關(guān)于復(fù)變函數(shù)中“∞”的幾個注記

羅世堯

摘 要： 無窮遠(yuǎn)點(diǎn)是復(fù)平面上一個非常重要的點(diǎn)，正確理解無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的含義及有關(guān)概念對學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)理論至關(guān)重要.本文在擴(kuò)充復(fù)平面的幾何模型復(fù)球面上，對無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的含義及相關(guān)性質(zhì)做了說明和注釋.

關(guān)鍵詞： 無窮遠(yuǎn)點(diǎn) 復(fù)球面 復(fù)平面 注記

1.復(fù)球面

把一個球面放在z平面上，切點(diǎn)為原點(diǎn)O，通過O的直徑與球面交于N，O是南極，N為北極（見圖）.設(shè)Z為復(fù)平面上的一點(diǎn)，連接Z與球面相交于P點(diǎn)，這樣就建立起球面上的點(diǎn)和復(fù)平面上的點(diǎn)間的一一對應(yīng)，南極點(diǎn)對應(yīng)坐標(biāo)原點(diǎn)，北極點(diǎn)N無法找到復(fù)平面上一個有限點(diǎn)與之對應(yīng)，為此我們假設(shè)N對應(yīng)復(fù)平面的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，記作∞.復(fù)平面加上∞后稱為擴(kuò)充的復(fù)平面，記作C■，與它對應(yīng)的就是整個球面，稱為復(fù)球面.擴(kuò)充復(fù)平面的一個幾何模型就是復(fù)球面.

幾點(diǎn)說明：

①擴(kuò)充復(fù)平面上任一條直線對應(yīng)復(fù)球面上經(jīng)過北極點(diǎn)的一個圓，通過原點(diǎn)的直線對應(yīng)大圓，這說明擴(kuò)充復(fù)平面上任一條直線都通過∞點(diǎn)，直線可以看成圓（廣義圓）.

②擴(kuò)充復(fù)平面上兩條平行線對應(yīng)著復(fù)球面上兩個相交于北極點(diǎn)的圓，所以擴(kuò)充復(fù)平面上兩條平行線相交于無窮遠(yuǎn)點(diǎn).

③擴(kuò)充復(fù)平面上兩條相交直線也交于無窮遠(yuǎn)點(diǎn).

2.關(guān)于“∞”的幾個注記

注記1：∞的模、輻角及實(shí)部與虛部

復(fù)數(shù)z=x+iy的模r=|z|=■，可以說是點(diǎn)z到原點(diǎn)的距離，∞不是有限點(diǎn)，所以規(guī)定|∞|=+∞.復(fù)數(shù)的輻角定義為實(shí)軸正向到非零復(fù)數(shù)z=x+iy所對應(yīng)向量■見的夾角θ，合于tanθ=■.由于經(jīng)過原點(diǎn)的所有直線都可以到達(dá)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，因此無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的輻角無法確定，即無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的輻角沒有意義，無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的實(shí)部、虛部也不確定.

注記2：∞遠(yuǎn)點(diǎn)與實(shí)數(shù)系中無窮大的區(qū)別與聯(lián)系

在復(fù)平面上，∞是一個假想的點(diǎn)，和實(shí)數(shù)系中的無窮大既有區(qū)別又有聯(lián)系，實(shí)數(shù)系中的無窮大是絕對值無限增大的變量，有正無窮大和負(fù)無窮大之分，但在復(fù)變函數(shù)中把無窮大看作一個點(diǎn)，無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的模|∞|=+∞（實(shí)數(shù)系中的正無窮大），實(shí)部、虛部可以取到∞（實(shí)數(shù)系中的無窮大），無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的實(shí)部、虛部不確定，但至少有一個是無窮大.

注記3：關(guān)于∞的運(yùn)算

在C■上∞可以參與各種運(yùn)算，但需做一些規(guī)定：

（1）運(yùn)算∞±∞，0·∞，■，■無意義.

說明：∞的實(shí)部、虛部不確定，∞±∞也不確定，即∞±∞無意義；∞和0的輻角不確定，0的模是0，所以運(yùn)算0·∞，■，■無意義；

（2）α≠∞時，■=∞，■=0，∞±α=α±∞=∞.

說明：在運(yùn)算■，■時，第一個的模為+∞，第二個的模為0，所以規(guī)定■=∞，■=0；雖然∞的實(shí)部和虛部不確定，但至少有一個為∞，對于有限復(fù)數(shù)α，∞±α，α±∞的實(shí)部或虛部，至少有一個是∞，所以∞±α=α±∞=∞；

（3）b≠0（但可為∞）時，∞·b=b·∞=∞，■=∞.

說明：當(dāng)b≠0時，∞·b，·∞，■的模都為+∞，所以規(guī)定∞·b=b·∞=∞，■=∞；

由上面的討論不難看出這些規(guī)定的合理性.

注記4：∞的鄰域

在復(fù)球面上，北極點(diǎn)N鄰域是一個以北極點(diǎn)為中心的一個球蓋，邊界是緯線，投影到復(fù)平面上就是一個以原點(diǎn)為心的圓周的外部，所以在擴(kuò)充復(fù)平面上，無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域應(yīng)理解為以原點(diǎn)為心的某圓周的外部，即∞的ε一鄰域N■（∞）是指合于條件|z|>■的點(diǎn)集；去掉北極點(diǎn)N的一個球蓋對應(yīng)著∞的去心鄰域，是指合條件的■<|z|<+∞點(diǎn)集.

注記5：有關(guān)概念推廣到∞

在擴(kuò)充復(fù)平面上，聚點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)和邊界點(diǎn)等概念均可以推廣到點(diǎn)∞，于是，復(fù)平面以∞為其唯一的邊界點(diǎn)；擴(kuò)充復(fù)平面以∞為內(nèi)點(diǎn)，且它是唯一的無邊界的區(qū)域.例如：∞是無窮點(diǎn)集{i，2i，3i，…，ni，…}的聚點(diǎn)，是擴(kuò)充復(fù)平面上點(diǎn)集E={z||z|>1}的內(nèi)點(diǎn)，是上半平面lmz>0的邊界點(diǎn).含有∞的區(qū)域在復(fù)平面上和擴(kuò)充的復(fù)平面上的連通性不一樣，如以原點(diǎn)為心的圓周的外部，在復(fù)平面上是二連通區(qū)域，在擴(kuò)充的復(fù)平面上則是單連通區(qū)域.

注記6：廣義極限

在擴(kuò)充復(fù)平面上，點(diǎn)∞可以在函數(shù)的定義域中，函數(shù)值也可以取到∞，因此，函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念可以推廣.在關(guān)系■f（z）=f（z■）中，如果z■及f（z■）之一或者它們同時取∞，就稱f（z）在點(diǎn)z■為廣義連續(xù)的，極限就稱為廣義極限.在這種廣義的意義下，極限和連續(xù)的ε-δ說法要相應(yīng)修改.廣義極限的幾種形式：

（1）■f（z）=w■？圳任給ε>0，存在δ>0，只要|z|>■時就有|f（z）-w■|<ε.

（2）■f（z）=∞？圳任給ε>0，存在δ>0，只要0<|z-z■|<δ時就有|f（z）|>■.

（3）■f（z）=∞？圳任給ε>0，存在δ>0，只要|z|>■時就有|f（z）|>■.

3.結(jié)語

復(fù)平面加上非正常復(fù)數(shù)稱為擴(kuò)充復(fù)平面，復(fù)球面與擴(kuò)充復(fù)平面的可以建立一一對應(yīng)，通過復(fù)球面這個模型，我們不僅看到了的存在性，而且說明了唯一性，在復(fù)變函數(shù)中是一個非常重要的點(diǎn).本文通過復(fù)球面這個模型，對的幾何特性及有關(guān)概念作了深入的闡述，使讀者能全面深刻地理解擴(kuò)充復(fù)平面上的，為進(jìn)一步研究的其他性質(zhì)，如的輻角原理、奇點(diǎn)性質(zhì)及留數(shù)計算打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

[1]鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論[M].北京：高等教育出版社，2004：38-41.

[2]馬忠軍，王祝梅，黃文韜.復(fù)變函數(shù)中的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)[J].桂林電子科技大學(xué)學(xué)報，2007，27（4）.

[3]張子珍.函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)（∞）的性態(tài)[J].雁北師范學(xué)院學(xué)報，2004，20（5）.