圓錐曲線求值問題中的奇思妙解

楊美

在圓錐曲線數(shù)值問題中，如何結(jié)合題目條件，根據(jù)圓錐曲線的定義、性質(zhì)以及相應(yīng)的思維方法來分析與處理是解決問題的關(guān)鍵.下面結(jié)合實例就圓錐曲線中數(shù)值問題的巧解加以實例剖析.

一、妙用定義，巧求未知量

圓錐曲線的定義揭示的是各對應(yīng)的曲線的本質(zhì)屬性.對于涉及的圓錐曲線中的參數(shù)問題，若能巧妙靈活應(yīng)用定義，往往能達到化繁為簡、事半功倍的效果.

例1.已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為x軸，拋物線上的點M（-3，m）到焦點距離等于5，求拋物線的方程和m的值.

分析：解答本題可以直接利用拋物線的定義，得點M到準(zhǔn)線的距離為5，直接得出有關(guān)p的關(guān)系式，從而求出p的值.

解析：設(shè)拋物線的方程為y2=-2px（p>0），則焦點F（，0）準(zhǔn)線方程為x=，根據(jù)拋物線的定義，點M到焦點的距離等于5，也就是點M到準(zhǔn)線的距離等于5，

則有3+=5解得p=4，因此拋物線方程為y2=-8x，

又點M（-3，m）在拋物線上，代入有m2=24，解得m=±2.

點評：利用圓錐曲線的定義來處理一些有關(guān)的參數(shù)問題能使列式和解答簡潔方便，避免繁瑣的計算過程，能更好地充分體現(xiàn)圓錐曲線的定義在轉(zhuǎn)化問題中的作用，真正達到巧妙轉(zhuǎn)化、合理處置的目的.

二、妙設(shè)變量，巧求面積

涉及圓錐曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程有關(guān)的問題時，如何在實際解答過程中回避復(fù)雜的計算，成了處理這類問題的難點和關(guān)鍵.“設(shè)而不求，金蟬脫殼”是比較特殊的一種思想方法，其實質(zhì)是整體結(jié)構(gòu)意義上的變式和整體思想的應(yīng)用.

例2.F1、F2是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上一點，且PF1⊥PF2，試求△F1PF2的面積.

分析：題設(shè)中有橢圓上一點到兩個焦點間距離的信息，即可試探是否能用PF1+PF2=2a解決.同時注意利用解三角形的相關(guān)知識加以綜合.

解析：由題知：a=7，b=2，c=5，設(shè)PF1=m，PF2=n，

由橢圓定義可知m+n=2a=14，又由于PF1⊥PF2，則有m2+n2=F1F22=102=100，那么2mn=（m+n）2-（m2+n2）=142-100=96，即mn=48，所以S=mn=24.

點評：通過設(shè)出橢圓上的點到焦點的距離，引進m，n，將距離符號化，既方便書寫，又便于運算.這種“設(shè)而不求，金蟬脫殼”的整體思想在解題中常常被廣泛應(yīng)用.

三、妙引參數(shù)，巧求最值

對于圓錐曲線中的某些最值范圍問題，有時用參數(shù)方程要比用普通方程更方便，除能簡化解題過程外，在培養(yǎng)學(xué)生解題的針對性和靈活性方面大有益處.

例3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P（x，y）是橢圓+y2=1上的一個動點，求S=x+y的最大值.

分析：通過把橢圓的直角坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的參數(shù)方程，結(jié)合對應(yīng)的表達式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題再加以分析與求解.

四、妙用判別式，巧求范圍

圓錐曲線方程是二次方程，在解決圓錐曲線變量的取值范圍時，通過函數(shù)與方程思想，根據(jù)題中隱含條件，將問題化歸為一元二次方程模型后，妙用根的判別式可以巧妙快捷地求出變量范圍.

例4.已知拋物線y2=x上存在兩點關(guān)于直線l：y=k（x-1）+1對稱，試求實數(shù)k的取值范圍.

分析：設(shè)出拋物線上關(guān)于直線l對稱的兩點A、B的坐標(biāo)，根據(jù)對稱性建立相應(yīng)的方程組，得到涉及y1+y2，y1y2的關(guān)系式，結(jié)合根與系數(shù)的方程得到對應(yīng)的方程有不等實根的充要條件，轉(zhuǎn)化為判別式法來分析與處理.

點評：本題涉及直線與拋物線的位置關(guān)系中的變量的取值范圍問題，通過方程有不等實根的充要條件的轉(zhuǎn)化，巧妙地把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，從而達到求解參數(shù)的取值范圍的目的.構(gòu)思新穎，方法巧妙.

五、數(shù)形結(jié)合，巧求離心率

著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“數(shù)形本是兩相倚，焉能分作兩邊飛.數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微.”在圓錐曲線中的許多基本量都具有一定的幾何意義，挖掘題目中的隱含條件，揭示圖形的幾何性質(zhì)，采用數(shù)形結(jié)合的思想方法，可解決一些相應(yīng)的參數(shù)問題.

點評：數(shù)形結(jié)合的思想是數(shù)學(xué)重要的思想方法之一，其實質(zhì)就是把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維與形象思維結(jié)合起來.其具有直觀性、靈活性、深刻性，能夠跨越各知識點的界限，有較強的綜合性.利用數(shù)形結(jié)合來求解參數(shù)問題，解答更形象、直觀，一目了然.

總之，定義法、判別式法、參數(shù)法以及設(shè)而不求、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想是解題求值問題中常用的思想方法.根據(jù)問題條件靈活地應(yīng)用，可擺脫生搬硬套，形成低耗高效的奇思妙解.