向量教學(xué)中兩種思維的滲透

楊斌

摘 要： 向量是高中數(shù)學(xué)引入之后極為重要的章節(jié)，其主要體現(xiàn)在思維靈活度的考查上成為近年考查的熱點(diǎn).向量教學(xué)最主要的是兩種思維方式的滲透，即圖形化和代數(shù)化.

關(guān)鍵詞： 向量 思維 圖形化 代數(shù)化

向量自引入高中數(shù)學(xué)之后，漸漸成為高中數(shù)學(xué)考查的熱點(diǎn)和難點(diǎn).向量以其獨(dú)特不同于代數(shù)的運(yùn)算方式，又介于代數(shù)和方向之間的特點(diǎn)，形成了連接兩者的紐帶.吳文俊先生說(shuō)過(guò)：向量真是個(gè)好東西，我實(shí)在想不出除了向量之外，還有什么武器可以把泛函問(wèn)題做得如此簡(jiǎn)潔.

中學(xué)數(shù)學(xué)中的向量基本只涉及兩維，除了向量基本概念、運(yùn)算之外，還介紹了向量之間的加減合成及向量的數(shù)乘和數(shù)量積運(yùn)算，這些向量知識(shí)構(gòu)成了中學(xué)數(shù)學(xué)向量的主體.問(wèn)題千萬(wàn)變，思想兩主線.向量教學(xué)是筆者非常喜歡的章節(jié)教學(xué)，學(xué)生常常反映向量問(wèn)題做不好、想不來(lái)，其實(shí)主要原因在于學(xué)生對(duì)于向量問(wèn)題的方向把握還不明確，對(duì)于向量自由性的理解依舊不深刻，對(duì)于向量的運(yùn)算也未達(dá)到應(yīng)有的要求.以平面向量基本定理為例，作為唯一的分解，其實(shí)很多學(xué)生只理解在正交分解的前提下，正交分解是自由向量分解的一種特殊情形，所以學(xué)生對(duì)于很多自由化的向量問(wèn)題無(wú)從下手，正是因?yàn)槠矫嫦蛄炕径ɡ碇R(shí)的缺失，此為圖形化方式掌握得不扎實(shí)；以笛卡爾直角坐標(biāo)系中的向量，可以使用向量的正交分解下的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn)，但是學(xué)生又對(duì)具備一定運(yùn)算量的代數(shù)化運(yùn)算有所擔(dān)憂，此為坐標(biāo)化代數(shù)運(yùn)算的缺失.筆者建議，向量教學(xué)試題要以精為主，具備一題兩方向的教學(xué)，是兩種思維方式滲透的有效手段，勢(shì)必在思維導(dǎo)向上引導(dǎo)學(xué)生有方向地解決向量問(wèn)題.

問(wèn)題1：已知 · =0，向量 滿足（ - ）·（ - ）=0，| - |=5，| - |=3，則 · 的最大值為？搖 ？搖？搖？搖.

圖形化：設(shè)| |=a，| |=c，則有已知條件 · =0，（ - ）·（ - ）=0如左下圖易得Rt△ABC和Rt△OAB中，∠AOB=∠ACB=90°且OACB四點(diǎn)共圓，圓的直徑就是5，又由圓的性質(zhì)可設(shè)∠AOC=∠ABC=θ，在Rt△ABC中cosθ= ，則在△OAC中由余弦定理及基本不等式得3 =|AC| =a +c -2accosθ≥2ac-2ac = ac，∴ac≤ = ，∴ · =a·c·cosθ≤ × =18.

代數(shù)化：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)CA為y軸，CB為x軸建立直角平面坐標(biāo)系，易得A（0，3），B（4，0）.設(shè)O（x，y），則 =（-x，3-y）， =（4-x，-y）， =（-x，-y）即y -3y=4x-x ，∵ · =-4x+x -3y+y =0，即y -3y=4x-x ，∴ · =x +y -3y=x +4x-x =4x.而O（x，y）橫坐標(biāo)x的取值范圍為[- ， ]，所以4x∈[-2，18]，從而 · 的最大值為18.

問(wèn)題2：設(shè) ， 為單位向量，非零向量 =x +y ，xy∈R，若 ， 的夾角為 ，則 的最大值等于？搖 ？搖？搖？搖.

分析：該題考查了對(duì)于平面向量的基本概念的綜合運(yùn)用，涵蓋了單位向量、平面向量的基本定理、夾角、向量的模等反應(yīng)向量特點(diǎn)的概念和定理.最值問(wèn)題求解，體現(xiàn)了靜中有動(dòng)，題目簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單.

圖形化：不妨設(shè)x≠0，由 =x +y ，x，y∈R = + ，∴| |=| + |（ ∈R），結(jié)合平行四邊形法則，| | = （垂直時(shí)），所以 的最大值為2.

說(shuō)明：利用圖形化，掌握?qǐng)D形變化的本質(zhì)，結(jié)合數(shù)形結(jié)合，直觀而簡(jiǎn)潔.

代數(shù)化： =| | =（x +y ） =x +y + xy，

說(shuō)明：代數(shù)法手段是從函數(shù)入手，通過(guò)相關(guān)運(yùn)算得到一個(gè)兩元函數(shù)，然后換元轉(zhuǎn)換為一元函數(shù)求解最值.

問(wèn)題3：設(shè)向量 ， ， 滿足| |=| |=1， · =- ，< - ， - >60°，則| |的最大值等于？搖？搖 ？搖？搖.

圖形化：向量 ， 滿足夾角120°，且 - 與 - 夾角是60°，以四點(diǎn)共圓建構(gòu)圖形.設(shè) = ， = ， = ，則CB= - ， = - ，∠AOB=120°，∠ACB=60°，可知點(diǎn)C的軌跡是優(yōu)弧 上一動(dòng)點(diǎn)，顯然當(dāng)點(diǎn)C為優(yōu)弧 中點(diǎn)時(shí)，| |=| |取到最大值，即為O，A，B，C四點(diǎn)所在圓直徑.易得| |=| - |= ，在△ABC中，由正弦定理：2R= = =2.

代數(shù)化：可以從< - ， - ≥60°及數(shù)量積出發(fā)，利用不等關(guān)系及均值不等式求| |的最值.由題意| + |= =1，由（ - ）·（ - ）= · -（ + ）· +| |，

又（ - ）·（ - ）= | - |·| - |≤ [（ - ） +（ - ） +（ - ）]= [1-（ + ）· +| | ]，

結(jié)合上述兩式： · -（ + ）· +| |≤ [1-（ + ）· +| | ]，

化簡(jiǎn)得：| | ≤2+（ + ）· ≤2+| + |·| |=2+| |，得：| | -| |-2≤0？圯| |≤2，即最大模長(zhǎng)為2.

本題的代數(shù)方法獨(dú)樹(shù)一幟，既要考慮一般性展開(kāi)，又要利用數(shù)量積公式，再利用不等式進(jìn)行放縮求得.筆者認(rèn)為平時(shí)教學(xué)要多考慮“代數(shù)化”，有利于學(xué)生解題方向感的培養(yǎng).

從上述三個(gè)問(wèn)題可以看出，向量問(wèn)題一般均可以從兩個(gè)思維角度入手考慮，筆者對(duì)上述問(wèn)題常常采用圖形化和代數(shù)法的思維角度教學(xué)，不斷通過(guò)教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生向量問(wèn)題的兩種解決思路，這是培養(yǎng)中學(xué)數(shù)學(xué)向量問(wèn)題解決的兩個(gè)重要導(dǎo)向.通過(guò)問(wèn)題我們可以感受到，向量代數(shù)法的思維方式主要是以運(yùn)算來(lái)解決的，側(cè)重少思考多運(yùn)算，圖形化的思維方式偏重于思考、輕運(yùn)算，教學(xué)時(shí)應(yīng)以學(xué)生學(xué)情因材施教、兩法并舉，讓學(xué)生在薄弱環(huán)節(jié)得到提升，從而實(shí)現(xiàn)向量教學(xué)的高效性.值得注意的是，向量教學(xué)兩種思維方式的培養(yǎng)要循序漸進(jìn)，筆者建議是以代數(shù)化為主的方式比較適合初學(xué)者，圖形化思維方式更適應(yīng)高三復(fù)習(xí)教學(xué)，這樣安排教學(xué)是為了適應(yīng)新課程螺旋式上升的教學(xué)理念，讓思維發(fā)展有一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程.兩種思維滲透，更有利于學(xué)生思維發(fā)散性的培養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

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