陀螺隨機(jī)游走對定向設(shè)備雙位置尋北精度影響分析

殷 楠， 劉建鋒， 葛 磊， 李向東

（中國航天科工集團(tuán) 第二研究院七〇六所， 北京100854）

具有轉(zhuǎn)位機(jī)構(gòu)的定向設(shè)備在尋北時，常采用雙位置尋北算法[1-4]，采用將相差180°的兩個位置相減的方法來實(shí)現(xiàn)尋北。 雙位置尋北可消除陀螺常值漂移對尋北精度的影響，能有效提高定向設(shè)備尋北精度，且算法較為簡單，實(shí)用性較強(qiáng)。

有關(guān)雙位置尋北誤差分析的文獻(xiàn)較多[5-7]，但都是分析陀螺常值漂移對尋北精度的影響。 但對于陀螺本身而言，其誤差不止包含常值漂移，隨機(jī)游走系數(shù)也是其重要誤差源。 且雙位置尋北不能消除陀螺儀的隨機(jī)游走，因此，隨機(jī)游走對尋北精度有較大影響。 可見，分析隨機(jī)游走系數(shù)對多位置尋北精度影響，具有重要的意義。 但目前鮮有相關(guān)文獻(xiàn)。

文中分析了隨機(jī)游走系數(shù)對定向設(shè)備雙位置尋北精度的影響，推導(dǎo)了相關(guān)誤差公式，進(jìn)而證明雙位置尋北精度與隨機(jī)游走系數(shù)有關(guān)， 且與每個位置的數(shù)據(jù)采集時間有關(guān)，數(shù)據(jù)采集時間越長，則尋北精度越高；同時證明了由于隨機(jī)游走系數(shù)的影響，雙位置尋北有失效的可能。 最后提出了改進(jìn)的雙位置尋北算法， 有效解決雙位置尋北有可能失效的問題，并能提高尋北精度。

1 雙位置尋北算法

雙位置算法原理較為簡單，這里對雙位置尋北算法做簡單介紹。 雙位置尋北是利用水平面的陀螺敏感到的地球自轉(zhuǎn)角速度的北向分量來進(jìn)行解算。 當(dāng)定向設(shè)備不處于水平狀態(tài)時，可通過加表敏感重力加速度，計算出定向設(shè)備的俯仰角和橫滾角，進(jìn)而可以將陀螺敏感到的地球自轉(zhuǎn)角速度投影到水平面上，因此，這里為了分析方便，假設(shè)定向設(shè)備已處于水平狀態(tài)。

當(dāng)定向設(shè)備處于水平狀態(tài)， 且與北向的夾角為φ 時，設(shè)此時陀螺處于位置1，則陀螺敏感到的地球自轉(zhuǎn)角速度為

其中wie為地球自轉(zhuǎn)角速度，L 為當(dāng)?shù)氐乩砭暥龋牛╰）為陀螺漂移。 一般陀螺漂移主要有常值分量、高頻噪聲和隨機(jī)游走組成，陀螺漂移的輸出信號為：

其中，隨機(jī)游走為高斯白噪聲，服從均值為0，方差為Q的高斯分布。

再利用力矩電機(jī)驅(qū)動使陀螺敏感軸轉(zhuǎn)動180°到位置2，則陀螺敏感到的地球自轉(zhuǎn)角速度為

陀螺分別在位置1 和位置2 采集一段時間數(shù)據(jù)，并對兩個位置的數(shù)據(jù)進(jìn)行求均值平滑，則可將高頻噪聲平滑掉。 當(dāng)不考慮隨機(jī)游走的影響時，兩個位置平滑后的值為

此時可以計算北向夾角為：

2 隨機(jī)游走系數(shù)對尋北精度影響分析

在進(jìn)行雙位置尋北解算時，對于陀螺的噪聲只考慮了常值漂移和高頻噪聲，忽略了隨機(jī)游走系數(shù)的影響，而實(shí)際上，雙位置對準(zhǔn)的尋北精度恰恰是由隨機(jī)游走系數(shù)決定的。 下面證明之。

當(dāng)考慮隨機(jī)游走系數(shù)時， 兩位置的求均值平滑后的值應(yīng)為

其中，T 為每個位置的采樣時間，W1（T）、W2（T）為隨機(jī)游走系數(shù)積分的平均值，即

由于隨機(jī)游走系數(shù)為高斯白噪聲，為隨機(jī)變量，則隨機(jī)游走系數(shù)的積分仍然為隨機(jī)變量，因此，W1（T）、W2（T）為隨機(jī)變量。 其統(tǒng)計特性為

此時有

則

此時，計算出來的帶有誤差的北向夾角為

對等式右邊一階泰勒展開得

則

為隨機(jī)變量。 其均值和方差分別為

則其標(biāo)準(zhǔn)差為

由此可見，在考慮陀螺隨機(jī)游走系數(shù)時，雙位置尋北的誤差 Δφ 為 隨 機(jī) 變 量 ， 其 均 值 為 0， 標(biāo) 準(zhǔn) 差 為Δφ 的精度與每個位置的采樣時間T 和定向設(shè)備所處的方位φ 有關(guān)系。 從上面的式子可以看到，時間T 越大，則其標(biāo)準(zhǔn)差越小，即精度越高。

再假設(shè)當(dāng)φ=0°或當(dāng)φ=180°時，考慮方位誤差方程

由于W1（T）、W2（T）為隨機(jī)變量，所以W1（T）～W2（T）可能是正值，此時，會導(dǎo)致上式中的反余弦函數(shù)中的變量的絕對值大于1，造成解算錯誤。 當(dāng)φ 在0°或180°附近時，同樣可能存在這個問題。因此，如果用這種尋北算法，有出現(xiàn)解算錯誤、算法失效的可能。

3 改進(jìn)的雙位置尋北算法

在第2 節(jié)中，已經(jīng)分析了常規(guī)的雙位置尋北算法，有可能出現(xiàn)失效的情況，因此，有必要對其進(jìn)行改進(jìn)。 在改進(jìn)的過程中，基于兩個原則：1）杜絕算法出現(xiàn)計算失效的情況；2）盡量提高算法的精度。

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由于轉(zhuǎn)位機(jī)構(gòu)都有測角系統(tǒng)，因此，在杜絕算法出現(xiàn)計算失效的情況時，可以將轉(zhuǎn)為轉(zhuǎn)動一個角度θ，避開0°或180°的位置，再進(jìn)行尋北解算，得出，則真實(shí)北向φ 為

但是該轉(zhuǎn)動多少角度， 則需要從提高算法的精度方面考慮。 觀察Δφ 的標(biāo)準(zhǔn)差

可見，Δφ 的精度除了與時間相關(guān)外，還與|sinφ|有關(guān)，|sinφ|越大，則其標(biāo)準(zhǔn)差越小，當(dāng)|sinφ|=1 時，Δφ 的標(biāo)準(zhǔn)差達(dá)到最小。 即φ=90°或270°時，尋北精度最高。 因此可以利用轉(zhuǎn)位機(jī)構(gòu)，將陀螺的兩個位置分別停留在90°和270°，則從理論上取得最高的精度。 而當(dāng)φ=90°或270°時，正好是東向或西向，恰恰是陀螺輸出為0（不考慮陀螺漂移）時，因此，很容易大致找到這兩個位置。

改進(jìn)的雙位置尋北算法的具體的實(shí)施方法如下：

開機(jī)啟動陀螺后，先利用轉(zhuǎn)位機(jī)構(gòu)帶動陀螺旋轉(zhuǎn)一周，并記錄出陀螺輸出的絕對值最小時的轉(zhuǎn)位機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動的角度θ，然后再將陀螺轉(zhuǎn)動到該位置上，進(jìn)行第一個位置的數(shù)據(jù)采集，采集時間到后，旋轉(zhuǎn)到達(dá)第二個位置，采集數(shù)據(jù)，再進(jìn)行尋北解算，得出則真實(shí)北向φ 為

即完成了尋北解算。

4 仿真驗(yàn)證

本節(jié)設(shè)計兩個仿真試驗(yàn)，以驗(yàn)證所提觀點(diǎn)的正確性。

第一個仿真試驗(yàn)是驗(yàn)證雙位置尋北精度與每個位置采樣時間有關(guān)，時間越長，精度越高，且與誤差分析相關(guān)公式吻合。

第二個仿真試驗(yàn)要驗(yàn)證兩個內(nèi)容：1）在方位角0°、180°附近時，有出現(xiàn)計算錯誤而失效的可能；2）本文所提算法的有效性。

第一個仿真試驗(yàn)的設(shè)計如下， 假設(shè)定向設(shè)備方位角為45°，陀螺常值漂移為0.01°/h，隨機(jī)游走為，采樣頻率為200 Hz，設(shè)計兩組尋北時間，第一組為4 分鐘，每個位置采集數(shù)據(jù)2 分鐘，第二組為10 分鐘，每個位置采集數(shù)據(jù)5 分鐘，分別進(jìn)行10 次仿真，所得尋北結(jié)果及誤差如表1 所示。

表1 不同時間尋北誤差對比Fig. 1 North-seeking error for different time periods

從表1 中可以看出，10 分鐘尋北的標(biāo)準(zhǔn)差明顯優(yōu)于4 分鐘尋北，從而證明了文中提出的第一個結(jié)論，雙位置尋北精度與每個位置的采樣時間有關(guān)，時間越長，精度越高。 再相關(guān)仿真參數(shù)代入本文所推導(dǎo)的誤差標(biāo)準(zhǔn)差公式， 可得4 分鐘、10 分鐘的尋北誤差標(biāo)準(zhǔn)分別為

與仿真結(jié)果基本吻合，仿真次數(shù)越多，樣本越多，則吻合的會越好。

再設(shè)計第二個仿真試驗(yàn)， 假設(shè)定向設(shè)備分別處于0°、45°、90°，尋北時間為10 分鐘，陀螺相關(guān)參數(shù)不變，每個方位進(jìn)行10 次仿真，所得尋北結(jié)果及誤差如表2 所示。

其中，在0°方位的尋北中，F(xiàn)alse 表示尋北失敗，在10 次的尋北中，有4 次失敗。 從理論上來講，會有50%的概率尋北失敗，在10 次試驗(yàn)中，有4 次失敗，與理論分析較為吻合。 再比較3 個方位的尋北精度， 可以看出，90°方位尋北效果最好，0°方位最差，且存在失敗的情況，45°方位居中。 根據(jù)的誤差公式可以計算出，std[Δφ]45°的標(biāo)準(zhǔn)差為std[Δφ]90°的倍，而仿真結(jié)果的比值約為1.348，與較為接近。進(jìn)而驗(yàn)證了所推導(dǎo)公式的正確性。

表2 不同方位尋北誤差對比Fig. 2 North-seeking error for different positions

5 結(jié) 論

通常情況下，在利用雙位置尋北算法進(jìn)行尋北時，會忽略隨機(jī)游走系數(shù)對尋北精度和效果的影響。 然而，隨機(jī)游走系數(shù)恰恰最終決定了尋北精度，且還有可能導(dǎo)致尋北失敗。 本文分析了隨機(jī)游走系數(shù)對雙位置尋北精度的影響， 并推導(dǎo)了相關(guān)誤差公式，證明了常規(guī)雙位置尋北存在尋北失敗的可能，指出雙位置尋北精度與隨機(jī)游走系數(shù)、尋北時間及所處方位有關(guān)，提出了改進(jìn)的雙位置尋北方法。 最后通過仿真試驗(yàn)驗(yàn)證了相關(guān)結(jié)論：1）尋北時間越長，其尋北精度越高；2）在0°方位附近，存在尋北解算失敗的情況；3）在90°方位尋北效果最好。

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