得到6個(gè)等腰三角形,…,在△ABC中畫n條線段,則圖中有2n個(gè)等腰三角形,其中有n個(gè)黃金等腰三角形.

    反思:本題既是一道操作題,又是一道問題的探究題,求解時(shí)應(yīng)注意作圖技巧,靈活運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì),其中探究出分割圖形的規(guī)律是解題關(guān)鍵.另外,在(2)中當(dāng)畫出線段BE時(shí),余下的也可以過C作∠C的平分線交BE于點(diǎn)F

    七、折疊操作

    例7 (2014 臨沂)對一張矩形紙片ABCD進(jìn)行折疊,具體操作如下:

    第一步:先對折,使AD與BC重合,得到折痕MN,展開,

    第二步:再一次折疊,使點(diǎn)A落在MN上的點(diǎn)A’處,并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B,得到折痕BE,同時(shí),得到線段BA’,EA’,展開,如圖12.

    第三步:再沿EA’所在的直線折疊,點(diǎn)B落在AD上的點(diǎn)B'處,得到折痕EF,同時(shí)得到線段B’F,展開,如圖13.

    (1)證明:∠A BE=300.

    (2)證明:四邊形BFB’E為菱形.

    分析:(1)根據(jù)點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)判斷出A’是EF的中點(diǎn),然后判斷出BA'垂直平分EF,根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩端點(diǎn)的距離相等可得BE=BF,再根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得∠A’BE=∠A 'BF,根據(jù)翻折的性質(zhì)可得∠ABE= ∠A 'BE,然后根據(jù)矩形的四個(gè)角都是直角計(jì)算即可得證.(2)根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得BE=B'E,BF=B'F,然后得出BE=B'E=B'F=BF,再根據(jù)四條邊都相等的四邊形是菱形證明.

    解:(1)由對折AD與BC重合,折痕是MN,故點(diǎn)M是AB的中點(diǎn),故A’是EF的中點(diǎn),因∠BA’E= ∠A =90。,故BA’垂直平分EF,故BE=BF,故∠A' BE= ∠A 'BF,由翻折的性質(zhì),∠ABE=∠A'BE,故∠ABE= ∠A 'BE=∠A,BF,故∠ABE()×90。=30。.

    (2)沿EA’所在的直線折疊,點(diǎn)B落在AD上的點(diǎn)B’處,故BE=B'E,BF=B'F因BE=BF,故BE=B'E=B'F=BF,故四邊形BFB'E為菱形.

    反思:本題通過操作,意在考查矩形、菱形、線段垂直平分線等知識.解答折疊問題的一般思路:分清折疊前后的對應(yīng)邊、對應(yīng)角、對稱軸,利用對稱軸是對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線尋找相等的線段或角,進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算或證明.

    中考命題預(yù)測

    1.在△ABC中,AB>BC>AC,D是AC的中點(diǎn),過點(diǎn)D作直線l,使截得的三角形與原三角形相似,這樣的直線l有____條.

    2.如圖14,將網(wǎng)格中的三條線段沿網(wǎng)格線平移后組成一個(gè)首尾相接的三角形,至少需要移動(dòng)____格.

    3.如圖15,將一副七巧板拼成一只小動(dòng)物,則∠AOB=____.

    4.如圖16,小亮拿一張矩形紙如圖16 (1),沿虛線對折一次得圖16 (2),將對角兩頂點(diǎn)重合折疊得圖16(3).按圖16(4)沿折痕中點(diǎn)與重合頂點(diǎn)的連線剪開,得到三個(gè)圖形,這三個(gè)圖形分別是().

    A.都是等腰梯形

    B.都是等邊三角形

    C.兩個(gè)直角三角形,一個(gè)等腰三角形

    D.兩個(gè)直角三角形,一個(gè)等腰梯形

    5.在我們學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)教科書中,有一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng),其具體操作過程是:

    第一步:對折矩形紙片ABCD,使AD與BC重合,得到折痕EF,把紙片展開(如圖17):

    第二步:再一次折疊紙片,使點(diǎn)A落在EF上,并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B,得到折痕BM,同時(shí)得到線段BN(如圖l8).

    請解答以下問題:

    (1)如圖18,若延長MN交BC于P,△BMP是什么三角形?請證明你的結(jié)論.

    (2)在圖18中,若AB=a,BC=b,a、b滿足什么關(guān)系,才能在矩形紙片ABCD上剪出{符合(1)中結(jié)論的三角形紙片BMP?

    6.現(xiàn)有一張長和寬之比為2:1的長方形紙片,將它折兩次(第一次折后也可以打開鋪平再折第二次).使得折痕將紙片分為面積相等且不重疊的四個(gè)部分(稱為一個(gè)操作),如圖19(虛線表示折痕).

    除圖19外,請你再給出三個(gè)不同的操作,分別將折痕畫在圖20(1)至圖20(3)中(規(guī)定:一個(gè)操作得到的四個(gè)圖形,和另一個(gè)操作得到的四個(gè)圖形,如果能夠“配對”得到四組全等的圖形,那么就認(rèn)為是相同的操作.如圖19(2)和圖19(1)是相同的操作).(上接第26頁)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)P 出發(fā),點(diǎn)A以5 cm/s的速度沿射線PM方向運(yùn)動(dòng),點(diǎn)B以4 cm/s的速度沿射線PN方向運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)問為t(s).

    (1)求PQ的長.

    (2)當(dāng)t為何值時(shí),直線AB與00相切?

    3.如圖8,在平行四邊形ABCD中.AD=4 cm,∠A=60。,BD ⊥AD.一動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā),以每秒l cm的速度沿A→B→C的路線勻速運(yùn)動(dòng),過點(diǎn)P作直線PM,使PM⊥AD.

    (1)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)2 s時(shí),設(shè)直線PM與AD相交于點(diǎn)E,求△APE的面積.

    (2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)2s時(shí),另一動(dòng)點(diǎn)Q也從A出發(fā)沿A→B→C的路線運(yùn)動(dòng),且在AB上以每秒l cm的速度勻速運(yùn)動(dòng),在BC上以每秒2 cm的速度勻速運(yùn)動(dòng).過Q作直線QN,使QN∥PM.設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)問為t(0≤t≤10)s,直線PM與QN截平行四邊形ABCD所得圖形的面積為S( cm2).求S關(guān)于£的函數(shù)關(guān)系式.

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