焦義貴
摘 ? ?要: 幾何概型是高中數(shù)學繼古典概型之后學習的另一類等可能概型,它對應的是一個連續(xù)型變量的均勻分布,幾何概型是古典概型的拓廣.在高中,幾何概型的題目主要分為長度型、面積(體積)型、角度型、會面型,不管解決哪種類型問題,其關(guān)鍵都要選擇適當度量,使基本事件轉(zhuǎn)化為與之對應的總度量值,所求問題轉(zhuǎn)化隨機事件對應的子度量值,然后代入公式進行計算求解.
關(guān)鍵詞: 概率 ? ?幾何概型 ? ?高中數(shù)學教學
概率研究隨機事件發(fā)生的可能性大小問題,通過學習,學生可以了解隨機現(xiàn)象與概率的意義,正確區(qū)分頻率與概率,初步形成用隨機的觀念觀察、分析、研究客觀世界.幾何概型是高中繼古典概型之后學習的另一類等可能概型,是高中新課程實驗教材新增加的內(nèi)容,也是必修課中關(guān)于概率的最后一個知識點,它的特點是試驗結(jié)果在一個區(qū)域內(nèi)均勻分布,所以隨機事件的大小與隨機事件所在區(qū)域的形狀、位置無關(guān),只與該區(qū)域的大小有關(guān).要求學生能體會幾何概型的意義,會解決典型的幾何概型問題.幾何概型的研究,是古典概型的拓廣,兩種概型既有區(qū)別又有聯(lián)系,它們的相同點是基本實驗結(jié)果發(fā)生都具有等可能性,并均用比值計算隨機事件概率,不同之處是幾何概型將古典概型試驗結(jié)果從有限個拓廣到無限個.本文擬對幾何概型的定義,計算公式,以及各種題型進行系統(tǒng)梳理.
一、幾何概型的有關(guān)知識
1.幾何概型的定義
如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度、面積、體積或角度成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡稱幾何概型.
2.幾何概型的概率公式
P(A)=■;
由于幾何概型中隨機事件的概率是度量之比,因此我們不難發(fā)現(xiàn)下面的結(jié)論:
(1)不可能事件概率一定為0,但概率為0的事件不一定為不可能事件.如:向正方形桌面上隨機扔一粒芝麻,正好落在中心點的概率為0,但這個事件有可能發(fā)生.
(2)必然事件概率一定為1,但概率為1的事件不一定為必然事件.如:向正方形桌面上隨機扔一粒芝麻,正好落在除中心點外區(qū)域的概率為1,但這個事件有可能不發(fā)生.
3.幾何概型的特點
(1)無限性:試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)為無限多個;
(2)等可能性:每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.
4.幾何概型與古典概型的比較
區(qū)別:古典概型具有有限性,即試驗結(jié)果是有限個;而幾何概型則是在試驗中出現(xiàn)無限多個結(jié)果.
聯(lián)系:古典概型與幾何概型的基本試驗結(jié)果都具有等可能性.兩者均用比例法求隨機事件的概率.
二、常見題型
幾何概型問題,可以將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機取一點,該區(qū)域內(nèi)每個點被取到的可能性都相等,而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某全子區(qū)域中的點.主要題型有:長度型、面積(體積)型、角度型、會面問題等,下面分別舉例說明.
1.長度型
根據(jù)不同的問題類型,長度之比可能體現(xiàn)為線段長度之比、弧長之比、時間長度之比、區(qū)間長度之比等.下面舉例說明.
例1.某人睡覺醒來,發(fā)現(xiàn)表停了,他打開收音機,想聽電臺整點報時,求他等待的時間不多于10分鐘的概率.
解:依題意,此人可能等待的時間0~60分鐘,當此人在每小時的50~60分某時刻醒來時,其等待時刻不多于10分鐘.
所以,等待的時間不多于10分鐘的概率為p=■=■.
例2.點A為周長等于3的圓周上的一個定點,若在該圓周上隨機取一點B,求劣弧■的長度小于1的概率.
解析:設(shè)事件M為“劣弧■的長度小于1”,則滿足事件M的點B可以在定點A的兩側(cè)與定點A構(gòu)成的弧長小于1的弧上隨機取一點,由幾何概型的概率公式得:P(M)=■.
例3.已知集合A{x|-1 解析:由題意得A={x|-1 例4.將長度為3cm的細鐵絲任意剪成兩段,A表示“較長的一段大于或等于較短一段的2倍”,求事件A的概率. 分析:可以把3cm長的鐵絲看做是長為3的線段CD,由于剪法的任意性,分點落在CD上任意一位置均可.當點落在CE或FD上時,事件A發(fā)生. 解:P(A)=■=■. 2.面積、體積型 例5.拋階磚游戲:參與者將手上的“金幣”拋落在離身邊若干距離的階磚平面上,拋出的硬幣剛巧落在任何一個階磚的范圍內(nèi)(不壓階磚相連的線)獲勝.當正方形階磚的邊長為5cm,金幣直徑為2.5cm時,請你計算“金幣”落在階磚范圍內(nèi)的概率. 提示:圓心落在正中間邊長為2.5cm的正方形內(nèi),游戲獲勝. 解:設(shè)A=“金幣落在階磚內(nèi)”,則 P(A)=■=■. 例6.一只蒼蠅在一棱長為60cm的正方體籠子里飛,蒼蠅距籠邊大于10cm的概率是多少? 答案:P=■=■. 例7.將長為1的棒任意地折成三段,求三段的長度都不超過■的概率. 解:設(shè)第一段的長度為x,第二段的長度為y,第三段的長度為1-x-y,則基本事件組所對應的幾何區(qū)域可表示為Ω={(x,y)|0 事件“三段的長度都不超過■”所對應的幾何區(qū)域可表示為A={(x,y)|(x,y)∈Ω,x<■,y<■,1-x-y<■},此區(qū)域面積為■×(■)■=■. 此時事件“三段的長度都不超過■”的概率為P=■=■. 3.角度型 例8.過等腰Rt△ABC的直角頂點C任作射線CD交斜邊AB于D,求AD>AC的概率. 解:∵AC=AD,∠A=45° ∴∠ACD=67.5° ∴AD>AC的概率為: P=■=■. 4.“會面”型 兩個對象會面問題屬于面積問題,三個對象會面問題屬于體積問題. 兩個對象相遇問題解題的關(guān)鍵是把兩個時間分別用x、y兩個坐標表示,構(gòu)成平面內(nèi)的點(x,y),從而把兩個一維的時間問題轉(zhuǎn)化為二維的面積問題,用面積比表示兩個對象相遇的概率.三個對象相遇問題類似地轉(zhuǎn)化為三維的體積問題求解. 例9.某碼頭接到通知,甲、乙兩艘外輪都會在某天9點到10點之間的某一時刻到達該碼頭的同一個泊位,早到的外輪要在該泊位???0分鐘辦理完手續(xù)后才離開,求兩艘外輪至少有一艘在??坎次粫r必須等待的概率. 解析:設(shè)事件表示兩艘外輪至少有一艘在??坎次粫r必須等待,兩艘外輪到的時間分別為9點到10點之間的x分,y分,則 |x-y|≤20,0≤x,y≤60,即A=(x,y)|-20≤x-y≤200≤x≤600≤y≤60?搖,以9點為原點,建立平面直角坐標系如圖所示,事件所對應的區(qū)域如圖中陰影區(qū)域所示,所以其概率P(A)=陰影面積/ABCD面積=5/9. 以上是幾何概型中最典型的問題,即長度之比類型、面積(體積)之比類型、角度之比類型、會面問題類型,不管解決哪種類型問題,其關(guān)鍵都要選擇適當度量,使基本事件轉(zhuǎn)化為與之對應的總度量值,所求問題轉(zhuǎn)化隨機事件對應的子度量值,然后代入公式進行計算求解.特別要注意分析清楚,試驗的基本事件應該屬于與長度、面積(體積)還是角度,這樣才能尋到正確的解題方向,避免出現(xiàn)錯誤.