“平均數(shù)”的“變教為學(xué)”

高瑩

“變教為學(xué)”的教學(xué)模式對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的要求是“突出本質(zhì)、滲透文化、實(shí)現(xiàn)關(guān)聯(lián)”，為了達(dá)到這一要求，需要教師在備課的過程中認(rèn)真思考學(xué)生應(yīng)當(dāng)“學(xué)什么”和“怎樣學(xué)”。平均數(shù)屬于我國現(xiàn)行義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中統(tǒng)計(jì)與概率的部分，在教學(xué)過程中，過于注重平均數(shù)的計(jì)算方法，而輕視對(duì)平均數(shù)本質(zhì)、意義的理解，會(huì)使學(xué)生在計(jì)算平均數(shù)的時(shí)候出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤，對(duì)平均數(shù)產(chǎn)生諸多誤解。學(xué)習(xí)平均數(shù)的計(jì)算公式并不能替代對(duì)平均數(shù)概念的理解。下面筆者以“平均數(shù)”的內(nèi)容為例，進(jìn)行活動(dòng)記錄單的設(shè)計(jì)。

通過對(duì)平均數(shù)進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)歷史上平均數(shù)最早是用來估計(jì)大數(shù)的。在公元4世紀(jì)的古代印度故事中，有一棵長有兩條巨大樹枝的茂盛的大樹，主人公Rtuparna想要計(jì)算這兩條樹枝上葉子和果子的數(shù)量，他先估計(jì)了樹根部的一條細(xì)枝上葉子和果子的數(shù)量，再乘以細(xì)枝的數(shù)量，最后得出的答案是2095，這和第二天人們數(shù)出來的真實(shí)數(shù)字非常接近。[1]盡管在故事中Rtuparna是如何選擇細(xì)枝的還不能確定，但他必須選擇一條平均大小的細(xì)枝，才能得到比較好的估計(jì)。這其中隱含著平均數(shù)直觀的初期形式（intuitive precursor），因?yàn)樗x的細(xì)枝代表了其余的所有細(xì)枝，在求總數(shù)的過程中，它扮演了連接的角色，平均大小的細(xì)枝具有代表性。

從歷史故事中得到啟發(fā)，平均數(shù)的學(xué)習(xí)應(yīng)該以大數(shù)估計(jì)為起點(diǎn)，通過“活動(dòng)一”再現(xiàn)這種方法，讓學(xué)生理解平均數(shù)的代表性。

活動(dòng)一：某學(xué)?？偣灿?0個(gè)班級(jí)，每個(gè)班級(jí)的人數(shù)如下，你能算出全學(xué)校大約有多少人嗎？和同伴說說你的想法。

活動(dòng)一要求學(xué)生計(jì)算全學(xué)校大約有多少人，也就是讓學(xué)生估算出這組數(shù)據(jù)的和，這和歷史故事中估計(jì)“葉子和果子的數(shù)量”是類似的。由于估算方法具有多樣性，所以學(xué)生會(huì)產(chǎn)生如下解法。

方法一：將這組數(shù)據(jù)中最大的數(shù)和最小的數(shù)相加再除以2，用得數(shù)乘30。

方法二：將這組數(shù)據(jù)按大小順序排列，用處于最中間的一個(gè)數(shù)乘30。

方法三：選取數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，再乘30。

方法四：運(yùn)用四舍五入法，“42”近似為“40”，“47”近似為“50”，“34”近似為“30”，再把這些數(shù)和個(gè)數(shù)相乘，最后相加得到結(jié)果。

前三種方法都是選取了能代表一組數(shù)據(jù)的值，這個(gè)值要能代表班級(jí)人數(shù)的平均水平，才能得到比較好的估計(jì)，雖然有的班級(jí)人數(shù)多于平均數(shù)，有的班級(jí)人數(shù)少于平均數(shù)，但在求和過程中正好相互抵消，其中也出現(xiàn)了中位數(shù)、眾數(shù)的概念。通過此活動(dòng)可以發(fā)現(xiàn)平均數(shù)和估算有密切關(guān)系，并且平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都具有代表性，建立了學(xué)習(xí)內(nèi)容與數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系。教師可以在“活動(dòng)一”之后給學(xué)生講述平均數(shù)的歷史故事，讓學(xué)生進(jìn)一步思考和體會(huì)。按照歷史的發(fā)展，平均數(shù)的教學(xué)應(yīng)由大數(shù)估計(jì)引入，先讓學(xué)生理解平均數(shù)的代表性，再來學(xué)習(xí)計(jì)算方法，而不是先學(xué)習(xí)計(jì)算方法，再讓學(xué)生理解代表性。

當(dāng)學(xué)生對(duì)平均數(shù)有了直觀的認(rèn)識(shí)之后，“活動(dòng)二”的設(shè)計(jì)是學(xué)習(xí)平均數(shù)的計(jì)算方法。經(jīng)歷平均數(shù)計(jì)算方法的探索過程，可以加深學(xué)生對(duì)平均數(shù)的認(rèn)識(shí)。

活動(dòng)二：（1）甲、乙兩商店出售帽子，下圖列出了甲商店前四個(gè)星期賣出的帽子數(shù)、乙商店前三個(gè)星期賣出的帽子數(shù)，你知道哪家商店的銷量較好嗎？（2）乙商店在第四個(gè)星期賣出多少頂帽子，才能使平均每天賣出7頂帽子？和同伴說說你是怎么做的。

設(shè)計(jì)活動(dòng)二的第一個(gè)問題的目的之一是學(xué)習(xí)平均數(shù)的兩種計(jì)算方法，一種是用數(shù)據(jù)總數(shù)除以個(gè)數(shù)，另一種是移多補(bǔ)少，用多的部分去補(bǔ)償少的部分；目的之二是讓學(xué)生體會(huì)平均數(shù)可以用來比較數(shù)量不同的群體，體會(huì)平均數(shù)的作用。學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，此時(shí)用帽子的總數(shù)比較銷量不太公平，所以會(huì)想出如下解法。

方法一：分別算出甲、乙商店帽子的銷售總數(shù)，再除以對(duì)應(yīng)的星期數(shù)，最后用得出的兩個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。

方法二：甲商店把第一個(gè)星期的1頂帽子移動(dòng)到第二個(gè)星期，把第四個(gè)星期的2頂帽子移動(dòng)到第三個(gè)星期，此時(shí)每個(gè)星期的帽子數(shù)量都相等。乙商店把第一個(gè)星期的3頂帽子移動(dòng)到第二個(gè)星期，此時(shí)每個(gè)星期的帽子數(shù)量也都相等。最后用兩個(gè)平均數(shù)進(jìn)行比較。

活動(dòng)二的第二個(gè)問題給出了三個(gè)數(shù)據(jù)和一個(gè)平均數(shù)，讓求第四個(gè)數(shù)據(jù)。用數(shù)據(jù)總數(shù)除以個(gè)數(shù)的方法此時(shí)無法直接使用，考查的是對(duì)平均數(shù)的理解。學(xué)生可能會(huì)想出如下解法。

方法一：四個(gè)星期平均每天賣出7頂帽子，求出四個(gè)星期賣出帽子的總數(shù)，再減去前三個(gè)星期賣出帽子的數(shù)量。

方法二：第一個(gè)星期賣出的帽子較多，把其中3頂帽子移動(dòng)到賣出帽子較少的第二個(gè)星期，則前三個(gè)星期都賣出了6頂帽子，要求平均每天賣出7頂，這樣就還差3頂，再加上第四個(gè)星期平均賣出的7頂，得出第四個(gè)星期需要賣出10頂才可以。

方法三：把第一個(gè)星期中的1頂帽子移動(dòng)到第二個(gè)星期，再移動(dòng)1頂?shù)降谌齻€(gè)星期，這樣前三個(gè)星期分別賣出了7， 4， 7頂，那么，用第二個(gè)星期差的3頂，再加上第四個(gè)星期平均賣出的7頂，答案是10頂。

方法四：第一個(gè)星期保留3頂帽子，把6頂都移動(dòng)到第四個(gè)星期，這樣四個(gè)星期距離要求的7頂帽子，分別差了4，4，1，1頂，計(jì)算4+4+1+1=10，答案同樣是10頂。

平均數(shù)計(jì)算公式的靈活運(yùn)用和移多補(bǔ)少的方法都可以解答這道題，方法二、三、四使用的都是移多補(bǔ)少的方法，不同之處在于分別以6，7，3為標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng)然也就存在著其他的解法，需要學(xué)生認(rèn)真地思考。

平均數(shù)的求法在我國古代文獻(xiàn)中就早有記載。魏晉數(shù)學(xué)家劉徽（約公元225—公元295）注釋的《九章算術(shù)》第一卷記載：“平分知，諸分參差，欲令齊等，減彼之多，增此之少，故曰平分也?！币馑际窃谠S多不相等的數(shù)中，把大的數(shù)減小，把小的數(shù)增大，最后使得所有的數(shù)都相等，稱之為“平分”。這與移多補(bǔ)少的方法相同，數(shù)據(jù)少的時(shí)候采用移多補(bǔ)少的方法可以直觀地體現(xiàn)出平均數(shù)的補(bǔ)償性。

經(jīng)過以上兩個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)，學(xué)生對(duì)平均數(shù)已經(jīng)有了初步的認(rèn)識(shí)，此時(shí)，很容易將“平均數(shù)”和以前學(xué)習(xí)過的“平均分”混淆，這兩者具有密切的聯(lián)系，但在概念上又有本質(zhì)的區(qū)別。“除法的初步認(rèn)識(shí)”中的平均分指每份分得同樣多，平均分是一種確定的分法，在任何一種分法的基礎(chǔ)上，通過移多補(bǔ)少就可以實(shí)現(xiàn)平均分，每份分得的數(shù)量具有實(shí)際意義。平均數(shù)是一個(gè)統(tǒng)計(jì)概念，它在現(xiàn)實(shí)生活中不一定具有實(shí)際意義。學(xué)生是在已經(jīng)學(xué)過平均分的基礎(chǔ)上進(jìn)行平均數(shù)的學(xué)習(xí)，平均分是指“總數(shù)÷份數(shù)=每份數(shù)”，平均數(shù)的計(jì)算公式為“數(shù)據(jù)總數(shù)÷個(gè)數(shù)=平均數(shù)”。例如：甲有3個(gè)蘋果，乙有5個(gè)蘋果，一共有8個(gè)，如果平均分，則甲、乙各得到4個(gè)。這個(gè)計(jì)算過程和求平均數(shù)的方法看起來十分類似?！盎顒?dòng)三”的設(shè)計(jì)可以幫助學(xué)生了解平均數(shù)是一個(gè)統(tǒng)計(jì)概念。

活動(dòng)三：有新聞報(bào)道：“上海每戶家庭平均2.5人；韓國平均2.5人就擁有1輛汽車?！闭?qǐng)你想一想，其中的“2.5人”是什么意思？

在學(xué)生的回答中，有的學(xué)生會(huì)認(rèn)為“點(diǎn)5”是一個(gè)孩子，“2.5人”就表示兩個(gè)大人和一個(gè)小孩，出現(xiàn)這樣的問題說明在學(xué)生的思維中平均數(shù)還沒有完成由一個(gè)代數(shù)概念到一個(gè)統(tǒng)計(jì)概念的轉(zhuǎn)變。半個(gè)人是不存在的，當(dāng)A家庭有2人，B家庭有3人，每戶家庭平均就有“2.5人”。以上報(bào)道可以理解為“上海每兩戶家庭平均5人”和“韓國平均5人就擁有2輛汽車”。教師此時(shí)還可以追問學(xué)生“每個(gè)人平均每天鍛煉1. 5小時(shí)”中的“1.5小時(shí)”是什么意思，學(xué)生可能認(rèn)為“1.5小時(shí)”是一個(gè)具體的時(shí)間，所以它有實(shí)際意義。教師要引導(dǎo)學(xué)生理解和區(qū)分，讓學(xué)生用自己的語言去解釋平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義。

“變教為學(xué)”強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)內(nèi)容要“實(shí)現(xiàn)關(guān)聯(lián)”，指的是既要建立學(xué)習(xí)內(nèi)容與數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，還要建立學(xué)習(xí)內(nèi)容與生活的聯(lián)系，所以，最后設(shè)計(jì)“活動(dòng)四”，讓學(xué)生感受平均數(shù)在自然界和社會(huì)中處處存在。

活動(dòng)四：說說哪些生活場景、自然現(xiàn)象或者數(shù)學(xué)知識(shí)與平均數(shù)有關(guān)？

活動(dòng)四的回答是開放性的，在學(xué)生舉例的基礎(chǔ)上，教師可以補(bǔ)充一些有關(guān)平均數(shù)的知識(shí)。比如，自2014年12月28日起，考慮兒童身高普遍提高的實(shí)際狀況，可免票乘車的兒童身高從1.2米提高到1.3米，范圍增加了10厘米。北京市2010年國民體質(zhì)監(jiān)測結(jié)果顯示，6歲男童身高均值為120.3厘米，6歲女童身高均值為118.8厘米。北京市就是參照6歲兒童的平均身高確定的免票線高度。南水北調(diào)工程和西氣東輸工程分別是把水和天然氣從資源多的地方運(yùn)往貧乏的地方，達(dá)到一個(gè)相對(duì)的平均，都體現(xiàn)了移多補(bǔ)少的概念。

“變教為學(xué)”要求學(xué)習(xí)內(nèi)容“突出本質(zhì)、滲透文化、實(shí)現(xiàn)關(guān)聯(lián)”。所以，對(duì)“平均數(shù)”教學(xué)進(jìn)行的學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)，應(yīng)注意以下幾個(gè)方面的內(nèi)容：首先，需要突出平均數(shù)的本質(zhì)，了解其發(fā)生和發(fā)展的歷史，創(chuàng)設(shè)情境讓學(xué)生感受“知識(shí)因需要而產(chǎn)生”，體會(huì)其存在的價(jià)值。其次，需要滲透平均數(shù)的文化，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更加豐富多彩。最后，把平均數(shù)與學(xué)生已經(jīng)熟悉的內(nèi)容建立聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)“化未知為已知”，教會(huì)學(xué)生在生活中使用平均數(shù)來解決問題。

“變教為學(xué)”把備課過程中主要思考的內(nèi)容定位于學(xué)生應(yīng)當(dāng)“學(xué)什么”和“怎樣學(xué)”，也就是要確定學(xué)生應(yīng)當(dāng)學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)內(nèi)容和設(shè)計(jì)學(xué)生應(yīng)當(dāng)經(jīng)歷的學(xué)習(xí)活動(dòng)。[2]因此，對(duì)于教師來說，首要任務(wù)是確定準(zhǔn)確、精練的學(xué)習(xí)內(nèi)容，設(shè)計(jì)可行、有效的學(xué)習(xí)活動(dòng)，這是一個(gè)需要主動(dòng)學(xué)習(xí)和思考的過程。

參考文獻(xiàn)：

[1] Arthur Bakker and Koeno P.E. Gravemeijer. An Historical Phenomenology of Mean and Median [J]. Educational Studies in Mathematics，2006，62（2）：149-168.

[2] 郜舒竹. “變教為學(xué)”從哪兒做起[J]. 教學(xué)月刊小學(xué)版數(shù)學(xué)，2013（9）.

（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院 100048）