古塔變形模型

徐翠翠

（陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院，陜西　渭南714000）

古塔變形模型

徐翠翠

（陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院，陜西渭南714000）

本文通過圓球曲面擬合和多元線性回歸等方法建立了古塔中心的數(shù)學(xué)模型，求出了古塔各層中心坐標(biāo)。

圓曲線擬合；圓球曲面擬合；多元線性回歸

一、問題重述

某古塔已有上千年歷史，是我國(guó)重點(diǎn)保護(hù)文物。管理部門委托測(cè)繪公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月對(duì)該塔進(jìn)行了4次觀測(cè)。

試建立確定古塔各層中心位置的數(shù)學(xué)模型，并列表給出4次測(cè)量古塔各層中心坐標(biāo)。

二、問題分析

由于古塔年久已經(jīng)變形，要確定中心，就要每層擬合一個(gè)對(duì)應(yīng)層測(cè)點(diǎn)總體距離最小的圓，而圓心即為中心，因此確定擬合圓是關(guān)鍵，而由于古塔有可能發(fā)生傾斜，測(cè)點(diǎn)不一定在一個(gè)水平面上，所以首先通過多元線性回歸確定每一層所在的平面方程，其次擬合該層測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)的圓球方程，則平面與圓球的相交曲線即為所求擬合圓，再通過向量空間的幾何知識(shí)建立線性方程組，求解擬合圓圓心，得到各層中心坐標(biāo)。

三、模型假設(shè)

1.假設(shè)古塔每一單層（兩個(gè)相鄰中心）中間沒有彎曲、扭曲等變形情況，只可能發(fā)生傾斜變形；

2.假設(shè)彎曲、扭曲等變形情況只發(fā)生在層與層之間；

3.假設(shè)八個(gè)觀測(cè)點(diǎn)均在塔的外墻處；

4.假設(shè)每一層古塔的測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)均在該層的塔板面上。

四、符號(hào)說明

（Xi，Yi，Zi）表示古塔第i層的中心坐標(biāo)；（xi，yi，zi表示古塔第i層的圓球曲面的球心坐標(biāo)；

（xij，yij，zij表示古塔第i層第j個(gè)觀測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)；

Ri表示古塔第i層擬合圓的半徑；

rj表示古塔第i層擬合圓球曲面的半徑；

Oi表示古塔第i層擬合圓的圓心。

五、模型的建立與求解

表3　

當(dāng)古塔建筑測(cè)點(diǎn)為一般平面上的多邊形時(shí)，由于測(cè)點(diǎn)為塔板測(cè)點(diǎn)，所以測(cè)點(diǎn)一定呈二元線性關(guān)系，即為一個(gè)平面，綜合分析，建立如下的回歸模型：z=β0+β1x+β2y+ε

利用Matlab程序可以得到4次觀測(cè)各層的回歸系數(shù)，多元線性回歸時(shí)，可以根據(jù)殘差剔除測(cè)量粗差點(diǎn)，剔除后，再重新估計(jì)參數(shù)，見表3。

通過以上綜合分析，擬合每一層測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)的圓球方程為：

（x-xi）2+（y-yi）2+（z-zi）2=r2

球曲面的方程的另一種形式為：

x2+y2+z2+ax+by+cz+d=0

當(dāng)?shù)趇層有個(gè)點(diǎn)時(shí)，所擬合的球面方程可以表示為：

可得出：

擬合得到古塔的各層擬合圓球曲面球心坐標(biāo)為表4。利用向量空間數(shù)學(xué)知識(shí)知擬合圓圓心在平面上可得：

β0+β1Xi+β2Yi-z=0

同時(shí)圓心與球心連線的空間直線方程為：

表4　

聯(lián)立方程組可得：

解方程可得擬合圓圓心的坐標(biāo)為：

利用該模型得到4次觀測(cè)古塔的各層中心坐標(biāo)為表5。

表5　

［1］岳忠玉.高等數(shù)學(xué)［M］.西安：西北大學(xué)出版社，2012.

［2］胡志曉.古塔傾斜觀測(cè)和數(shù)據(jù)分析［J］.江蘇建筑，6（145）：34-44，2011.

［3］馬莉.MATLAB數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與建模［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2010.

O175.13

A

1008-7508（2015）08-0058-03

2015－01－15

徐翠翠（1984－），女，陜西鐵路工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)課部數(shù)學(xué)教研室，講師，主要從事數(shù)學(xué)模型研究。