高中數(shù)學(xué)“數(shù)列與差分”專題教學(xué)設(shè)計(jì)研究

李佳坤

進(jìn)入高中后，由于老師對(duì)學(xué)生的基礎(chǔ)了解得不是很透徹，這無疑提高了高中數(shù)學(xué)的教學(xué)難度。高中數(shù)學(xué)作為一門承上啟下的基礎(chǔ)課程，目的在于讓學(xué)生在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)后對(duì)大學(xué)高數(shù)能夠很好地掌握。這就要求老師在教學(xué)過程中站在學(xué)生的角度上著重考慮教學(xué)的難度。而“數(shù)列與差分”的學(xué)習(xí)與應(yīng)用可以解決不少生活中的難題，例如：金融類、保險(xiǎn)類、人口問題等，都可以利用“數(shù)列與差分”進(jìn)行分析與解答。

1.高中數(shù)學(xué)中“數(shù)列與差分”教學(xué)現(xiàn)狀

我國(guó)便根據(jù)新頒布的教學(xué)章程，將“數(shù)列與差分”納入選修課中作為新興內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)，蘇州同樣將其納入教學(xué)內(nèi)容中。其中差分作為離散數(shù)學(xué)的分知識(shí)點(diǎn)，是現(xiàn)代教學(xué)的重要組成部分，經(jīng)濟(jì)學(xué)、物理學(xué)、計(jì)算機(jī)等眾多領(lǐng)域的問題幾乎都能夠用差分解決，這引起了學(xué)生濃厚的興趣。“數(shù)列與差分”的教學(xué)，不僅表現(xiàn)出數(shù)學(xué)新課的發(fā)展趨勢(shì)，而且在一定程度上調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性，開闊了學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，對(duì)于求知欲較強(qiáng)的高中生，增添了不少學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣。

由此可知，將“數(shù)列與差分”引入課程教學(xué)中，不管是對(duì)數(shù)學(xué)這一學(xué)科的教學(xué)還是在擴(kuò)展學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)方面，都起著積極的作用。

2.設(shè)置“數(shù)列與差分”教學(xué)內(nèi)容的必要性

伴隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，為使數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性能夠得到很好的體現(xiàn)，增加“數(shù)列與差分”教學(xué)內(nèi)容已是當(dāng)代數(shù)學(xué)課程改革與發(fā)展的需求。數(shù)學(xué)科學(xué)作為基礎(chǔ)性學(xué)科，對(duì)自然科學(xué)、工程技術(shù)、社會(huì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域都有涉及。差分作為計(jì)算機(jī)識(shí)別信號(hào)的一個(gè)重要的數(shù)學(xué)工具，其在數(shù)學(xué)課程中的影響顯而易見。而“數(shù)列與差分”的課程開設(shè)，對(duì)學(xué)生的教學(xué)素養(yǎng)、知識(shí)面、個(gè)性化發(fā)展都有積極的促進(jìn)作用。由此可見，“數(shù)列與差分”開設(shè)為課程教學(xué)內(nèi)容的重要性。除此之外，社會(huì)的進(jìn)步和現(xiàn)實(shí)生活的發(fā)展要求，也是其發(fā)展必要的原因之一。我國(guó)早在古代就已經(jīng)懂得利用差分解決實(shí)際問題，北宋科學(xué)家沈括在《夢(mèng)溪筆談》中提到的“隙積數(shù)”就是利用差分解決問題。

3.專題教學(xué)設(shè)計(jì)分析

3.1差分的定義

對(duì)于數(shù)列問題來說，差分相當(dāng)于一個(gè)特定的數(shù)列。如：aaa…a…，其中a=a+d（n=1，2，…，n），d為常數(shù)，稱為公差，即d=a-a，這就是一個(gè)差分，通常用D（a）=a-a表示，于是有D（a）=d，這是一個(gè)最簡(jiǎn)單形式的差分方程。還可以假設(shè)變量y是依附在自變量t的，當(dāng)t變?yōu)閠+1的時(shí)候，因變量y=y（t）的改變量D y（t）=y（t+1）-y（t）稱為函數(shù)y（t）在點(diǎn)t處步長(zhǎng)為1的（一階）差分，常記作D yt=yt+1-yt（其中D為差分算子），簡(jiǎn)稱為函數(shù)y（t）的（一階）差分。

3.2數(shù)列通項(xiàng)與差分的關(guān)系

根據(jù)兩者的關(guān)系，可列舉以下幾個(gè)蘇教版的例子來表示。

例一：對(duì)于函數(shù)y f（x），若f（x）（x ?1，2，3，…）有意義，則可得出數(shù)列：f（1），f（2），f（3），…，f（n），…。

例二：已知數(shù)列的第n項(xiàng)a為2，寫出這個(gè)數(shù)列首項(xiàng)、第二項(xiàng)和。

解：首項(xiàng)：a2×1-1 ? ?1;

第二項(xiàng)：a2×2-1 ? ?3;

第三項(xiàng)：a2×3-1 ? ?5.

在這一例子中第n項(xiàng)a可用公式2表示。一般情況下，若數(shù)列a的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式進(jìn)行表達(dá)，則這一公式便叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。

3.3差分對(duì)數(shù)列的描述

一階差分對(duì)數(shù)列增減可分為兩種情況進(jìn)行分析：一是在a>0的情況下;二是在a<0的情況下。一階差分對(duì)數(shù)列極值的描述;二階差分對(duì)數(shù)列圖形凹凸的描述。

3.4線性差分方程

在進(jìn)行線性差分方程的學(xué)習(xí)時(shí)，可在教學(xué)內(nèi)容或?qū)嵺`中引入差分方程，這樣能夠讓學(xué)生從直觀上對(duì)其進(jìn)行了解。在教學(xué)過程中通過已知系數(shù)的一階線性差分方程對(duì)其通解及其相應(yīng)的齊次方程的通解進(jìn)行討論，從而對(duì)其獲得更深入的了解。對(duì)于線性差分方程的求解，可通過引導(dǎo)學(xué)生而不多做要求使學(xué)生分析方程組的能力逐步提高。其中蘇教版的線性差分方程教學(xué)對(duì)學(xué)生的教學(xué)起到很好的示范作用。

4.教學(xué)方法

關(guān)于傳授“數(shù)列與差分”知識(shí)，不能夠僅僅靠學(xué)生的積極性及其求知欲，還需要靠完整的教學(xué)體系得以支撐，而完整的教學(xué)方法體系主要是建立在教師能力及經(jīng)驗(yàn)都較高的基礎(chǔ)上，好的、完整的教學(xué)體系能夠更好地使“數(shù)列與差分”概念深入學(xué)生的學(xué)習(xí)生活中，這對(duì)老師的教課能力及其實(shí)踐和構(gòu)建該課題的學(xué)習(xí)系統(tǒng)能力都是很好的考驗(yàn)。因此，高中教學(xué)中“數(shù)列與差分”的教學(xué)方式顯得尤為重要。

該課題知識(shí)結(jié)構(gòu)體系的簡(jiǎn)歷，首先要深入的了解該課題的主要內(nèi)容，對(duì)“數(shù)列與差分”的概念應(yīng)當(dāng)有系統(tǒng)的學(xué)習(xí)安排。讓學(xué)生能夠通過其學(xué)習(xí)運(yùn)用該思想對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行解決，在實(shí)踐案例中加入“數(shù)列與差分”的概念及問題解決，能使學(xué)生對(duì)其知識(shí)進(jìn)行鞏固，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性。教師只有在對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)功底進(jìn)行深入了解后，才能根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)情況選擇適合的教學(xué)方法。

由上可知，學(xué)習(xí)“數(shù)列與差分”不僅能使學(xué)生更好地掌握知識(shí)，還能與實(shí)際相聯(lián)系，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中能利用所學(xué)知識(shí)對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行解決。

結(jié)語(yǔ)

隨著社會(huì)的改革和發(fā)展，國(guó)家頒布一系列教育政策，“數(shù)列與差分”伴隨著時(shí)代進(jìn)步的潮流納入高中課程教學(xué)中。針對(duì)其在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，我們進(jìn)行了一系列的分析研究，其中列舉幾個(gè)蘇州教科書中的例子，充分證明了“數(shù)列與差分”不僅能夠讓學(xué)生在書本上學(xué)習(xí)，還能夠?qū)W(xué)到的知識(shí)應(yīng)用于解決實(shí)際問題。這在一定程度上表現(xiàn)了“數(shù)列與差分”運(yùn)用在高中數(shù)學(xué)課程中的積極作用。