曲線(xiàn)軌跡方程的常見(jiàn)求法

高雄英

求曲線(xiàn)的軌跡方程是解析幾何的兩個(gè)基本問(wèn)題之一，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標(biāo)化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系.這類(lèi)問(wèn)題除了考查對(duì)圓錐曲線(xiàn)的定義＼性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)的掌握外，還充分考查了各種數(shù)學(xué)思想方法及一定的推理和運(yùn)算能力，因此這類(lèi)問(wèn)題成為高考命題的熱點(diǎn).

一、直接法

將動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的幾何條件或等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡(jiǎn)即得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程.

例1：已知A、B為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M到A與到B的距離比為常數(shù)λ，求點(diǎn)M的軌跡方程，并注明軌跡是什么曲線(xiàn).

解：建立坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)|AB|=2a，則A（-a，0），B（a，0）.

設(shè)M（x，y）是軌跡上任意一點(diǎn).

二、定義法

若動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件符合某一基本曲線(xiàn)的定義（如橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)、圓等），則可用定義直接探求.

例2：某檢驗(yàn)員通常用一個(gè)直徑為2cm和一個(gè)直徑為1cm的標(biāo)準(zhǔn)圓柱，檢測(cè)一個(gè)直徑為3cm的圓柱，為保證質(zhì)量，有人建議再插入兩個(gè)合適的同號(hào)標(biāo)準(zhǔn)圓柱，問(wèn)這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)圓柱的直徑為多少？

分析本題考查“定義法”求曲線(xiàn)的軌跡方程及將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.

解：設(shè)直徑為3，2，1的三圓圓心分別為O、A、B，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求兩等圓P、Q，使它們與⊙O相內(nèi)切，與⊙A、⊙B相外切.

建立如圖所示的坐標(biāo)系，并設(shè)⊙P的半徑為r，則

|PA|+|PO|=（1+r）+（15-r）=2.5

∴點(diǎn)P在以A、O為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2.5的橢圓上，

當(dāng)然，求軌跡方程時(shí)，一定要注意軌跡的純粹性和完備性，注意去“雜”、“補(bǔ)漏”;同時(shí)還要注意區(qū)別“軌跡”與“軌跡方程”是兩個(gè)不同的概念.