對(duì)數(shù)線性Gamma分布模型極大似然估計(jì)的強(qiáng)相合性和漸近正態(tài)性

劉雙花，尹長(zhǎng)明，鄧娌莉

（1.百色學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)信息工程系，廣西 百色 533000；2.廣西大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣西 南寧 530004）

對(duì)數(shù)線性Gamma分布模型極大似然估計(jì)的強(qiáng)相合性和漸近正態(tài)性

劉雙花1，尹長(zhǎng)明2，鄧娌莉1

（1.百色學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)信息工程系，廣西 百色 533000；2.廣西大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣西 南寧 530004）

在‖Zn‖=o(logn)和（對(duì)某個(gè)c＞0，α＞0）等條件下，證明了對(duì)數(shù)線性Gamma分布模型極大似然估計(jì)（MLE）的強(qiáng)相合性和漸近正態(tài)性，其中設(shè)計(jì)陣序列{‖Zn‖}可以為無(wú)界序列.

對(duì)數(shù)線性Gamma分布模型；強(qiáng)相合性；漸近正態(tài)性

1 引言和主要結(jié)果

廣義線性模型（GLM）是一般線性模型的重要推廣，它既適用于連續(xù)數(shù)據(jù)，又適用于離散數(shù)據(jù)，特別是后者.自從Nelder和Wedderburm[1]引入此模型以來(lái)，就得到了廣泛地應(yīng)用，尤其是在生物、醫(yī)學(xué)和社會(huì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析等領(lǐng)域．

假設(shè)響應(yīng)變量yi服從Gamma分布，且密度函數(shù)為

這里，yi是響應(yīng)變量，μi是期望且μi＞0，v是形狀參數(shù)且v＞0．

當(dāng)聯(lián)系函數(shù)取自然聯(lián)系函數(shù)時(shí)，就得到了線性Gamma分布模型，有

由于均值μi＞0，那么線性預(yù)測(cè)，這樣對(duì)β就增加了限制.而當(dāng)聯(lián)系函數(shù)取

時(shí)，就得到對(duì)數(shù)線性Gamma分布模型，不需要對(duì)β加以限制．

根據(jù)（1），可知yi的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

根據(jù)（3）和（4）有

可知得分矩陣和信息矩陣分別為

等來(lái)證明了GLM極大似然估計(jì)的相合性和漸近正態(tài)性.在非自然聯(lián)系情況下，由條件

等證明了GLM極大似然估計(jì)的相合性和漸近正態(tài)性，這里Fn表示信息矩陣Fn（β）在β0處的取值，

是標(biāo)準(zhǔn)化的信息矩陣，λmaxA（λminA）表示矩陣A的最大（?。┨卣鞲?本文去掉{Zi，i≥1}有界的限制，在‖Zn‖=o(logn) 和（對(duì)某個(gè)c＞0，α＞0）等條件下，建立了對(duì)數(shù)Gamma分布模型MLE的強(qiáng)相合性和漸近正態(tài)性，即下面定理．

定理1 假設(shè)β0是對(duì)數(shù)線性Gamma分布模型回歸參數(shù)向量β的真值且滿足下列條件：

2 定理的證明

為了定理的證明，先引入下列引理：

引理1[10]（Bernstein不等式）設(shè)x1，x2，…，xn是獨(dú)立的隨機(jī)變量，|xi|≤b＜∞,Exi=0,i=1,2,…,n.記則對(duì)任意ε＞0

引理2[11]（向量值函數(shù)中值定理）設(shè)X=（x1，x2，…，xp）′，F(xiàn)=（f1，f2，…，fp）′.

如果fi=fi（x1，x2，…，xp）（i=1，2，…，p）在凸集上G?kp上連續(xù)可微，則對(duì)任意α,β∈G，有

因?yàn)橛啥ɡ?的條件知，‖Zn‖=o(l ogn)，其中β在β0的附近，則對(duì)充分小的，有i-ε≤eZiβ≤iε[36].

為證（15）式，只需證明以概率1，當(dāng)n充分大時(shí)，

取足夠大的某個(gè)s，記r=2s+1，

其中I（·）是示性函數(shù).再根據(jù)Cr不等式有

所以由Borel-Cantelli引理知，以概率1，當(dāng)n充分大時(shí)，

由定理1的條件知，

根據(jù)（22），（23），（24）和（25）式知，為證（19）式，等價(jià)于證明以概率1，當(dāng)n充分大時(shí)，

根據(jù)引理1，（29），和（30）知

由Borel-Cantelli引理，以概率1，當(dāng)n充分大時(shí)，

同理可證，由中值定理

由（23）、（32）、（33）和（34）式，以概率1，當(dāng)n充分大時(shí)，（26）式成立．

故由（23）和（35）式，以概率，當(dāng)n充分大時(shí)，

因此（27）式成立.由（26）和（27）知，以概率，當(dāng)n充分大時(shí)，（19）和（15）式成立.從而存在使得（11）和下面的（37）式成立．

下面證漸近正態(tài)性．

根據(jù)（37）式和引理2得

由Linderberg中心極限定理知（40）成立.

其次證明，當(dāng)n→∞時(shí)，有

根據(jù)（7）（8）（9）和（10）式可得

由定理1的條件知，

根據(jù)Markov不等式知

由（52），（51），（49）和（44）知（43），（42）成立.

最后，根據(jù)（37）、（40）和（42）可得，（12）成立．

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責(zé)任編輯：畢和平

Strong Consistency and Asymptotic Normality of the Maximum Likelihood Estimator in the Log Linear Gamma Model

LIU Shuanghua1，YIN Changming2，DENG Lili1
（1.Depatment of Mathematics and Computer Information Engineering，Baise University，Baisei533000，China；2.Mathematics and Information Science，Guangxi University，Nanning530004，China）

In the log linear Gamma model,under assumptions that ‖Zn‖=o(logn)andfor somec＞0,α＞0,the strong consistency and asymptotic normality of the maximum likelihood estimates of the regression parameter vector were established,whereZnare regressors.

the log linear Gamma model；strong consistency；asymptotic normality

O 212.1

A

1674-4942(2015)02-0122-05

2015-03-08

百色學(xué)院一般科研項(xiàng)目（2014KB09）