一個(gè)非線性系統(tǒng)的輸出機(jī)動(dòng)控制初探

苗超 邊艷華

摘 要：在實(shí)際工程控制問(wèn)題中，我們不僅僅要求軌跡控制，很多時(shí)候要求過(guò)程的動(dòng)態(tài)控制，也就是輸出的機(jī)動(dòng)控制，其比一般的跟蹤問(wèn)題更具有普遍的意義，本文選取一個(gè)非線性系統(tǒng)，依此系統(tǒng)嘗試其輸出機(jī)動(dòng)控制的探究。

關(guān)鍵詞：非線性系統(tǒng)；機(jī)動(dòng)控制

在很多的實(shí)際工程控制問(wèn)題中，例如輪船跟蹤航標(biāo)問(wèn)題，機(jī)器臂的動(dòng)作控制問(wèn)題，再比如，一輛自動(dòng)駕駛的汽車，不僅要使汽車能順利的沿著軌跡行駛，而且使它在合適的時(shí)間能夠到達(dá)目的地。這種情況實(shí)際上是控制問(wèn)題的兩個(gè)任務(wù)，第一個(gè)任務(wù)叫做幾何任務(wù)，第二個(gè)任務(wù)叫做動(dòng)態(tài)任務(wù)，一般情況指速度控制。這就是輸出機(jī)動(dòng)控制問(wèn)題，不僅考慮一般路徑跟蹤，同時(shí)也涉及到控制目標(biāo)的動(dòng)態(tài)行為（即速度）。輸出機(jī)動(dòng)控制要比一般的跟蹤問(wèn)題更具有普遍的意義，對(duì)控制問(wèn)題的研究也有重大的理論價(jià)值和意義。本文選取一個(gè)非線性系統(tǒng)，對(duì)其輸出機(jī)動(dòng)控制問(wèn)題進(jìn)行初探。

1 問(wèn)題的描述

考慮如下非線性系統(tǒng)：

其中12（，）nnxxxxRΤ=∈.是系統(tǒng)（1）的狀態(tài)向量，系統(tǒng)（1）的輸入和輸出則分別由uR∈和yR∈來(lái)表示，12（，）pθθθΤΘ=.為p維的未知常參數(shù)向量，在控制器的設(shè)計(jì)過(guò)程中，我們需要對(duì)它進(jìn)行估計(jì)，（，）iiixxΦ.為已知光滑非線性函數(shù)向量。

2 輸出機(jī)動(dòng)控制的探究過(guò)程

我們的控制目標(biāo)是對(duì)系統(tǒng)（1）設(shè)計(jì)光滑自適應(yīng)機(jī)動(dòng)控制器，從而解決系統(tǒng)（1）的實(shí)用輸出機(jī)動(dòng)控制問(wèn)題。為此我們要完成兩個(gè)任務(wù)[1]：1、幾何任務(wù)；2、動(dòng)態(tài)任務(wù)。首先要設(shè)定（

）rytθ是理想的參數(shù)化參考路徑，（

，）svttθ是理想的跟蹤速度。其中θ是路徑變量。

假設(shè)1[1]：參考路徑

iyθ及其n階偏導(dǎo)數(shù)在R上一致有界，其速度任務(wù)（，）svtθ及其1n.階偏導(dǎo)數(shù)關(guān)于θ與一致有界。

任務(wù)一：機(jī)動(dòng)控制的幾何任務(wù)

第一步：引入誤差變量（，，）（，）sstvtωθθθθ=...

令11rzxy=.， 221zxα=.

則11rzxy=....2111

rrssyyzxvαωθθΤ..++ΦΘ.+..

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)2111122VzrΤ=+ΘΘ..

其中r為常數(shù)，并且0r>，.Θ=Θ.Θ.，.Θ是Θ對(duì)的估計(jì)

則V的時(shí)間導(dǎo)數(shù)為

1111.VzzrΤ=.ΘΘ....=12111111.（

）rrssyyzzzxvzrαωθθΤΤ..++ΦΘ.+.ΘΘ....

令虛擬光滑控制律為 21111111.rsyczkzvαμθΤ.=..ΘΦ.+.

取調(diào)節(jié)函數(shù) 111rzτ=Φ 11ryzηθ.=.

那么

211112111111.rsyVczzzzzzrωθΤ∧ΤΤ.=.++ΦΘ.ΘΦ+.ΘΘ....

21112111.

sczzzrτωηΤ≤.++Θ.Θ+..

以此思路，最后一步設(shè)計(jì)：

我們構(gòu)造Lyapunov函數(shù) 2112nnnVVz.=+

因?yàn)?1nnnzxα.=.

所以1nnnzxα.=.... 1nnnnVVzz.=+...

取光滑控制律為：

11111111111.

.nnnnnnnnnnnjjsnjjjjuczzxvxxtααααατθ..Τ......+==.....=...ΘΦ.ΣΦ+Σ+++.....Θ

111112

.nnjnnjjjjjrzxαα....==..+Φ.ΣΦΣ..Θ

取調(diào)節(jié)函數(shù)：

1111

nnnnnnjjjrzxαττ...=.=+Φ.Φ.Σ11nnnnzαηηθ...=+.

那么

2111111..

.nnnjjnnnnjVczzrrατττΤΤ...=.≤.+Θ.Θ+Θ..Θ.ΘΣ.....

11111111122.

..nnnjjnnnnnnjjjnnsjjjjzrzzzxααααττηω........∧===....++Φ.ΣΦΣ+Σ.Θ+..Θ.Θ.Θ.

如果選取調(diào)節(jié)函數(shù) .nτΘ=.，得

21nnjjnsjVczηω=≤.+Σ.

任務(wù)二：機(jī)動(dòng)控制的動(dòng)態(tài)任務(wù)

對(duì)于速度誤差變量sω，我們有如下設(shè)置[2]：

1）跟蹤控制律：假若有0sω=，那么（，）svtθθ=.，速度任務(wù)得到滿足，能夠完全達(dá)到速度跟蹤目的。

2）梯度調(diào)節(jié)律：令snωμη=.其中0μ≥，滿足速度任務(wù)。

因 11ninniiVzαηθθ.=..=Σ=...

從而此設(shè)置可稱為梯度調(diào)節(jié)律。相應(yīng)的，機(jī)動(dòng)控制的動(dòng)態(tài)部分變?yōu)?/p>

（，）（，）nsnsVvtvtθθμηθμθ.=+=...

3）基于濾波形式的梯度調(diào)節(jié)律

將第任務(wù)一中最后一步中的Lyapunov函數(shù)進(jìn)行推廣

2012nsVVωδ=+，并且對(duì)V關(guān)于時(shí)間進(jìn)行求導(dǎo)，可得

01nssVVωωδ=+...2101

njjnssjczηωωδ=≤.++Σ.

保證上式的第三項(xiàng)成為非負(fù)項(xiàng)，選擇梯度調(diào)節(jié)律為

0ssnlωωδη=...

而這樣控制的動(dòng)態(tài)部分就相應(yīng)地變?yōu)?/p>

（

，）（，，）ssvtttθθωθθ=... 0ssnlωωδη=...

參考文獻(xiàn)

[1] Skjetne R， Fossen T I， Kokotovic P V. Robust output maneuvering for a class of nonlinear systems[J]. Automatica 2004， 40（3）： 373-383.

[2] 邊艷華.一類非線性系統(tǒng)的實(shí)用輸出機(jī)動(dòng)控制[D].山東：曲阜師范大學(xué)，2012.