一類雙曲波方程的全離散兩步H1－Galerkin混合元誤差估計(jì)

馬 榮

(錦州電視大學(xué))

0 引言

Pani［1］于 1998 年首次提出H1－ Galerkin 混合有限元方法(簡(jiǎn)稱為H1－Galerkin混合元法).相比傳統(tǒng)的混合元法能夠有效的避免LBB相容性條件的限制，具有空間選取自由等特點(diǎn).目前該方法已經(jīng)數(shù)值求解了一些偏微方程問(wèn)題［2－9］.

文獻(xiàn)［9］通過(guò)一個(gè)中間變量的引入將原偽雙曲波方程在時(shí)間方向上進(jìn)行了降階，然后使用了兩步格式進(jìn)行了分析計(jì)算.該文主要考慮利用兩步H1－Galerkin混合方法研究以下一類非線性雙曲波方程

其中Ω為帶有邊界?Ω的區(qū)域，并于Rn(n=1，2，3)中有界，u0(x)，u1(x)為已知函數(shù)，b(x)為足夠光滑的有界函數(shù).f(u)是關(guān)于u的非線性函數(shù)，f(0)=0且f(u)，fu(u)有界.

1 兩步混合元格式及誤差估計(jì)

1.1 弱形式

使用格林公式，β(x)=1/b(x)可得弱形式為:找{u，q}:［0，T］→×H(div;Ω):使得

1.2 全離散格式和一些重要引理

在給定時(shí)［0，T］上，令0=t0＜t1…＜tN=T，步長(zhǎng)為正整數(shù).另外，對(duì)于［0，T］上的一個(gè)光滑函數(shù)φ，定義φn=φ(tn)dtφn+1=(3φn+1－ 4φn+φn－1)/2Δt.在t=tn+1處(3)可以寫(xiě)為:

相應(yīng)于(5)的全離散格式為求{Un+1，Qn+1}:Vh×Wh:使得

為了進(jìn)行誤差估計(jì)給出以下幾個(gè)重要引理.

引理1 定義u的投影滿足:

引理2 定義q的標(biāo)準(zhǔn)有限元插值，參見(jiàn)文獻(xiàn)［1］有:對(duì)于j=0，1

將誤差改寫(xiě)

則由(5)－(8)得到誤差方程:

引理3 對(duì)于Rn+1u，Rn+11，Rn+12，Rn+13有下列誤差估計(jì):

1.3 全離散兩步混合元誤差估計(jì)

定理1 假設(shè)U0，U1∈Vh并且Q0，Q1∈Wh，則對(duì)于1 ≤J≤M，j=0，1，有

證明 在式(11)中，令vh=ζn+1，使用Cauchy－Schwarz和Young不等式，可得

對(duì)(14)兩端同乘以4Δt，并n=1到J求和，同時(shí)注意到引理3，可得

在(11)中，令wh=ξn+1，利用Cauchy－Schwarz不等式及Young不等式，得到

使用微分中值定理存在u1和u2，可得

［1］Pani A K.AnH1Galerkin mixed finite element methods for parabolic partial differential equations［J］SIAM J Numer A-nal，1998，35:712–727.

［2］Liu Y，Li H.H1－Galerkin mixed finite element methods for pseudo－ hyperbolic equations［J］.Applied Mathematics and Computation，2009，212(2):446－457.

［3］Zhou Z J.AnH1－Galerkin mixed finite element methods for a class of heat transport equations［J］.Appl Math Model，2010，34:2414－2425.

［4］劉洋，李宏.四階強(qiáng)阻尼波方程的新混合元方法［J］.計(jì)算數(shù)學(xué)，2010，32(2):157–170.

［5］Guo L，Chen H Z.H1－Galerkin mixed finite element method for Sobolev equations［J］.J Sys Sci Math Scis，2006，26(3):301－314.

［6］Shi D Y，Wang H H.NonconformingH1－Galerkin mixed FEM for Sobolev equations on anisotropicmeshes［J］.Acta Mathematicae Applicatae Sinica(English Series)，2009，25(2):335－344.

［7］Liu H，Li H，He S，et al.A new mixed scheme based on variation of constants for Sobolev equation with nonlinear convection term［J］.Appl Math J Chinese Univ，2013，28(2):158－172.

［8］Liu Y，Li H，Wang J F.Error estimates ofH1－ Galerkin mixed finite element method for Schrodinger equation［J］.Appl Math J Chinese Univ，2009，24(1):83－89.

［9］Zhang G Y，Huang L J，Yu Z D，et al.A priori error analysis and numerical simulation of fully discreteH1－Galerkin mixed element method for nonlinear pseudo－h(huán)yperbolic equation［J］.American Journal of Numerical Analysis，2014，2(2):55–59，158–172.