Banach空間中非局部二階微分包含的可控性*

朱 琳，劉宏亮，于金鳳

(哈爾濱師范大學)

0 引言

微分包含可控性問題已得到廣泛的關(guān)注和研究，其中非局部問題于1991年，由Byszewski［1］做了較早的研究工作.2000年，Benchohra和Ntouyas［2］研究了具有非局部條件二階微分包含在有限區(qū)間的可控性.2001年［3］將這一結(jié)果推廣到無限區(qū)間的可控性.2006 年，Chang 和 Li［4］研究了二階微分和積分包含的可控性.近年來，非局部可控性取得了很多研究成果.例如，2010年，于金鳳等［5］研究了一類帶有非局部條件二階微分包含的可控性.2011年，張文超等［6］應用集值函數(shù)不動點定理來研究Banach空間中微分包含的近似可控性.

該文在Banach空間中討論非局部二階微分包含，形如:

其中:E=(E，‖·‖)為一實Banach空間.

F:J×E→2E是有界閉凸集值映射.f:C(J，E)→E，y0，z0∈E·A是E上強連續(xù)余弦族{C(t):t∈R}的線性無窮小生成元.控制函數(shù)u(·)∈L2(J，U)，這里U是一個Banach空間，B是從U到E的有界線性算子.

1 預備知識

C(J，E)是從J到E上連續(xù)函數(shù)的全體，其范數(shù)為 ‖y‖∞=sup{|y(t)|:t∈J}，B(E)是從E到E的有界線性算子的Banach空間.L1(J，E)表示Bochner可積函數(shù)y:J→E的全體，其中表示在C(J，E)中0的鄰域，Vp={y∈C(J，E):‖y‖∞≤p，p∈N}.

令(X，‖·‖)是一個Banach空間，集值映射G:X→2X，如果對任意的x∈X，G(x)是凸(閉)的，則稱G是凸(閉)的.如果對任意的D?，是有界的，則稱G是有界的，即

對于任意的x0∈X，G(x0)是X中的非空閉子集，且對任意開集V，G(x0)?V，存在x0的開鄰域，使得G()?V，則稱G是上半連續(xù)的.如果對有界子集D?X，G(D)是相對緊的，則稱G是全連續(xù)的.如果G是全連續(xù)的，且有非空緊值，則G是上半連續(xù)的，當且僅當G有閉圖像即

如果存在x∈X，使得x∈Gx，則稱G有不動點.

BCC(X)表示X中所有非空有界閉凸子集的全體，設集值映G:J→BCC(X)，如果對任意的x∈X，d(x，G(x))是在J上的可測函數(shù)，則稱G是可測的.對于任意的x∈X，通過

定義F的可積選擇集.

如果滿足:

①C(0)=I，其中I是在B(E)中的單位算子;

②對任意的s，t∈R，C(t+s)+C(t－s)=2C(t)C(s);

③對任意的y∈E，映射tC(t)y是強連續(xù)的.

則稱Banach空間E上的算子族{C(t):t∈R}是強連續(xù)余弦算子族.

結(jié)合給定的強連續(xù)余弦算子族{C(t):t∈R}，定義

則稱{S(t):t∈R}是強連續(xù)正弦算子族.

令A:E→E，定義為Ay=(d2/dt2)C(0)y，其中D(A)={y∈E，C(t)y是關(guān)于t的二次連續(xù)可微函數(shù)}，則稱A為強連續(xù)余弦族{C(t):t∈R}的無窮小生成元.令Y={y∈E，C(t)y是關(guān)于t的一次連續(xù)可微函數(shù)}.

定義1 函數(shù)y∈C(J，E)，滿足

且y(0)+f(y)=y0，y'(0)=z0，則y(·)稱為是系統(tǒng)(1)－(2)的mild解.

定義2 系統(tǒng)(1)－(2)可控是指對任意的y0∈D(A)，z0∈Y，存在控制函數(shù)u∈L2(J，U)，滿足y(b)+f(y)=y1∈D(A)，y'(b)=z1∈Y，其中y(·)是系統(tǒng)(1)－(2)的mild解.

為證明該文結(jié)果，需要作如下假設:

(H1)A是Banach空間E上強連續(xù)余弦族{C(t):t∈R}的線性無窮小生成元，存在常數(shù)M＞0，使得M=sup{‖C(t)‖:t∈J}.

(H2)F:J×E→BCC(E)，且F滿足:對任意的y∈X，tF(t，y)，是可測的，對任意的t∈J，yF(t，y)是上半連續(xù)的;對固定的y∈C(J，E)，集合

SF，y={g∈L1(J，E):g(t)∈F(t，y(t))，a.e.t∈J}是非空的.

(H3)f是全連續(xù)的，存在L＞0，使得對任意的y∈E，‖f(y)‖ ≤L.

(H4)設線性算子W:L2(J，U)→E，定義為存在取值于L2(J，U)/kerW上的有界逆算子W－1，且存在M1，M2＞0，使得 ‖B‖ ≤M1.‖W－1‖ ≤M2.

(H5)設線性算子Wˉ:L2(J，U)→E，定義為存在取值于L2(J，U)/ker上的有界逆算子，且存在M3＞0，使得

(H6)存在M4＞0，使得 ‖A‖≤M4.

(H7)‖F(xiàn)(t，y)‖ =sup{‖ν‖∈F(t，y)}≤p(t)Ψ(‖y‖)}，t∈J，y∈E，其中p∈L1(J，R+)，Ψ:R+→(0，∞)是連續(xù)遞增的，且

其中

引理1［7］令X是Banach空間，I是緊的實區(qū)間，F(xiàn)是滿足(H2)的集值映射，且Γ:L1(I，X)→C(I，X)是線性連續(xù)映射，則

Γ?SF:C(I，X)→BCC(C(T，X))，y→(Γ?SF)(y)=Γ(SF，y)是C(I，X)×C(I，X)上的閉圖算子.

引理2［8］令X是局部凸空間，Q:X→2X是具有緊凸值的上半連續(xù)集值映射，使得對任意的0的閉鄰域Vp，任意的p∈N，Q(Vp)是相對緊的.如果集合

是有界的，則Q有不動點.

2 主要結(jié)論

定理1 若假設(H1)－(H8)成立，則系統(tǒng)(1)－(2)是可控的.

證明 由(H4)和(H5)，對任意的y(·)∈(J，E)，定義控制函數(shù)

其中

利用控制函數(shù)定義集值映射Q1(·):C1(J，E)→ 2C1(J，E)，Q2(·):C(J，E)→ 2C(J，E)，具有如下形式:

證明集值映射Q1(·)，Q2(·)有不動點，y1－f(y)∈(Q1(y)(b)，z1∈(Q2y')(b)分以下幾步進行證明.

第一步:對于任意的y∈C1(J，E)，y'∈C(J，E)，Q1y，Q2y'是凸的.

設h1，h2∈Q1y，則存在g1，g2∈SF，y，使得對任意的t∈J，有

令0 ≤α≤1，則存在g1，g2∈SF，y，使得對任意的t∈J，有

因為F有凸值，所以SF，y是凸的，則αh1+(1－α)h2∈Q1y.同理，Q2y'是凸的.

第二步:對于任意的q1∈N，q∈N，Vq1∈C1(J，E)，Vq∈C(J，E)，Q(Vq1)和Q(Vq)是有界的.

要證存在一個正數(shù)l1＞0，使得對每個h∈Q1y，y∈Vq1，有 ‖h‖∞≤l1，若h∈Q1y，則存在g∈SF，y使得

通過假設(H1)和(H3)～(H7)，對于任意的t∈J，有

同理，‖h'(t)‖≤l2.

第三步:對于任意的q1∈N，q∈N，Vq1∈C1(J，E)，Vq∈C(J，E)，Q(Vq1)和Q(Vq)是等度連續(xù)的.

設t1，t2∈J，t1＜t2對任意的y∈Vq1，h∈Q1y，存在g∈SF，y，使得

因此，

當t2→t1時，上述不等式右端趨于零，故Q(Vq1)是等度連續(xù)的.同理，Q(Vq)是等度連續(xù)的.由步驟二，三，(H3)，(H8)知，Q1(·)，Q2(·)是全連續(xù)的.

第四步:集值映射Q1(·)，Q2(·)是上半連續(xù)的，只需證Q1(·)，Q2(·)有閉圖像.

令yn→y*，hn∈Q1yn，hn→h*，要證h*∈Q1y*.由hn∈Q1yn，hn'∈Q1yn'，則存在gn∈SF，y使得

其中

要證，存在g*∈SF，y*，使得

令

現(xiàn)在考慮線性算子Γ1:L1(J，E)→C(J，E)

并且

顯然Γ1是線性的，故Γ1是連續(xù)的.由引理1，Γ1?SF，y有閉圖像，并且有

因為yn→y*，所以存在g*∈SF，y有

因此，Q1(·)有閉圖像.同理，Q2(·)有閉圖像.

第五步:證明集合

有界的.

因此，存在g∈SF，x，使得

故有

右端式子記為v(t)，則有

由于Ψ是非降的，有

因此，對于任意的t∈J，有

故存在常數(shù)d，使得

因此‖y‖≤d.

故Ω1有界.同理，Ω2有界.

由引理2知，Q1，Q2有不動點，因此系統(tǒng)(1)－(2)是可控的.

［1］Byszewski L.Theorems about the existence and uniqueness of solutions of a semilinear evolution nonlocal cauchy problem，［J］.Math Aral Appl，1991，162:494–505.

［2］Benchohra M，Ntouyas S K，Controllability of second－order differential inclusions in Banach spaces with nonlocal conditions［J］.Optim Theory Appl，2000，107:559–571.

［3］Benchohra M，Ntouyas S K，Controllability for an infinitetime horizon of second－order differential inclusions in Banach spaces with nonlocal conditions［J］.Optim Theory Appl，2001，109:85－98.

［4］Chang Y K，Li W T.Controllability of second－order differential and integrodifferential inclusions in Banach spaces［J］.Optim Theory Appl，2006，129:77–87.

［5］于金鳳，陳安妮.帶有非局部條件二階微分包含的可控性［J］.數(shù)學學報，2010，53:871–880.

［6］張文超，于金鳳，馬吉溥.Banach空間中立形微分包含的近似可控性［J］.哈爾濱師范大學自然科學學報，2011，27:24－28.

［7］Lasota A，Opial Z.An application of the Kakutani－Ky－Fan theorem in the theory of ordinary differential equations［J］.Bull Acad Polon Sci，1965，13:781–786.

［8］Ma T W.Topological degrees for set－valued compact vector fields in locally convex spaces［J］.Diss Math，1972，92:1–43.